1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 2 页，第卷第 3 至第 4 页全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟考生注意事项：1 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致2 答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3 答第卷时，必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写在试题卷上作答无效4 考试结束，监考员将试
2、题卷和答题卡一并收回参考公式：如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 AB， 24SR其中 表示球的半径()()PPR如果事件 相互独立，那么，球的体积公式 ()(): 34V如果随机变量 其中 表示球的半径,Bnp那 么 R(1)Dnp第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 复数 （ ）32(1)iA2 B2 C D2ii（2） 集合 ， 则下列结论正确的是（ ） |lg,1yRx,12BA B ()(,0)RAC D(0,)B1（3） 在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线
3、，若 ， ,则 （ ）(2,4)(3)CABA （2，4） B （ 3，5） C （3，5） D （2，4） （4） 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）,mn,A B,mn若 则 ,若 则 C D,若 则 mnn若 则 （5） 将函数 的图象按向量 平移后所得的图象关于点 中心对称，则向量si(2)3yx (,0)12的坐标可能为（ ）A B C D(,0)1(,0)6(,0)12(,)6（6） 设 则 中奇数的个数为（ ）881,xaxa ,18aA2 B3 C4 D5（7） 是方程 至少有一个负数根的（ ）020A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件
4、 D既不充分也不必要条件（8） 若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为（ (4,)l2()1xyl）A B C D3,(3,)3,3(,)（9） 在同一平面直角坐标系中，函数 的图象与 的图象关于直线 对称。而函(ygxxyeyx数 的图象与 的图象关于 轴对称，若 ，则 的值是（ ）()yfx() ()1fmA B C D e1eee（10） 设两个正态分布 和 的密度函数图像如图所示。则211()(0N， 2()(0N，有（ ）A 1212,B C 1212,D（11） 若函数 分别是 上的奇函数、偶函数，且满足 ，则有（ ）(),fxgR()xfxgeA B23(0
5、)(0)32gfC D(2)0(3)fgf(0)2(3)gf（12）12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A B C D 283268CA286A285CA2008 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第卷（非选择题 共 90 分）考生注意事项：请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题卡的相应位置（13） 函数 的定义域为 21()log()xf（14）在数列
6、在中， ， ， ,其中 为常数，则na54n 212naab *nNab的值是 limnb（15）若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从2 连续变化到 1 时，动直线A02xya扫过 中的那部分区域的面积为 xya（16）已知 在同一个球面上, 若,ABCD,ABCD,6,AB213,C,则 两点间的球面距离是 8三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）已知函数 ()cos2)sin()si()34fxx（）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数 在区间 上的值域()fx,12（18） （本小题满分 12
7、分如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1 的菱形， , , OABCD 4ABCOABCD, 为 的中点， 为 的中点2AMN（）证明：直线 ；（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （）求点 B 到平面 OCD 的距离。(19) （本小题满分 12 分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 为成活沙柳的株数，数学期望 ，标准差3E为 。62（）求 n,p 的值并写出 的分布列；（）若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率NMABDCO（20） （本小题满
8、分 12 分）设函数 1()(01)lnfxx（）求函数 的单调区间； （）已知 对任意 成立，求实数 的取值范围。12ax(0,1)xa（21） （本小题满分 13 分）设数列 满足 为实数na3*01,nacNc（）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；* 0,1（）设 ，证明： ;3c1*(3),nnc（）设 ，证明：1022*1 ,3nanNc（22） （本小题满分 13 分）设椭圆 过点 ，且着焦点为2:1(0)xyCab(2,1)M1(2,0)F（）求椭圆 的方程；（）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，满足(4,)PlC,ABQ，证明：点 总在某定直
9、线上AQB:Q2008 年高考安徽理科数学试题参考答案一. 选择题1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12C(1) .A【解析】 . 233412iii:(2) . D【解析】 . |lg,1(0,)yRx2,1RAB(3) . B【解析】 .2(3,5)ABCA(4) . D【解析】若 ，则 可相交，平行、异面均可， 错；若 ，则 可,mn,nA,平行，也可相交， 错误；若 ， 的位置关系决定 的关系， 也错误；若,mn,C，则 （线面垂直的性质定理） ，故选 ., D(5) .C【解析】设 ，则平移后所得的函数为 ，图象关a =(h,0)y=sin2()s
