1、 1 / 9第六章 反比例函数讲义6.1 反比例函数教材精华知识点 1 反比例函数的概念定义：一般地，如果两个变量 x， y 之间的关系可以表示成 y (k 为常数， k0)的形式，那么称 y 是 x 的x反比例函数拓展 (1)等号左边是函数 y，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数 k(也叫做比例系数 k)，分母中含有自变量 x，且 x 的指数是 1，若写成 y kx1 则 x 的指数是1 (2)比例系数 k0 是反比例函数定义的一个重要组成部分(3)自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数(4)函数 y 的取值范围也是一切非零实数知识点 2 用待定系数法求反比例函数的表达式由于在反比例
2、函数 y 中，只有一个待定系数因此只需要一组对应值，即可求出 k 的值，从而确定其表xk达式知识点 3 反比例关系与反比例函数的区别和联系我们学过反比例关系如果 xy k(k 是常数， k0)那么 x 与 y 这两个量成反比例关系，这里 x， y 既可以代表单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式，例如若 y3 与 x1 成反比例，则 y3 ，若 y 与 x2 成1k反比例，则 y 成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数 y 中的两个变量必成反比例关系2xk k拓展 反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数一定是反比例关系规律方法小结 类比思想：在学习反比例函数的概念时，注意与成反比例
3、的量进行类比，与正比例函数的概念对比，这样便于我们对反比例函数的概念的理解与掌握课堂检测基本概念题1、下列各式中， y 是 x 的反比例函数吗?为什么?(1) xy2； (2)y10 x；(3)y ； (4)y (b 为常数， b0)33基础知识应用题2、判断下列各题中的两个变量是否成比例关系，若成比例关系，指出是正比例关系，还是反比例关系(1)三角形底边长为定值，它的面积 S 与这条边上的高 h；(2)三角形面积为定值，它的底边长 a 与这条边上的高 h；(3)正方形的面积 S 与它的一边长 a；(4)周长为定值的长方形的长和宽；(5)面积为定值的长方形的长和宽；(6)儿童的身高与年龄；(7
4、)圆的周长与它的半径2 / 93、若函数 y( m1) 是反比例函数，求 m 的值132mx综合应用题4、一定质量的二氧化碳，它的体积 V 与它的密度 成反比例，当 V5m 3 时， =1.98kgm 3，求 与 V的函数关系式5、一水池内蓄水 40 m3.设放完满池水的时间为 T 小时，每小时的放水量为 W m3，规定放水时间不得超过20 小时，求 T 与 W 之间的函数关系式，指出函数 T 和自变量 W 的取值范围.探索创新题6、某工人计划利用一块不锈钢钢锭加工成一个面积为 08m 2 的矩形框工件，设工件的长与宽分别为 y m与 x m (不计厚度)(1)请写出 y 与 x 之间的函数表
5、达式；(2)如果想使工件的长比宽多 16 m，已知加工费为每米 6 元，求加工这个工件所需的费用体验中考若梯形的下底长为 x，上底长为下底长的 ，高为 y，面积为 60，则 y 与 x 的函数关系式是 ( 不考虑31x 的取值范围)6.2 反比例 函数的图像与性质3 / 9新课导引【生活链接】爱思考的小明想在坐标系中描出横、纵坐标的积等于 6 的点，并列表如下：x 654321 1 2 3 4 5 6 y 11.21.5236 6 3 21.51.21 然后他将 x， y 的对应值分别作为点的横、纵坐标在直角坐标系中描了出来(如下图所示) 【问题探究】如果用光滑曲线顺次连接图中各点，能得到怎样
6、的图象?你能描述它的形状和性质吗?【点拨】由 xy=6 可得 ，是反比例函数反比例函数的图象叫做双曲线xy6教材精华知识点 1 反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，也称双曲线 (k0)，其图象如图 51 所示xy拓展 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量 x0，函数 y0，所以它们的图象与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴知识点 2 反比例函数图象的画法(1)列表：自变量的取值应以 0 为中心，在 0 的两边取三对( 或三对以上)相反数，如 1 和1
7、 ，2 和2，3 和3 等等，填 y 值时，只需计算原点一侧的函数值，如分别计算出当 x1，2，3 时的函数值，那么当x1，2，3 时的函数值应是与之对应的相反数(2)描点：先画出反比例函数的图象的一侧，另一侧可根据图象关于原点对称的性质来画(3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸拓展 画反比例函数的图象时，应注意以下几点：4 / 9(1) 两条曲线是平滑的，不要只画一个分支，而忘了画另一个分支(2) 两条曲线无限靠近坐标轴，但与坐标轴无交点探究交流 反比例函数 (k0)的图象是轴对称图形吗 ?xy点拨 反比例函数 (k0)的图象是轴对称图形，它的对称轴有两条，分别是直线 y x 和直线
