1、第七章 半群与群,6.1 半群和独异点 6.2 群 6.3 环和域,6.1 半群和独异点,6.1.1 半群、 独异点和它们的子代数定义 6.1-1 具有构成成分S, *, 这里*是二元运算, 并满足结合公理 a*(b*c) = (a*b)*c 的代数称为半群。 即：二元运算*是可结合的代数系统V= S, *称之为半群。,定义 6.1-2 具有构成成分S, *, 1, 这里*是二元运算, 1是么元, 并满足结合公理 a*(b * c) = (a * b) * c 的代数称为独异点, 也称含么半群。 即：含有幺元的半群。,定义 6.1-3 如果S, *是半群, 且关于运算*封闭, 那么T, *是S
2、, *的子代数, 称T, * 为S, * 的子半群。 即：半群的子代数叫子半群,定理 6.1-1 子半群是半群。证 子半群是子代数, 关于运算*封闭, 结合律是继承的, 所以是半群。 证毕。,定义 6.1-4 如果S, *, 1是独异点。 , 且关于运算*封闭, 1T, 那么T , * , 1是S , * , 1的子代数, 称T, *, 1是S , * , 1的子独异点。 即：独异点的子代数叫子独异点。,定理 6.1-2 子独异点是独异点。证 子独异点是子代数, 关于运算 * 封闭, 含有么元, 结合律是继承的, 所以是独异点。 证毕。,例 1 (a) 设k0, Sk=x|xIxk, 那么,
3、Sk, +是半群, 因为这里+是普通加法可结合, 且Sk关于+封闭。注意, 如果k0, Sk在+运算下不封闭, Sk, +不是一个代数。(b) 代数I, -和R+, /不是半群, 因为减法和除法不可结合。(c) 如果表示乘法, 代数0, 1, 、0, 1), 和N, 都是半群, 且都是R, 的子半群。,(d) 设S=a, b, 定义运算*使a、b都是右零。 a * a = b * a = a a * b = b * b = b S上的运算*是可结合的, 因为对任意x、y、zS x*(y*z) = x*z = z = y*z = (x*y)*z 因此代数S, *是一半群, 叫做两元素右零半群。,
4、(e) 代数R, , 1是一独异点, 因为普通乘法是可结合的, 1是乘法么元。N, , 1和0, 1, , 1都是R, , 1的子独异点。I, , 0不是, 因为0不是指定运算的么元。(f) 如果是有限非空字母表, 那么+, 连结是半群, *, 连结, 是独异点。如果 , 那么A*, 连结, 是*, 连结, 的子独异点。,(g) 如果S是含有下界m的任一实数集合, 那么S, max, m是独异点;如果S是含有上界n的任一实数集合, 那么S, min, n是独异点。(h) 代数Nk, +k, 0和Nk, k, 1都是独异点。,如果S, *, e是独异点, 则S, *是半群; 但反之不真, 因为有
5、些半群含有么元, 有些不含么元, 例如N, +有么元, I+, +无么元。 常能用增添新元素的方法把一个半群S, *改变为独异点, 假设e是不在S中的元素(如果需要,我们能重新标记S的元素使 ), 我们能扩展运算*到Se, 使对一切xSe, x*e=e*x=x, 于是Se, *, e是独异点。把这个进程叫做“增添一么元”到半群S, *。,定义 6.1-5 在半群独异点中, 若运算是可交换的, 则称此半群(独异点)为可交换半群(可交换独异点)。定理 6.1-3 在任何可交换独异点S, *, e中, S的等幂元素集合T可构成子独异点。证 e*e=e, e是等幂元素,所以,eT。设a、bT, (a
6、* b)*(a*b)=*(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*b*a=a*a*b=a*b。所以, a*bT, 故T, *, e是子独异点。证毕。,下面我们定义独异点S, *, e中任意元素a的幂。 用归纳定义:(1) (基础) a0 = e(2) (归纳) an+1 = an*a(nN)由于独异点中, 运算*是可结合的, 容易证明如此定义的a的幂满足以下指数定律:,定义6.1-6 设S, *, e是独异点, 如果存在一个元素gS, 对于每一个元素aS, 都有一个相应的hN能把a写成gh, 即a=gh。 则称此独异点为循环独异点。并称元素g是此循环独异点的生成元, 又可说此循环独异点是
