1、【是否存在几项构成 AP/GP 问题】已知非零数列 的递推公式为na11,2nnaa（1）求证数列 是等比数列。1+n（2）若关于 的不等式 2221 15.12log()log()log()nmnnaaa有解，求整数 m 最小值（3）在数列 中，是否一定存在首项、第 r 项、第 s 项 使得这三1()nna 1rs项依次成等差数列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由。【答案：(1)由 ，得： ，即 ，所以na12na12na12(1)nna是首项为 ，公比 的等比数列.1n(2)由(1)可得： ，所以已知的不等式等价于 ，则12na112nn，所以 单调递增，则1()( 02fnf(
2、)f,于是 ，即 . 故整数 的最小值为 .mi125m3m4(3)由上面得 ，则 .1na(1)2()nnn ba要使 成等差数列，只需 ，即 ，因为1,rsb12srb1()213srsr，则上式左端 ；又因为上式右端 ，于是当且仅s2sr00sr当 ，且 为不小于 的偶数时， 成等差数列】r41,rsb若函数 满足：集合 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函()fx*()|AfnN数 是等比源函数.（1）判断下列函数： ； 中，哪些是等比源函数？（不需证明）2logyxsin2yx（2）证明：对任意的正奇数 ，函数 不是等比源函数；b()fb（3）证明：任意的 ，函数 都是等比源函
3、数.*,dNgxd【解】 （1）都是等比源函数. 4 分（2）证明：假设存在正整数 且 ，使得 成等比数列，,mnkk(),()fmnfk，整理得 ， 2()()nbb22nmbb等式两边同除以 得 .,m2nmkk因为 ，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，1,nk所以等式 不可能成立，22mnkkmbb所以假设不成立，说明对任意的正奇数 ，函数 不是等比源函数 10()2xfb分（3）因为任意的 ，都有 ，*,dbN(1)(gnd所以任意的 ，数列 都是以 为首项公差为 的等差数列.,)gd由 ， （其中 ）可得2()1()gmgk1mk，整理得2()dd，(1)2(1)()1mgdgk令 ，则 ，2()1dgk所以 ，()k所以任意的 ，数列 中总存在三项 成等*,dbN()gn(1),2(1)ggd比数列.所以任意的 ，函数 都是等比源函数. 18*,()xdb分
