1、 APOyxA POyx与反比例函数有关的面积问题解析如图 1,过双曲线 上的任一点 ,作 轴（或 轴）的垂线,则0kyxPxyy.12AOPS如图 2,过双曲线 上的0kyx任一点 ,作 轴、 轴的垂线,P则 .AOBSyk矩 形以上是反比例函数图象的一个重要性质,在解比例函数图象有关的面积问题时,有广泛的应用.利用以上结论我们可以解决以下一系列的问题.如图 3,在平面直角坐标系中,点 A、B 在反比例函数 xky的图象上,ACy 轴,BDx 轴,设AOC 和 BOD 的面积分别是 S1、S 2,比较它们的大小,可得（ ）（A）S 1S 2 （B）S 1S 2 （C）S 1S 2 （D）大小
2、关系不能确定解析 ,故应选（B）.k(图 1) BA POyx(图 2)DCOBAyx(图 3)2ABCOACOkSS如图 4,点 、 是双曲线 上的点,过点AB0kyxA 作 AC 垂直于 轴,垂足为 C,过点 B 作 BD 垂直于 轴,xx垂足为 D,设AOE 和四边形 ECDB 的面积分别是 S1、S 2,比较它们的大小,可得（ ）（A）S 1S 2 （B）S 1S 2 （C）S 1S 2 （D）大小关系不能确定解析 显然 AOCAOCEBDOES即 S1S 2故应选（B）.如图 5,函数 与 的图象0ymx0kyx交于 A、B 两点,过点 A 作 AC 垂直于 轴,垂足为 C,则的面积
3、为 .C解析 任意正比例函数与反比例函数图象的两个交点 A、B 一定关于原点（中心）对称A、O、B 三点在一条直线上且 OAOB点 A 与点 B 的横、纵坐标互为相反数.所以点 A、点 B 横（纵）坐标绝对值相等因此如图 6-1,函数 与 的图象交于 A、B 两点,AC、BD 分别垂直0ymx0yxy 轴（亦可向 x 轴作垂线图 6-2）于点 C、D ,则四边形 ACBD 的面积为 . EDCOBAyx(图 4)COBAyx(图 5)DCOBAyxDCOBAyx(图 6-1) (图 6-2)解析 .242ABCBOCAAOCACD kSSS四 边 形如图 7,函数 与 的图象交于 A、B 两点
4、,AC、BD 分别垂直 x0ymx0kyx与 y 轴于点 C、 D,连结 CD,则四边形 ACBD 的面积为 . 解析 .332BODCAOCA kSSS四 边 形如图 8,函数 与 的图象交于 A、B 两点,AC、BF 分别垂直 x0ymx0kyx于点 C、F, AE、BD 分别垂直 y 于点 E、D , 连结 CD,则六边形 AEFBDC 的面积为 . 解析 .22632BOCDAOACAEFBDCACB kSSSS六 边 形 四 边 形如图 9,已知一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 A、B 两点,且点bkxy12yxA 的横坐标是 1,点 B 的纵坐标是1 , 求（1）一次函数的
5、解析式；（2）AOB 的面积.解析 首先利用反比例函数解析式 ,12yx将点 A、B 坐标求完整.1,05,其次利用待定系数法求出一次函数的解析式 0.5yx再求出直线 AB 与 x 轴交点 C 的坐标, .,DCOBAyxFEDCOBAyx(图 7) (图 8)DCOBA -2-121-2 -1 21yx(图 9)113228AOBCBOABABSSyCyOy.(注明：这里出现的 与 指的是 点 A、点 B 的纵坐标)Ay如图 10-1,函数 与 的图象交于 A、B 两点,则 的0mxn0kxOB面积为 .解析 第一种方法：如图 10-1,首先要根据条件将 A、B、C 三点坐标求出,再将 的
6、面积看成 与 的面积之差.AOB C O即 .1122CAOBABASSyyy 第二种方法：如图 10-2,过点 A 作 ACx 轴于点 C,过点 B 作 BDx 轴于点 D,由前面已证的反比例函数的性质得 ODS12AOBDACBABCABCDSSyx四 边 形 四 边 形(注明：这里出现的 与 指的是 点 C、点 D 的横坐标)CxD如图11-1,双曲线y 经过矩形BDCO 的边CD的中点A,交BD于点M,四边形OMDA面积为2,则xkk的值为（ ）(A)1 (B)2 (C) 4 (D) 6COBAyxD COBAyx(图 10-1) (图 10-2)2abk解析 如图 11-2,连 OD