7、由g生成的。, 定理 6.1-4 每个循环独异点都是可交换的。证 设S, *, e是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 bS, 存在m、nN, 使a=gm和b=gn, 因此证毕。,例 2(a) 下表给出的代数是个循环独异点, 生成元是c(也可以是b), 因为 c0 = 1 c = c c2 = c*c = a c3 = c2 * c =a * c = b c4 = c3 * c = b * c = 1 = c0,生成元的概念可以扩展, 设S, *是半群, , 定义一个集合+如下:(1) 如果a, 则a+。(2) 如果x、y+, 则x*y+。(3) 只有有限次应用条款1和2生成的元素才属于
8、+。显然+, *是S, *的子半群, 我们称它为由生成的子半群, 叫生成元集合。 如果+, *不含么元, 我们给+, *增添一么元e, 则称+e, *, e是由生成的独异点。当是单元素集合时, 生成的半群(独异点)就是上述循环半群(循环独异点)。,例 3 (a) 下表给出的半群由a, b生成, 因为a = a, b = b, = a*b, = (b) 下表给出的半群中取2为生成元, 可生成半群0, 2, 4, *。(c) I+, +是半群, 取元素6为生成元, 可生成循环半群 6n|nI+, +。 取元素3和5组成生成元集合3, 5, 可 生成半群3, 5, 6n|n8, +。,且h(e)=1
9、, 那么称h为从A到B的独异点同态。,例 4 映射h: N N4, h(a)=a(mod 4)是从半群N, +到N4, +4的半群同态。 因为,注意, h(0)=0, 所以, 它也是从独异点N, +, 0到N4, +4, 0的独异点同态。给定集合S, 从S到S的函数集合Ss, 在合成运算下构成一个半群Ss, 。 。任意半群S, *和这个半群有以下关系。,定理 6.1-5 设S, *是给定半群, Ss, 。是从S到S的函数集合在合成运算下构成的半群, 则存在半群同态h: SSs证 定义函数fa(x)=a * x, faSs。作映射h: S Ss h(a) = fa h(a * b) = fa*b
10、 由于f a * b(x) = (a * b) * x=a * (b * x)=fa(fb(x)=(fafb)(x) 所以, h(a*b)=fa*b=fa fb=h(a) h(b)。 证毕。 ,6.2 群,6.2.1 群的定义和性质定义 6.2-1 群G , * 是一代数系统, 其中二元运算*满足以下3条:(1) 对所有的a, b, cG a * (b * c) = (a * b) * c,(2) 存在一个元素e, 对任意元素aG, 有 a * e = e * a = a (3) 对每一aG, 存在一个元素a-1, 使 a-1 * a = a * a-1 = e,简单地说, 群是具有一个可结合
11、运算, 存在么元, 每个元素存在逆元的代数系统。,每个元素的逆元是唯一的。 所以可看成是一种一元运算, 故一个群的构成成分可看成是G, *, -1, e, 这里-1是求逆运算。但通常为了简便仍记为G, *。如果G是有限集合, 则称G, *是有限群; 如果G是无限集合, 则称G, *是无限群。有限群G的基数|G|称为群的阶数。群中的运算 * 一般称为乘法。 如果 * 是一个可交换运算, 那么群G , * 就称为可交换群, 或称阿贝尔群。在可交换群中, 若运算符*改用+, 则称为加法群, 此时逆元a-1写成-a。,例 1(a) 代数I, +, -, 0是一个阿贝尔群, 这里+表示加法, -表示一元
