1、1高考中的数列最后一讲（内部资料勿外传）1已知数列a n、b n、c n满足 （1）设 cn=3n+6，a n是公差为 3的等差数列当 b1=1时，求 b2、b 3的值；（2）设 ， 求正整数 k，使得对一切 nN *，均有 bnb k；（3）设 ， 当 b1=1时，求数列b n的通项公式2设a n是公比为正数的等比数列 a1=2，a 3=a2+4（）求a n的通项公式；（）设b n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 an+bn的前 n 项和 Sn3已知公差不为 0 的等差数列a n的首项 a1 为 a（aR）设数列的前 n 项和为 Sn，且 ， ， 成等比数列（）求数列a n的通项
2、公式及 Sn；（）记 An= + + + ，B n= + + ，当 a2 时，试比较 An 与 Bn 的大小4已知等差数列a n满足 a2=0，a 6+a8=10（I）求数列a n的通项公式；（II）求数列 的前 n 项和5成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列b n中的 b3、b 4、b 5（I） 求数列b n的通项公式；（II） 数列b n的前 n 项和为 Sn，求证：数列S n+ 是等比数列6在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2 个数的乘积计作 Tn，再令an=lgTn，n1（I）
3、求数列a n的通项公式；（）设 bn=tanantanan+1，求数列b n的前 n 项和 Sn27.设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6+15=0（）若 S5=5，求 S6 及 a1；（）求 d 的取值范围8已知等差数列a n的前 3 项和为 6，前 8 项和为 4（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=（4 an）q n1（q0，nN *） ，求数列b n的前 n 项和 Sn9已知数列a n满足 a1=0， a2=2，且对任意 m、nN *都有 a2m1+a2n1=2am+n1+2（m n） 2（1）求 a3，a 5；（2
4、）设 bn=a2n+1a2n1（nN *） ，证明：b n是等差数列；（3）设 cn=（a n+1an）q n1（q0，nN *） ，求数列c n的前 n 项和 Sn10已知a n是公差不为零的等差数列，a 1=1，且 a1，a 3，a 9 成等比数列（）求数列a n的通项；（）求数列2 an的前 n 项和 Sn11已知数列a n满足， ，n N（1）令 bn=an+1an，证明：b n是等比数列；（2）求a n的通项公式12等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 nN*，点（n，S n） ，均在函数 y=bx+r（b0）且 b1，b，r 均为常数）的图象上（1）求 r 的值；（2
5、）当 b=2 时，记 bn= nN*求数列b n的前 n 项和 Tn13 （本小题满分 12 分）已知等差数列 na满足： 37， 5726a， na的前 n 项和为 nS3（）求 na及 S；（）令 bn= 21(nN*)，求数列 nb的前 n 项和 T14已知数列a n是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a2a6=55，a 2+a7=16（1）求数列a n的通项公式；（2）数列a n和数列b n满足等式 an= （nN *） ，求数列b n的前 n 项和 Sn15设数列a n的通项公式为 an=pn+q（nN *，P0） 数列b n定义如下：对于正整数 m，b m 是使得不等式anm
6、成立的所有 n 中的最小值（）若 ，求 b3；（）若 p=2，q= 1，求数列b m的前 2m 项和公式；16已知数列x n的首项 x1=3，通项 xn=2np+np（nN* ，p，q 为常数） ，且成等差数列求：（）p，q 的值；（）数列x n前 n 项和 Sn 的公式17设数列a n的前 n 项和为 Sn=2an2n，（）求 a1，a 4（）证明：a n+12an是等比数列；（）求a n的通项公式18在数列a n中，a 1=1， （）求a n的通项公式；（）令 ，求数列b n的前 n 项和 Sn；（）求数列a n的前 n 项和 Tn419已知数列a n的首项 ， ，n=1，2，3，（）证明
7、：数列 是等比数列；（）求数列 的前 n 项和 Sn20.在数列 na中， 10，且对任意 *kN， 2121,kka成等差数列，其公差为 kd。()若 kd=2k，证明 22,kka成等比数列（ ） ；()若对任意 *N， 1,成等比数列，其公比为 kq.设 1q1.证明 k是等差数列；21.设数列 na的前 项和为 ,nS 已知 1,a142nSa（I）设 12nb，证明数列 b是等比数列 （II）求数列 的通项公式。22. 设数列 na的前 项和为 nS，已知 21nnbaS（）证明：当 2b时， 1是等比数列；（）求 n的通项公式23.数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1=1， 1