10、in233xhxh于点 对称，从而有 ，解得,12 i()i016（其中 ） ，故选 .khZC(6) .A【解析】 ，奇遇都是偶数，选 . 081aA(7) .B【解析】这一题是课本习题改编题，当 ，显然有 ，则有一负数根，具备充分性；0a120xa反之若方程有一负数根， 或 或 ，得到 ，不具备必要性，0a120xa1240xa:1因此选 . B(8) . C【解析】点 在圆外，因此斜率必存在.设经过该点的直线方程为 ，所以有4,0A 40kxy，解得 .从而选 .21k3kC(9) .B【解析】 ， 在函数 的图象上，从而点 在 的图fm(,1)yfx(,1)m()ygx象上，因此点 在
11、 的图象上，故有 ，即 ，因而选 . (1,)xye1meeB(10) .A【解析】正态分布函数 图象关于直线2()1()xFx对称，而 ，其大小表示变量集中程度，值越大，数x2D据分布越广，图象越胖；值越小，量越集中，图象越瘦，因此选 . A(11) .【解析】 ，在 上为增函数，有2xefR； ， ，此选 .21()3ef2xeg(0)1gD(12) .C【解析】在后排选出 2 个人有 种选法，分别插入到前排中去，有 种方法，由乘法原28C1256A理知共有 种调整方案，选 .286A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置。13: 14:
12、1 15: 16: 3,)743（13） 【解析】由 ，解得： ，值域为 ., |x2|101log()2xor3x,)（14）1.【解析】 ， ，从而235(4)12nns1,2ab12(-)limlinnnab（15） .74【解析】作出可行域,如右图，则直线扫过的面积为即可.12724AOBCS（16） .43【解析】 、 、ABC:DA:都是直角三角形，因此球心 为 的中点，O，又4R2(13)64O则 两点间的球间距离是 .BC， 3二. 解答题17 解：（1） ()cos2)sin()si()4fxx13i2icosinco)xx22cosinsi2x13icoxsin(2)6x-
13、22AOBCBDACOQENMABDCOP2T由 (),()623kxkZxZ函数图象的对称轴方程为 （2） 5,2,16xx因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，()sin)6f13,32所以 当 时， 去最大值 13x(fx又 ，当 时， 取最小值()122ff2x()fx2所以 函数 在区间 上的值域为()fx,13,118 方法一（综合法）（1）取 OB 中点 E，连接 ME，NEMCD AB, 又 NONCD （2） CD AB,为异面直线 与 所成的角（或其补角）M M作 连接,PP O CD2,4A D=，2M1cos,23DPMCMDPx yzNMABDCOP所以 与
14、所成角的大小为ABMD3（3） 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作 OC,于点 Q，P,CODOPQCD 又 ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离,A ，2221324ODAP 2，所以点 B 到平面 OCD 的距离为32APQ: 3方法二(向量法)作 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 轴建立坐标系APCD,xyz,222(0,)(1,0)(,),(,0),(,)(0,1)(,0)4BDOMN(1) 2(,1),(,),(,)4MNOP设平面 OCD 的法向量为 ,则nxyz0,nD:即 202xyz取 ,解得2z(0,4
15、)n21,1(,2)0MN: OCD(2)设 与 所成的角为 ,AB2(1,0)(,1)ABMD, 与 所成角的大小为1cos,23ABMD: ABMD3(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,dO(0,42)n由 , 得 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为(1,02)O3n 319 (1)由 得 ,从而23,()(1),2Enpnp1p16,2np的分布列为0 1 2 3 4 5 6P6456401614(2)记”需要补种沙柳”为事件 A, 则 得(),PA或 15201(),3A521(314320 解 (1) 若 则 列表如下 2ln(),xf(
16、)0,fxex1(0,)e11(,)(1,)()f+ 0 - -x单调增 极大值 ()fe单调减 单调减(2) 在 两边取对数, 得 ,由于 所以12ax1ln2lax01,(1)ll由(1)的结果可知,当 时, , (01)x()fxe为使(1)式对所有 成立,当且仅当 ,即ln2aln221 解 (1) 必要性 ： ，12,ac 又 ，即20,11ac 0,充分性 ：设 ，对 用数学归纳法证明c*nN,1na当 时， .假设n1,()k则 ，且31 1kkacc31 0kcc，由数学归纳法知 对所有 成立0, 0,na*nN(2) 设 ，当 时， ，结论成立03cn1当 时，2n21 11
17、,()nnnnacaca ,由（1）知 ，所以 且 03C 10,13n10na()nnc21112(3)()(nnnacacc*()nncN(3) 设 ，当 时， ，结论成立032103c当 时，由（2）知 (3)nnac1212(1)1() ()n nnac 2 221123nnncc (13)122 解 (1)由题意：，解得 ，所求椭圆方程为 2221cab24,ab214xy(2)方法一设点 Q、A、B 的坐标分别为 。12(,),(,)xyxy由题设知 均不为零，记 ,则 且,PQBAPQB01又 A，P，B， Q 四点共线，从而 ,AP于是 ， 124x12y， 从而 ， （1） ， （2）214xx 21yy 又点 A、B 在椭圆 C 上，即21,(3)y 24,()x （1）+（2）2 并结合（3） ， （4）得 sy即点 总在定直线 上(,)Qxy20xy方法二设点 ，由题设， 均不为零。12(,),)(,)AB,PABQ且 PQ又 四点共线，可设 ,于是,AB,(01)PAB（1）114,xy（2）22由于 在椭圆 C 上，将（1） ， （2）分别代入 C 的方程 整理得1(,)(,)AxyB 24,xy（3）224()140xy(4)()xy(4)(3) 得 8(2)xy0,20xy 即点 总在定直线 上()Q2