12、减法。(b) 代数Q+, , -1, 1是一个阿贝尔群, 这里表示乘法, -1表示一个有理数的倒数运算。(c) 设A是任一集合, P表示A上的双射函数集合, 结构P, 。, -1, 1A是一个群, 这里。表示函数合成, f-1是f的逆函数, 通常这个群不是阿贝尔群。,定理 6.2-1 如果G , *是一个群, 则对于任何a、bG,(a) 存在一个唯一的元素x, 使得a * x=b。(b) 存在一个唯一的元素y, 使得y * a=b。证 (a) 至少有一个x满足a * x=b, 即x=a-1 * b, 因为 a * (a-1 * b)=(a * a-1) * b= e * b=b 如果x是G中满
13、足a * x=b的任意元素, 则 x=e * x=(a-1 * a) * x = a-1 * (a * x) = a-1 * b 所以, x=a-1 * b是满足a * x=b的唯一元素。,定理 6.2-2 如果G, *是一个群, 则对于任何a、b、cG,证 因为群的每一元素都有逆元, 根据定理6.1-4, 本定理显然成立。,定理 6.2-3 么元是群中唯一等幂元素。 证 如果x是等幂元素, 则,证毕。,定理 6.2-4 群G , *的运算表中的每一行或每一列都是G中元素的一个置换。 即：在G运算表的每一行里，G的每个元素都出现一次，且出现一次。在不同的行里，元素的排列顺序也不同。证 首先,
14、证明运算表中的行或列所含G的一个元素不可能多于一次。用反证法, 如果对应于元素a的那一行中有两个元素都是k, 即假定a * b1=a * b2=k, 而b1b2, 但根据定理6.2-2有b1=b2。 得出矛盾。对于列也一样可以证明。,其次, 要证明G的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。还是考察对应于元素a的那一行, 现设b是G中的任一元素, 由于b=a * (a-1 * b), 所以b必定出现在对应于a的那一行中。对于列也可同样证明。最后, 因为G, *中含有么元, 所以没有两行或两列是完全相同的。综合以上结果便得出: 运算表中每一行都是G的元素的一个置换, 并且每一行都是不同的置换
15、。同样的结论适合于列。证毕。,定理 6.2-5 如果, G , *是一个群, 则对于任何a、bG, (a * b)-1 = b-1 * a-1证 由于(a * b) * (a * b)-1= e和 (a * b) * (b-1 * a-1 ) = a * (b * b-1) * a-1= a * a-1 = e 而逆元是唯一的, 所以(a * b)-1=b-1 * a-1。证毕。,由以上性质可得出以下结论。(1) 一阶群仅有一个(同构的群认为是相同的, 以下不再说明), 如左下表所示。(2) 二阶群仅有一个, 如下边中间的表所示。(3) 三阶群仅一个, 如右下表所示。,(4) 四阶群仅有以下两
16、个: （Klein四元群）,(5) 五阶群仅有以下一个:,(6) 六阶群仅有以下两个:,从以上列出的群可知: 一阶群到五阶群全是阿贝尔群, 但六阶群不全是。为了继续介绍群的性质, 我们首先定义群G, *的任意元素a的幂。 如果nN, 则,由以上定义可知, 对任意m、kI, am, ak都是有意义的, 另外群中结合律成立, 不难证明以下指数定律成立:,(m、kI) (m、kI),定义 6.2-2 设G , *是一个群, 且aG, 如果存在正整数n使an=e, 则称元素的阶是有限的, 最小的正整数n称为元素a的阶。 如果不存在这样的正整数n, 则称元素a具有无限阶。显然, 群的么元e的阶是1。,定
17、理 6.2-6 如果群G , *的元素a拥有一个有限阶n, 则ak=e, 当且仅当k是n的倍数。证 (充分性)设k、m、n是整数。如果k=mn, 则, ak = amn = (an)m = em = e（必要性）反之, 假定ak=e, 且k=mn+t, 0tn, 于是 at = ak-mn = ak * a-mn = e * e-m = e由定义可知, n是使an=e的最小正整数, 而0tn, 所以t=0, 得k=mn。证毕。这样, 如果an=e, 并且没有n的因子d(1dn)能使ad=e, 则n是元素a的阶。例如, 如果a8=e, 但a2e, a4e, 则8必定是a的阶。,定理 6.2-7