8、3nnS， n=1，2，3，求（I） a2， a3， a4的值及数列 an的通项公式；（II） 62 的值.51已知数列a n、b n、c n满足 （1）设 cn=3n+6，a n是公差为 3 的等差数列当 b1=1 时，求 b2、b 3 的值；（2）设 ， 求正整数 k，使得对一切 nN*，均有 bnbk；（3）设 ， 当 b1=1 时，求数列b n的通项公式专题：计算题；分类讨论。分析：（1）先根据条件得到数列b n的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列b n的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列b n的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分
9、情况求出数列 bn的通项公式，最后综合即可解答：解：（1）a n+1an=3，bn+1bn=n+2，b1=1，b2=4，b 3=8（2） an+1an=2n7，bn+1bn= ，由 bn+1bn0，解得 n4，即 b4b 5b 6；由 bn+1bn0，解得 n3，即 b1b 2b 3b 4k=4（3）a n+1an=（1） n+1，bn+1bn=（1） n+1（2 n+n） bnbn1=（1） n（2 n1+n1） （n2） 故 b2b1=21+1；6b3b2=（ 1） （2 2+2） ，bn1bn2=（1） n1（2 n2+n2） bnbn1=（1） n（2 n1+n1） 当 n=2k 时，
10、以上各式相加得bnb1=（ 222+2n2+2n1）+12+（n 2）+（n1）= + = + bn= = + + 当 n=2k1 时，= + + （2 n+n）= +bn= 点评：本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目2 （2011重庆）设 an是公比为正数的等比数列 a1=2，a 3=a2+4（）求a n的通项公式；（）设b n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 an+bn的前 n 项和 Sn分析：（）由a n是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用 a1=2，a 3=a2+4 可求得 q，即可求得a n的通项公式（）由b n
11、是首项为 1，公差为 2 的等差数列 可求得 bn=1+（n1）2=2n 1，然后利用等比数列与等差数列的前n 项和公式即可求得数列a n+bn的前 n 项和 Sn解答：解：（）设a n是公比为正数的等比数列设其公比为 q，q0a3=a2+4，a 1=22q2=2q+4 解得 q=2 或 q=1q 0q=2 an的通项公式为 an=22n1=2n（）b n是首项为 1，公差为 2 的等差数列7bn=1+（n1） 2=2n1数列 an+bn的前 n 项和 Sn= + =2n+12+n2=2n+1+n223 （2011浙江）已知公差不为 0 的等差数列a n的首项 a1 为 a（aR）设数列的前
12、n 项和为 Sn，且 ， ，成等比数列（）求数列a n的通项公式及 Sn；（）记 An= + + + ，B n= + + ，当 a2 时，试比较 An 与 Bn 的大小分析：（）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得 d，则数列的通项公式和前 n 项的和可得（）利用（）的 an 和 Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理 An 与 Bn，最后对 a0 和a0 两种情况分情况进行比较解答：解：（）设等差数列a n的公差为 d，由（ ） 2= ，得（a 1+d） 2=a1（a 1+3d） ，因为 d0，所以 d=a1=a所以 an=na，S n=（）解： = （ ）An
13、= + + + = （1 ） =2n1a，所以 = = ，Bn= + + = = （1 ）当 n2 时，2 n=Cn0+Cn1+Cnnn+1 ，即 1 1所以，当 a0 时，A nB n；当 a0 时，A nB n4 （2011辽宁）已知等差数列a n满足 a2=0，a 6+a8=10（I）求数列a n的通项公式；（II）求数列 的前 n 项和分析：（I）根据等差数列的通项公式化简 a2=0 和 a6+a8=10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；8（II）把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作，然后给两边都除以