7、,设 ,则Dab,2A点 在反比例函数 的图象上A即点 在反比例函数 的图象上M点 的纵坐标为 b点 的横坐标为即 , 点 为 BD 的中点M 与 等底同高AOC DS 同理可得 BMOS 224ADMDC OMDAS四 边 形 四 边 形 k四 边 形 4k反比例函数的图象在第一、三象限内, ,则 .0故应选（C）.kyx2a2ayxb M DCOB Ay x M DCOB Ay x(图 11-1) (图 11-2)COBAyx(图 5)如图12-1,双曲线y 交矩形BDCO 边BD于点M,交边CD于点A,且 ,四xk 1BDnM边形OMDA面积为 2,则k _ _( 用含n的代数式表示)解
8、析 如图 12-2,连 OD,设 ,则Mab,Dn点 在反比例函数 的图象上Mkab即点 在反比例函数 的图象上点 的横坐标为 naA点 的纵坐标为即 ,CDnA n 与 同高AO 同理可得kyxb,Aa11,nCAODSSn 1BMMM DCOBAyxM DCOBAyx(图 12-1) (图 12-2)111212AOCDBOMDBD OAODMOMDASSSnnSnn四 边 形 四 边 形 BDCOSk四 边 形反比例函数的图象在第一、三象限内, ,则. .0k如图 13-1,在反比例函数 的图像上有点 A、B、C 、D ,它们的横坐标依次为20yx1、2、3、4,分别过这些点作 x 轴与
9、 y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 、 、 ,则 的值是_ _S3123S解析 显然图13-1中的 与图13-2中的 相等,2S4S图13-1中的 与图13-2中的 相等,35所以 123S21nDS 3S2S1 y=2xCOBA3213 5421yxSDS 5S4S1 y=2xCOBA3213 5421yx(图 13-1) (图 13-2)= 145S= =OEAF矩 形 2S点 在反比例函数 的图象上D又 点 的横坐标为 4点 的纵坐标为即 12S所以 = =13S2反比例函数是每年中考必考的内容,特别是与反比例函数图象有关的面积问题,已成为近年考试园中一支鲜艳的奇葩
10、这类题目主要考查学生灵活运用数学知识,分析和解决问题的能力现就 2009 年中考试题中有关反比例函数题型, 举例说明例 1（2009 年钦州市）如图 14 是反比例函数 y kx在第二象限内的图象,若图中的矩形OABC 的面积为 2,则 k_ _解析 易得 ,因为反比例函数的图象在第二象限内,2OABCS矩 形所以 ,则 .0例 2(2009 年 常 德 市 ) 如图 15-1,在平面直角坐标系中 ,矩形 ABCD 的中心在原点,顶点A、C 在反比例函数 xky的图象上 ,ABy 轴,ADx 轴,若 ABCD 的面积为 8,则 k =( )（A）2 （B）2 （C ）4 （D）4解析 显然矩形
11、 ABCD 的面积是基本矩形（图 15-2 中阴影部分面积）的 4 倍,易得 ,因为反比例函数的图象在48ABCDSk矩 形第二象限内,所以 ,则 .02故应选（A）.例 3(2009 年 济宁市) 如图 16, 和 都与 轴和 轴相切 ,圆心 B xy和圆心 都在反比例函数的 图象上,则图中阴影部分的面积B等于 解析 设 ,则有 ,0Aa21,a1AyxxyCOyAB CDO x(图 14) (图 15-1) (图 15-2)AxyOB(图 16)1yx424ABCDkS矩 形 24ABCOACOkSS214ODEBAS由点 A 的坐标可知,圆的半径是 1,又由反比例函数的对称性知,两个阴影
12、的面积和为一个圆的面积,因此,图 16 中两个阴影面积的和为 .例 4(2009 年 河池市) 如图 17-1,A、B 是函数 2yx的图象上关于原点对称的任意两点,BCx轴 ,AC y轴, ABC 的面积记为 S,则（ ）（A） 2S （B） 4 （C ） 4S （D） 4S解析 如图 17-1,连结 OC,显然 ABC 的面积是基本三角形（图中阴影部分面积）的 4 倍,易得故应选（B）.例 5(2009 年 青海省) 如图 18,函数 与 的图象yx交于 A、B 两点,过点 A 作 AC 垂直于 轴,垂足为 C,则 的面积为 解析 显然点 A 与点 B 关于 O 点对称, 所以点 A、点