8、y x知识点 3 反比例函数的性质反比例函数 (k0)的性质如下：xy当 k0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，在每个象限内， y随 x 的增大而减小当 k0 时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，在每个象限内， y随 x 的增大而增大拓展 (1)描述函数值的增减情况时，必须指出 “在每个象限内 ”若说成“当 k0(或 k0)时， y 随 x 的增大而减小(或增大)” ，就会出现与事实不符的矛盾(2)反比例函数的图象的位置、函数的增减性都是由比例系数 k 的符号决定的反过来，由双曲线的位置、反比例函数的增减性也可以推断出
9、 k 的符号，即双曲线在第一、三象限时， k0；双曲线在第二、四象限时，k0 探究交流 反比例函数的表达式中 k 的几何意义点拨 反比例函数 的本质特征是两个变量 y 与 x 的乘积是一个常数 k，由此可以推得反比例函数的一个xy重要性质若 A 是反比例函数 图象上任意一点，且 AB 垂直 x 轴，垂足为k B， AC 垂直 y 轴，垂足为 C，则 S 矩形 ABOC ，如图 52 所示由反比例函数图象与矩形面积的关系可以得出反比例函数图象与三角形面积的关系： SAOB SAOC S 矩形 ABOC k1规律方法小结 数形结合思想：学习反比例函数与学习其他函数一样， 要善于数形结合，由表达式联
10、想图象的位置及性质，由图象和性质联想比例系数 k 的符号课堂检测基础知识应用题1、在同一直角坐标系内画出反比例函数 与 的图象xy42、已知反比例函数的表达式为 ，分别根据下列条件求出字母 k 的取值范围xky4(1)函数图象位于第一、三象限；(2)在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大5 / 9综合应用题3、如图 55 所示， A， B 是函数 的图象上关于原点 O 的对称点， AD 平行于 y 轴，xy1BC 平行于 x 轴， ABC 的面积为 S，则下列各式正确的是 ( )A S1 B S2C S2 D 1 S24、已知反比例函数 的图象经过点(4， )，若一次函数 y x1 的图象
11、平移后经过该反比例函数图象xky1上的点 B(2， m)，求平移后的一次函数图象与 x 轴的交点坐标探索创新题5、如图 57 所示，已知双曲线 (k0)与直线 y kx 交于 A， B 两点，点 A 在第一象限，试解答下列xy问题(1)若点 A 的坐标为(4，2)，则点 B 的坐标为 ，若点 A 的横坐标为 m， 则点 B 的坐标可表示为 (2)如图 58 所示，过原点 O 作另一条直线 l，交双曲线 (k0)于 P， Q 两点，点 P 在第一象限xy试说明四边形 APBQ 一定是平行四边形；设点 A， P 的横坐标分别为 m， n，四边形 APBQ 可能是矩形吗? 可能是正方形吗?若可能，直
12、接写出m， n 应满足的条件；若不可能，请说明理由体验中考1、已知图 5 10(1)中的曲线是反比例函数 (m 为常数)图象的一支xy(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限?常数 m 的取值范围是什么?6 / 9(2)若该函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象在第一象限内的交点为 A，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 B，当 OAB 的面积为 4 时，求点 A 的坐标及反比例函数的解析式2、如图 511 所示，已知 A(4， n)， B(2，4)是一次函数 y kx b 的图象和反比例函数 的图象xmy的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线 AB 与 x 轴的交点
13、 C 的坐标及 AOB 的面积；(3)求方程 的解( 请直接写出答案)；0mbk(4)求不等式 0 的解集(请直接写出答案 )x6.3 反比例函数的应用【生活链接】一段时期市场上使用杆称，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使砣较轻，从而欺骗客户【问题探究】(1)如右图所示，对于同一物体，哪个图用的是标准秤砣，哪个图用的是较轻的秤砣?(2)在称同一物体时，所称得的物体质量 y(千克)与所用秤砣质量 x(千克) 之间满足什么关系?(3)当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质?【点拨】(1)设物体重为 W，阻力臂为 L1，秤砣重 F，动力臂为 L2，则由于 WL1
14、FL2，且 WL1 一定， F 越小， L2 越大，显示物体质量越多，故(2)用的是标准秤砣，(1)用的是较轻的秤砣(2)由(1) 的分析可知， y 与 x 之间满足反比例关系(3)设这个反比例函数为 (k0)，则当 x 变小时， y 增大，所以当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合反比例函数 中，当 k0， x0 时，函数的图象在第一象限内， y 随 x 的减小而增大的性质(即 y 随 x 的x增大而减小)7 / 9教材精华知识点 利用反比例函数解决实际问题反比例函数是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要的数学模型它在现实生活中有着广泛的应用利用反比例函数的图象与性质，能比较清晰、直观、