14、 2 得另一个关系式记作，后，利用 an 的通项公式及等比数列的前 n 项和的公式化简后，即可得到数列 的前 n 项和的通项公式解答：解：（I）设等差数列 an的公差为 d，由已知条件可得 ，解得： ，故数列a n的通项公式为 an=2n；（II）设数列 的前 n 项和为 Sn，即 Sn=a1+ + ，故 S1=1，= + + ，当 n1 时，得：=a1+ + =1（ + + ）=1（1 ） = ，所以 Sn= ，综上，数列 的前 n 项和 Sn= 是一道中档题5 （2011湖北）成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列b n中的b3、b 4、b
15、5（I） 求数列b n的通项公式；（II） 数列b n的前 n 项和为 Sn，求证：数列S n+ 是等比数列分析：（I）利用成等差数列的三个正数的和等于 15 可设三个数分别为 5d，5+d，代入等比数列中可求 d，进一步可求数列b n的通项公式9（II）根据（I）及等比数列的前 n 项和公式可求 Sn，要证数列 Sn+ 是等比数列 即可解答：解：（I）设成等差数列的三个正数分别为 ad，a，a+d依题意，得 ad+a+a+d=15，解得 a=5所以b n中的依次为 7d，10，18+d依题意，有（7d） （18+d）=100，解得 d=2 或 d=13（舍去）故b n的第 3 项为 5，公比
16、为 2由 b3=b122，即 5=4b1，解得所以b n是以 首项，2 为公比的等比数列，通项公式为（II）数列b n的前和即 ，所以 ，因此 是以 为首项，公比为 2 的等比数列点评：本题主要考查了等差数列、等比数列及前 n 和公式等基础知识，同时考查基本运算能力6 （2011安徽）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2 个数的乘积计作 Tn，再令 an=lgTn，n1（I）求数列a n的通项公式；（）设 bn=tanantanan+1，求数列b n的前 n 项和 Sn分析：（I）根据在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这
17、 n+2 个数构成递增的等比数列，我们易得这 n+2 项的几何平均数为 10，故 Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列 an的通项公式；（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列b n的每一项拆成的形式，进而得到结论解答：解：（I）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，又 这 n+2 个数的乘积计作 Tn，Tn=10n+2又 an=lgTn，an=lg10n+2=n+2，n 1（II）b n=tanantanan+1=tan（n+2 ） tan（n+3）= ，10Sn=b1+b2+bn= + +=点评：本题考查
18、的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这 n+2 项的几何平均数为 10，是解答本题的关键7 （2010浙江）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6+15=0（）若 S5=5，求 S6 及 a1；（）求 d 的取值范围解答：解：（）由题意知 S6= =3，a6=S6S5=8所以解得 a1=7所以 S6=3，a 1=7；解：（）因为 S5S6+15=0，所以（5a 1+10d） （6a 1+15d）+15=0，即 2a12+9da1+10d2+1=0故（4a 1+9d） 2=d28所以 d28故 d 的
19、取值范围为 d2 或 d2 8 （2010四川）已知等差数列a n的前 3 项和为 6，前 8 项和为 4（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=（4 an）q n1（q0，nN *） ，求数列b n的前 n 项和 Sn分析：（1）设a n的公差为 d，根据等差数列的求和公式表示出前 3 项和前 8 项的和，求的 a1 和 d，进而根据等差数列的通项公式求得 an（2）根据（1）中的 an，求得 bn，进而根据错位相减法求得数列b n的前 n 项和 Sn解答：解：（1）设a n的公差为 d，由已知得解得 a1=3，d= 111故 an=3+（n1） （1）=4 n；（2）由（1）的解答得，b