13、B 横（纵）坐标绝对值相等,因此例 6(2009 年 青海省) 如图 19-1,已知双曲线 经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D,与直角边 AB 相交于点 C若 OBC 的面积为 3,则 k_解析 如图 19-2,过点 D 作 于 E,易证 ,OADOBA所以OBxCA(图 17-1) (图 17-2)OACBxy(图 18)(0)yx(图 19-1)ABCDyxO ABCDEyxO(图 19-2)102Sk2k4ODEBA134S12AOCSk2610k20yxkyx20yx由反比例函数的性质知 ODECA设 CS例 7(2009 年 宁德市) 如图 20,已知点A、B 在双曲线（
14、x0）上 ,ACx 轴于点 C,BDy 轴于点 D,AC 与 BD 交于点 P,P 是 AC 的中点,若ABP 的面积为 3,则 k 解析 设 ,则点 P 的纵坐标为abBDy点 B 的纵坐标与点 P 的纵坐标相同即 ,P 为 BD 的中点连 AO, AB例 8(2009 年 莆田市) 如图 21,在 轴的正半轴上依次截取x,过点12345A 12345AA、 、 、 、分别作 轴的垂线与反比例函数x的图象相交于点 ,得直角三角形12345PP、 、 、 、12OA、 、 、 、 ，并设其面积分别为 12345SS、 、 、 、 ，则 的值为 5S解析 设 ,则点 的横坐标为 a,1P 123
15、45OAA点 的横坐标为 5a5P点 在反比例函数 的图象上yxOABPCD(图 20)2b2bayxOP1P2P3 P4 P5A1 A2 A3 A4 A5(图 21)x154511225SAPa14248,2,AONmbamR则点 的纵坐标为例 9(2009 年 成都市) 如图 16-1,正方形 OABC 的面积是 4,点 B 在反比例函数的图象上若点 R 是该反比例函数图象上异于点 B 的任意一点,(0)kyx，过点 R 分别作 x 轴、y 轴的垂线 ,垂足为 M、N ,从矩形 OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积,记剩余部分的面积为 S则当 S=m(m 为常数,且 0
16、m4)时,点 R 的坐标是_(用含 m 的代数式表示 )解析 显然 ,4OABCMRNSk矩 形 矩 形因为反比例函数的图象在第二象限内,所以 ,则 .0k4设 ,则有 ,即 ,n02n2B设 ,则Rab如图 16-2,当 时,设 AB 与 RN 交于点 Q,则有 OMRNAQNSS矩 形 矩 形由题意,得如图 16-3,当 时, 设 BC 与 RM 交于点 Q,则有aOMRNQCSS矩 形 矩 形CBA Oyx(图 22-1)QSR NMCBA Oyx(图 22-2)SQR NMCBA Oyx(图 22-3)24248,COMmabmR则 kyx由题意,得点 R 的坐标是 484,2例 10
17、(2009 年 济 南 市) 已知：如图 23，正比例函数 的图象与反比yax例函数的图象交于点 32A， （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？x（3） 是反比例函数图象上的一动点，其中 过点 作直线Mmn， 03m， M轴，交 轴于点 ；过点 作直线 轴交 轴于点 ，交直线 于点Nx yBACy xCB当四边形 的面积为 6 时，请判断线段 与 的大小关系，并说明理DOABD由解析 （1）将 分别代入 中，得32， kyax， 23ka， 6ka，反比例函数的表达式为： 6yx正比例函数的表达式为 23（2）观察图象，得在第一象限内，当 时，反比例函数的值大于正比例函数的值03x（3） BMD理由： 132OBACSk 612OMBACDCDS 矩 形 四 边 形即 12A 3(图 23)yxOoADMCB 4OB即 n 632m 32MD， B