18、群中的任一元素和它的逆元具有同样的阶。证 设aG具有有限阶n, 即an=e, 因此 (a-1)n = a-1n = (an)-1 = e-1 = e 如果(a-1)的阶是m, 则mn。 另一方面 am = (a-1)m-1 = e-1 = e 因而nm, 故m=n。,定理 6.2-8 在有限群G , * 中, 每一个元素具有一有限阶, 且阶数至多是|G|。证 设a是G , * 中任一元素。在序列a, a2, a3, , a|G|+1中至少有两元素是相等的。不妨设ar=as, 这里1sr|G|+1。 因为 e=a0=ar-r = a r * a -r = a r * a-s = ar-s 所以,
19、 a的阶数至多是r-s|G|。 证毕。,6.2.3 子群和群同态将子代数的定义具体地应用于群, 就得到子群的定义。定义 6.7-5 设G , *是一个群, S是G的非空子集, 并满足以下条件:(1) 对任意a、bS有a * bS ;(2) 对任意aS有a-1S;(3) eS, e是G , *的么元, 则称S , *是G , *的子群。,定理 6.2-11 设G , *是个群, S G, 如果(1)若a、bS, 则a * bS, (2)若aS, 则a-1S。那么S , *是G, *的子群。证 对任意元素aS, 由(2)得a-1S, 再由(1)得a * a-1=eS。所以, S , *是G , *
20、的子群。,定理 6.2-12 设G, *是一个有限群, 如果对任意元素a、 bS, 有a * bS, 那么S , *是G , *的子群。证 设a是S的任一元素, 则aG, 根据定理6.2-8, a具有阶数r, 由于S对运算*的封闭性, 所以a, a2, , ar全在S中, 特别是: ar-1 = ar * a-1 = e * a-1 = a-1 也在S中, 这就证明了若aS, 则a-1S。根据上一定理, 得出S, *是G , *的子群。 证毕。,例 4 I, +是一个无限群, N对+封闭, 但对求逆元不封闭, 所以N, +不是I, +的子群。设G , * 是一个群, T是G的任意非空子集, 我
21、们定义集合T*如下:(1) 如果aT, 则aT* 。(2) 如果x、yT*, 则x-1T*和x * yT*。(3) 只有有限次应用(1)和(2)构造的元素才属于T*。,根据定理6.2-11, T* , *是G, *的子群, 我们称T*, *为由T生成的子群。T叫做T* , *的生成元集合。特别, 取T为单元素集合a, 则T* , *是由a生成的G, *的循环子群。,定理 6.2-13 设h是G , *到H, 的群同态, 则G, *在h下的同态象h(G), 是H, 的子群。由定理5.3-3可直接得出:,定义 6.2-7 设h是从G , *到H, 的群同态。如果G的一个子集K的每一元素都被映入H的
22、么元eH, 再没有其它元素映入eH , 则K称为同态h的核, 记为ker(h)。,根据定理6.7-11, 所以, ker(h)形成G , *的子群。,6.2.4 陪集和拉格朗日定理设H , *是群G , *的子群, 我们称集合 aH = a * h|hH 为元素aG所确定的子群H , *的左陪集。元素a称为左陪集aH的表示元素。我们称集合 Ha = h * a|hH 为元素aG所确定的子群H , *的右陪集。元素a称为右陪集Ha的表示元素。,定理 6.7-17 设H , *是群G , *的子群, aH和bH是任意二个左陪集, 那么, 或aH=bH或aHbH=。证 假定aH和bH不是不相交的,
23、那么必有一个公共元素f, 于是 存在h1、h2H, 使f=a * h1=b * h2, 因此, a=b * h2 * h1-1。设x是aH中任一元素,于是存在h3H使x=a * h3, 因而x=b * h2 * h1-1 * h3, 因为h2 * h1-1 * h3是H中一个元素, 所以x是bH中的一个元素。类似的可证bH的任一元素是aH中的一个元素。这样, aH=bH。又aH和bH都是非空集合, aH=bH和aHbH= 不可得兼。 所以定理得证。,定理 6.7-18 H的任意陪集的大小(基数)是相等的。证 设a是G中任一元素,h1和h2是H中任意元素, 若h1h2, 则a * h1a * h