20、 n=nqn1，于是Sn=1q0+2q1+3q2+（n1）q n1+nqn若 q1，将上式两边同乘以 q，得qSn=1q1+2q2+3q3+（n1）q n+nqn+1将上面两式相减得到（q1） Sn=nqn（1+q+q 2+qn1）=nqn于是 Sn=若 q=1，则 Sn=1+2+3+n=所以，S n= 9 （2010四川）已知数列 an满足 a1=0，a 2=2，且对任意 m、n N*都有 a2m1+a2n1=2am+n1+2（m n） 2（1）求 a3，a 5；（2）设 bn=a2n+1a2n1（nN *） ，证明：b n是等差数列；（3）设 cn=（a n+1an）q n1（q0，nN
21、*） ，求数列c n的前 n 项和 Sn分析：（1）欲求 a3，a 5 只需令 m=2，n=1 赋值即可（2）以 n+2 代替 m，然后利用配凑得到 bn+1bn，和等差数列的定义即可证明（3）由（1） （2）两问的结果可以求得 cn，利用乘公比错位相减求c n的前 n 项和 Sn解答：解：（1）由题意，令 m=2，n=1，可得 a3=2a2a1+2=6再令 m=3，n=1，可得 a5=2a3a1+8=20（2）当 nN*时，由已知（以 n+2 代替 m）可得a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a 2（n+1 ）+1 a2（n+1）1 （a 2n+1a2n1）=8即 bn+1bn=8所以
22、b n是公差为 8 的等差数列12（3）由（1） （2）解答可知b n是首项为 b1=a3a1=6，公差为 8 的等差数列则 bn=8n2，即 a2n+1a2n1=8n2另由已知（令 m=1）可得an= （n 1） 2那么 an+1an= 2n+1= 2n+1=2n于是 cn=2nqn1当 q=1 时，S n=2+4+6+2n=n（n+1）当 q1 时，S n=2q0+4q1+6q2+2nqn1两边同乘以 q，可得qSn=2q1+4q2+6q3+2nqn上述两式相减得（1q） Sn=2（1+q+q 2+qn1） 2nqn=2 2nqn=2所以 Sn=2综上所述，S n=点评：本小题是中档题，主
23、要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法10 （2010陕西）已知 an是公差不为零的等差数列，a 1=1，且 a1，a 3，a 9 成等比数列（）求数列a n的通项；（）求数列2 an的前 n 项和 Sn分析：（I）由题意可得 a32=a1a9=a9，从而建立关于公差 d 的方程，解方程可求 d，进而求出通项 an（II）由（I）可得 ，代入等比数列的前 n 项和公式可求 Sn解答：解（）由题设知公差 d0，由 a1=1，a 1，a 3，a 9 成等比数列得 = ，解得 d=1，d=0（舍去）
24、 ，故a n的通项 an=1+（n 1）1=n；13（）由（）知 2a_n=2n，由等比数列前 n 项和公式得Sm=2+22+23+2n= =2n+12点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和公式，属于基本公式的简单运用11 （2009陕西）已知数列 an满足， ，nN （1）令 bn=an+1an，证明：b n是等比数列；（2）求a n的通项公式分析：（1）先令 n=1 求出 b1，然后当 n2 时，求出 an+1 的通项代入到 bn 中化简可得b n是以 1 为首项， 为公比的等比数列得证；（2）由（1）找出 bn 的通项公式，当 n2 时，利用 an=a1+（
25、a 2a1）+（a 3a2）+ （a nan1）代入并利用等比数列的前 n 项和的公式求出即可得到 an 的通项，然后 n=1 检验也符合，所以 nN，a n 都成立解答：解：（1）证 b1=a2a1=1，当 n2 时，所以b n是以 1 为首项， 为公比的等比数列（2）解由（1）知 ，当 n2 时，a n=a1+（a 2a1）+（a 3a2）+（a nan1）=1+1+（ ）+= = = ，当 n=1 时， 所以 12.(2009山东)等比数列 na的前 n项和为 nS， 已知对任意的 nN ，点 (,)nS，均在函数(0xybr且 1,br均为常数)的图像上. （1）求 r的值； （11）
26、当 b=2时，记 ()4nNa 求数列 nb的前 项和 nT解:因为对任意的 ,点 nS，均在函数 (0xyr且 1,br均为常数)的图像上.所以得nSbr,14当 1n时, 1aSbr, 当 2时, 111()()nnnnnbrb,又因为 为等比数列, 所以 r, 公比为 , 所以 1nnab（2）当 b=2时， 1()2nnab, 142nnb则 2341n nT 521n相减,得 234512n n312()12n12n所以 113nnnT13 （ 2010、山东） （本小题满分 12 分）已知等差数列 na满足： 37， 5726a， na的前 n 项和为 nS（）求 及 S；（）令