15、简捷地解决一些实际问题在生活中有许许多多成反比例关系的实例如：当路程 s 一定时，时间 t 与速度 v 成反比例关系，写成(s 是常数 )；当矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比例关系，写成 (S 是常数)；当面积是常数 S 时，vt ba三角形的底边长 y 与高 x 成反比例关系，写成 (S 是常数)；当功是常数 W 时，力 F 与物体在力的方向上xy2通过的位移 s 成反比例关系，写成 (W 是常数)；当压力 F 一定时，压强 p 与受力面积 S 之间成反比例关sF系，写成 (F 是常数)；在某一电路中，保持电压 U 不变，电流 I 与电阻 R 成反比例关系，写成 (USp RI
16、是常数)等等在利用反比例函数解决实际问题时，一定要注意 (k 为常数， k0)这一条件结合图象说出性质，根据xy性质大致画出图象，求函数的表达式是必须掌握的拓展 实际问题中的数量关系一般都具有实际意义，所以在建立数学模型解答问题时，需注意实际问题对数学答案的要求与限制如一些数量非负(时间、速度、长度一定是正数，人数是正整数等 )，在解答过程中要时刻注意问题中的要求规律方法小结 数学建模思想是解决实际问题的基本思想方法在许多实际问题中，需抽象出数学模型(如建立坐标系，设出函数关系式，列出方程等)，即用数学关系式或图形来表示实际问题中数量之间的关系，从而运用数学方法求出问题的答案，使问题得以解决课
17、堂检测基础知识应用题1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P(kPa)是气体体积 V(m3)的反比例函数，其图象如图 519 所示当气球内的气压大于 120 kPa 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应 ( )A不小于 m3 B小于 m3 445C不小于 m3 D小于 m352、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以 50 千米时的平均速度从甲地出发，则经过 6 小时可到达乙地(1)甲、乙两地相距多少千米?(2)如果汽车把速度提高到 v 千米时，那么从甲地到乙地所用时间 t 小时将怎样变化?(3)写出 t 与 v 之间的函数关系式；(4)因某种原因，这辆汽车需
18、要在 5 小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?(5)已知汽车的平均速度最大可达 80 千米时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时问?8 / 9综合应用题3、某课外小组在做气体试验时，获得压强 p(pa)与体积 V(cm3)之间有下列对应数据：p(Pa) 1 2 3 4 5 V(cm3) 6 3 2 1.5 1.2 根据表中提供的信息，回答下列问题(1)猜想 p 与 V 之间的关系，并求出函数关系式；(2)当气体的体积是 12 cm3 时，压强是多少?4、某地区去年电价为 08 元，年用电量为 1 亿度，今年计划将电价调至 0550 75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则
19、今年新增加用电量 y 亿度与( x04)元成反比例，当 x065 元时， y08(1)求 y 与 x 之间的函数表达式；(2)若每度电的成本价为 03 元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年的增加 20?( 收益用电量 实际电价用电量 成本价)探索创新题5、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p(千帕)(千帕是一种压强单位)是气体体积 V(米 3)的反比例函数，其图象如图 520 所示(1)写出这个函数的表达式；(2)当气球的体积为 08 立方米时，气球内的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小
20、于多少立方米?体验中考1、一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流 I(A)与电阻 R()之间的函数关系如图 523 所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 10 A，那么此用电器的可变电阻应 ( )A不小于 48 B不大于 48 9 / 9C不小于 14 D不大于 14 2、为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒对教室进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克 )与时间 t(小时)成正比，药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为 (a 为常数)，如图 524ty所示，根据图 524 中提供的信息，解答下列问题(1)写出从药物释放开始， y 与 t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 025 毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?