24、2。所以, aH中没有相同的元素, aH和H的大小一样, 因此, H的所有陪集的大小相等。证毕。有了以上二个定理, 另外, 由于H , *是G , *的子群, 么元eH, 所以, aaH, 。 因而我们可以断定H的左陪集集合构成G的一种划分, 且这种划分中的块的大小是一样的。 换句话说, G的大小等于H的不同左陪集的个数乘以H的大小。于是成立以下拉格朗日定理。,定理 6.7-19 一个有限群的任意子群的阶数可以除尽群的阶数。推论 6.7-19(1) 质数阶的群没有非平凡子群(e, *和G, *叫做群G, *的平凡子群。)(2) 在有限群G , *中, 任何元素的阶必是|G|的一个因子。 因为如
25、果aG是r阶的, 则e, a, a2, , ar-1, *是G , *的子群, r必除尽|G|。(3) 一个质数阶的群必定是循环的, 并且任一与么元不同的元素都是生成元。,定理 6.7-20 设H , *是群G , *的子群, 于是baH, 当且仅当a-1 * bH。证 baH, 当且仅当存在某一hH, 使b=a * h, 即a-1 * b=h, 因而当且仅当a-1 * bH。证毕。由这一定理, 可知H的左陪集等价关系可如下定义: 因为这一定理保证了同在一个陪集中的元素必然有关系; 反之, 有关系的, 必在同一陪集中。另一方面, 也容易直接验证具有自反性、 对称性和传递性, 因此是一等价关系。
26、,(1) a-1 * aH, 所以aa。这里a是G的任一元素。(2) 若ab, 则a-1 * bH, 所以, b-1 * a=(a-1 * b)-1H , 故ba。(3) 若ab和bc, 则a-1 * bH, b-1 * cH, a-1 * c=a-1 * (b * b-1) * c=(a-1 * b) * (b-1 * c)H。故a c。另外, ab, 习惯上写成ab(模H), 表示是由H诱导出的左陪集等价关系。 本小节的中心思想说的是: 子群H , *可以诱导出由H的左陪集集合构成的G的一个划分和由这个划分可以诱导出G的一个左陪集等价关系。,6.3 环和域,6.3.1 环、 整环和域定义
27、6.3-1 若代数系统R, +, 的二元运算+和具有下列三个性质:(1) R, +是阿贝尔群(加法群),(2) R, 是半群,(3) 乘法在加法+上可分配。 即对任意元素a、b、cR, 有 a(b+c) = ab+ac (b+c)a = ba+cd 则称R, +, 是个环。,例 1 (a) I, +, 是个环, 因为I, +是加法群, 0是么元, I, 是半群, 乘法在加法上可分配。(b) Nk, +k, k是个环, 这里Nk=0, 1, , k-1, k0, +k和k分别是模k加法和模k乘法。 因为Nk, +k是阿贝尔群, 0是么元, Nk, k是半群, 对任意元素a, b, cNk, 有,
28、又k可交换, 所以乘法在加法上可分配。,定理 6.3-1 设R, +, 是个环, 0是加法么元, 则对任意元素a, b, cR有 (a) a0 = 0a = 0 (b) (-a)b = a(-b) = -(ab) (c) (-a)(-b) = ab (d) a(b-c) = ab-ac (e) (b-c)a=ba-ca,证 (a) 0=a0-a0=a(0+0)-a0=a0+a0-a0 = a0 类似地可证: 0=0a 。(b) (-a)b=ab+(-a)b-(ab)=(a+(-a)b-(ab)=0b-(a b)=0-(ab)=-(ab) 类似地可证a(-b)=-(ab)。,定义 6.3-2 R
29、, +, 是一个环, 如果对于某些非零元素a, bR, 能使ab=0, 则称R, +, 是含零因子环, a、b称为零因子, 无零因子的环称为无零因子环。,定义(补充) 设R, +, 是一个环, 对于任意的a, bR, 如果ab=0, 则有a=0或b=0，则称R为无零因子环。,定理 6.3-2 环R, +, 是无零因子, 当且仅当R, +, 满足可约律。证 设a, b, cR是任意元素, 且a0。先证必要性。如果ab=ac, 那么ab-ac=0, a(b-c)=0, 由于无零因子, 所以b-c=0, 即b=c。 可见R, +, 满足可约律。再证充分性。如果bc=0且b0, 那么bc=b0, 由于