27、bn= 21a(nN*)，求数列 nb的前 n 项和 T【解析】 （）设等差数列 na的公差为 d，因为 37a， 5726，所以有12706da，解得 13,2，所以 3)=n+n（ ； nS= (-1)= 2n+。（）由（）知 21na，所以 bn= 2a= 2)1（ 4n(+)= 1(-)n，所以 nT= 1(-+-)43+ = 1(-4()，即数列 nb的前 n 项和 T= 4()。1514 （2009湖北）已知数列 an是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a2a6=55，a 2+a7=16（1）求数列a n的通项公式；（2）数列a n和数列b n满足等式 an= （nN *） ，
28、求数列b n的前 n 项和 Sn分析：（1）设等差数列a n的公差为 d，分别表示出 a2a6=55，a 2+a7=16 联立方程求得 d 和 a1 进而根据等差数列通项公式求得 an（2）令 cn= ，则有 an=c1+c2+cn，a n+1=c1+c2+cn+1 两式相减得 cn+1 等于常数 2，进而可得 bn，进而根据b1=2a1 求得 b1 则数列b n通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上 b1解答：解：（1）设等差数列a n的公差为 d，则依题意可知 d0 由 a2+a7=16，得 2a1+7d=16由 a2a6=55，得（ a1+2d） （a 1+5d）
29、=55由联立方程求得得 d=2，a 1=1 或 d=2，a 1= （排除）an=1+（n1）2=2n 1（2）令 cn= ，则有 an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1两式相减得an+1an=cn+1，由（1）得 a1=1，a n+1an=2cn+1=2，即 cn=2（n 2） ，即当 n2 时，bn=2n+1，又当 n=1 时，b 1=2a1=2bn=于是 Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26点评：本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质考查了对数列问题的综合把握15 （2009北京）设数列 an的通项公式为 an=pn+q（nN *，P 0）
30、数列b n定义如下：对于正整数 m，b m 是使得不等式 anm 成立的所有 n 中的最小值（）若 ，求 b3；（）若 p=2，q= 1，求数列b m的前 2m 项和公式；解答：解：（）由题意，得 ，解 ，得 16 成立的所有 n 中的最小正整数为 7，即 b3=7（）由题意，得 an=2n1，对于正整数 m，由 anm，得 根据 bm 的定义可知当 m=2k1 时，b m=k（kN *） ；当 m=2k 时，b m=k+1（kN *） b1+b2+b2m=（b 1+b3+b2m1）+（b 2+b4+b2m）=（1+2+3+m）+2+3+4+（m+1）=16 （2008浙江）已知数列 xn的首
31、项 x1=3，通项 xn=2np+np（nN*，p，q 为常数） ，且成等差数列求：（）p，q 的值；（）数列x n前 n 项和 Sn 的公式分析：（）根据 x1=3，求得 p，q 的关系，进而根据通项 xn=2np+np（n N*，p，q 为常数） ，且成等差数列建立关于 p 的方求得 p，进而求得 q（）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案解答：解：（）x 1=3，2p+q=3，又 x4=24p+4q，x 5=25p+5q，且 x1+x3=2x4，3+25p+5q=25p+8q，联立求得 p=1，q=1（）由（1）可知 xn=2n+nSn=（2+2 2+2n
32、）+ （1+2+n）=点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力17 （2008四川）设数列 an的前 n 项和为 Sn=2an2n，（）求 a1，a 4（）证明：a n+12an是等比数列；（）求a n的通项公式考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式。专题：计算题；证明题。分析：（）令 n=1 得到 s1=a1=2 并推出 an，令 n=2 求出 a2，s 2 得到 a3 推出 a4 即可；（）由已知得 an+12an=（S n+2n+1） （S n+2n）=2 n+12n=2n 即为等比数列；（）a n=（a n2an1）+2（a n12an2）+2
33、n2（a 22a1）+2 n1a1=（n+1）2 n1 即可解答：解：（）因为 a1=S1，2a 1=S1+2，所以 a1=2，S 1=2由 2an=Sn+2n 知 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1得 an+1=sn+2n+117所以 a2=S1+22=2+22=6，S 2=8a3=S2+23=8+23=16，S 2=24a4=S3+24=40（）由题设和式知 an+12an=（S n+2n+1）（S n+2n）=2 n+12n=2n所以a n+12an是首项为 2，公比为 2 的等比数列（）a n=（a n2an1）+2（a n12an2）+2 n2（a 22a1）+
34、2 n1a1=（n+1）2 n1点评：此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力18 （2008四川）在数列 an中，a 1=1， （）求a n的通项公式；（）令 ，求数列b n的前 n 项和 Sn；（）求数列a n的前 n 项和 Tn考点：数列递推式；数列的求和。专题：计算题。分析：（）由题设条件得 ，由此可知 （）由题设条件知 ， ，再由错位相减得，由此可知 （）由 得 由此可知Tn=2Sn+2a12an+1= 解答：解：（）由条件得 ，又 n=1 时， ，故数列 构成首项为 1，公式为 的等比数列从而 ，即
35、 （）由 得 ， ，两式相减得： ，所以 （）由 得 所以 Tn=2Sn+2a12an+1= 点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答1819 （2008陕西）已知数列 an的首项 ， ，n=1，2，3，（）证明：数列 是等比数列；（）求数列 的前 n 项和 Sn考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和。专题：计算题。分析：（1）化简 构造新的数列 ，进而证明数列 是等比数列（2）根据（1）求出数列 的递推公式，得出 an，进而构造数列 ，求出数列 的通项公式，进而求出前 n 项和 Sn解答：解：（）由已知： ， ， （2 分） ，又 ， ， （4 分）数列 是以 为首项，
36、 为公比的等比数列 （6 分）（）由（）知 ，即 ， （8 分）设 ，则 ，由 得： ， （10 分） 又 1+2+3+ （12 分）数列 的前 n 项和： （14 分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前 n 项和的方法1920. (2010、天津)（本小题满分 14分）在数列 na中， 10，且对任意 *kN， 2121,kka成等差数列，其公差为 kd。()若 kd=2k，证明 22,kka成等比数列（ ） ；()若对任意 *N， 1,成等比数列，其公比为 kq.设 1q1.证明 k是等差数列；【解析】 （）证明：由题设，可得 *4,21akNk。所以 1 31()
37、().()222aaaakk=4().4=2k(k+1)由 1a=0，得 222(1), ,(1).21kakakk从 而于是 2,ak所 以 。所以 *,212kdkNak时 ， 对 任 意 成等比数列。（）证法一：（i）证明：由 成等差数列，及 ,212akk成等比数列，得2,1221kkaaqkka当 1q1 时，可知 kq1，k *N从而 11, (2)12 kqk kk 即所以 1q是等差数列，公差为 1。21. （2009 全国卷理）设数列 na的前 项和为 ,nS 已知 1,a142nSa（I）设 12nnba，证明数列 b是等比数列 （II）求数列 的通项公式。解：（I）由 1
38、,及 142nSa，有 1214,a2112135,3aba20由 142nSa， 则当 2n时，有 142nSa 得 1,()na又 1nb， nb是首项 13b，公比为的等比数列（II）由（I）可得 123nn， 24na数列 2na是首项为 ，公差为 4的等比数列13()4n， 2(1)nna 10分22.（2008 四川卷） 设数列 n的前 项和为 nS，已知 1nnbaS（）证明：当 2b时， 12a是等比数列；（）求 na的通项公式解 由题意知 1，且 1nnbS12nnbbS两式相减得 12naa即 1nn （）当 2b时，由知 1nn于是 1212nnaa1n又 1120n，所
39、以 1n是首项为 1，公比为 2的等比数列。（）当 b时，由（）知 2na，即 1nna当 时，由由得 11122nnnnabbna12nnb因此 112nnnnaa2121nb得 1122nnnab23.（2005 北京）数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1=1， 13nnS， n=1，2，3，求（I） a2， a3， a4的值及数列 an的通项公式；（II） 62 的值.解：（I）由 a1=1， 13nnS，n=1，2，3，得23S， 124()9a， 31236()7aSa，由 11()nnn（n2） ，得 1nn（n2） ，又 a2= ，所以 an= 243(n2), 数列 an的通项公式为 21()nn