30、满足可约律, 所以c=0。又如果bc=0且c0, 那么bc=0c, 由于满足可约律, 所以, b=0。可见R, +, 无零因子。证毕。,定义 6.3-3 给定环R, +, , 如果R, 是可交换的, 称R, +, 是可交换环; 如果R, 是含么半群, 称R, +, 是含么环。如果R, +, 是可交换的, 含么而无零因子环, 则称它是整环。,例 2(a) I, +, 是整环。(b) N6, +6, 6不是整环, N7, +7, 7是整环。定义 6.3-4 如果F, +, 是整环, |F|1, F-0,是群, 则F, +, 是域。域的定义也可这样叙述: 满足(1) F, +是阿贝尔群,(2) F-
31、0, 是阿贝尔群,(3) 乘法对加法可分配的代数系统F, +, 称为域。,例 3 (a) 设Q表示有理数集合, R表示实数集合, C表示复数集合, 则Q, +, 、R, +, 、C, +, 都是域。 (b) Nk, +k, k是一个域, 当且仅当k是质数。证 必要性。 若k不是质数, 那么k=1或k=ab。 k=1时, N1=0。 只有一个元素不是域; k=ab时, 则akb=0, a、b是零因子, 所以Nk, +k, k不是域。,充分性。 (1) 首先证明Nk-0, k是群: (i) 对Nk-0中任意元素a和b, akb0, 所以Nk-0对k封闭。 (ii) k是可结合运算。 (iii) 运
32、算k的么元是1。 (iv) 对每一元素aNk-0都存在一逆元。,证明如下:设a, bc是Nk-0中任意三个元素, 现证akbakc。用反证法, 若akb=ak c, 则 ab = nk+r ac = mk+r 不妨设bc, 于是nm,ab-ac = nk-mka(b-c) = (n-m)k (1),因a和(b-c)都比k小而k是质数, (1)式不可能成立。这样就证明了若bc, 则akbakc。于是a和Nk-0中的k-1个数的模k乘法, 其结果都不相同, 但又必须等于1, 2, , k-1中的一个, 故必存在一元素b, 使akb=1。 这就证明了任意元素a存在逆元。 (v) k是可交换的。 由(
33、i)(v)得Nk-0, k是阿贝尔群。 (2) 显然Nk, +k是阿贝尔群。 (3) 乘法k对加法+k可分配, 在例1(b)中已证明。证毕。 综上所述，可知当k是质数时, Nk, +k, k是域, 称为模K整数域。 ,图 6.3-1,定义 6.3-5 给定一个环R, +, 代数系统S, +, 满足以下条件, 则称为R, +, 的子环。(1) ;(2) 若a、bS, 则a+bS, -aS;(3) 若a、bS, 则abS。或者：如果S是R的子集，且S对于R的加法和乘法仍然构成一个环S, +, ，则称S, +, 是R, +, 的子环。,6.3.2 子环和理想,定义 6.3-6 设R, +, 和S,
34、, 都是环, 如果映射h, 对于任何a、bR, 有h(a+b) = h(a) h(b)h(ab) = h(a)h(b) 则称h是从R, +, 到S, , 的环同态。,定义中第一个条件是保证h是从R, +到S, 的群同态, 第二个条件是保证h是从R, 到S, 的半群同态。 并且这两个条件和环的可分配性质是协调的, 例如, 对于任意a, b, cR,ha(b+c) = h(a)h(b+c)= h(a)h(b) h(c) = h(a)h(b)h(a)h(c) = h(ab) h(ac) = h(ab+ac),定义 6.3-7 设D , + , 是R, +, 的子环, 对果对于所有的aR和dD, ad和da都属于D, 则称D, +, 是R, +, 的理想。如果D=R或D=0, 则D , +, 也是R, +, 的理想, 称为平凡理想, 非平凡理想称为真理想。,例 4 (a) mi|iI, +, 是环I, +, 的理想。这里m是某一非负整数。(b) 0, 2, 4, +6, 6是环N6, +6, 6的理想。,
