1、1,第二章 热平衡的统计分布律,2,2-1 统计规律与分布函数的概念 2-2 Maxwell分布律 2-3 Maxwell-Boltzmann分布律 2-4 能量均分定理与热容 2-5 微观粒子运动状态的一般讨论(简介),第二章 热平衡的统计分布律,3,第二章 热平衡的统计分布律,引言,研究目标：,热力学平衡状态下微观粒子运动状态的统计分布规律,一定条件下，诸如速度、速率、运动能量等微观状态都有一定的统计规律,统计物理,研究方法：,大量微观粒子+无规运动热力学系统,研究对象：,4,统计规律: 大量个别、偶然事件集体、必然规律,统计物理: 大量粒子系统的物理规律，热现象为主,2-1.统计规律与分
2、布函数的概念,一.统计规律性概念,内容: 从粒子微观量用统计平均方法导出系统宏观量.,特点: 单个粒子遵从牛顿力学,整体行为服从统计规律(不能用牛顿力学解决),第二章 热平衡的统计分布律,5,第二章 热平衡的统计分布律,气体分子热运动模型的图象:, 相当稀疏, 标准状态下: 线度10-10 m; 距离4*10-9 m,(dV = dxdydz 宏观小、微观大), 碰撞频繁, 1010 次/s, 碰撞时间10-13 s,两次碰撞间经历的路程10-7 m, 速率500m/s,碰撞遵循力学规律,除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分子间相互作用的分子力是极其微小的。, 整体行为服从统计规律
3、,6,第二章 热平衡的统计分布律, 求物理量M 的统计平均值,状态A出现的概率,归一化条件,Ni 是M 的测量值为 Mi 的次数，实验总次数为N,如,7, 平衡态下气体分子速度分量的统计平均值为,气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概率相等，故有,第二章 热平衡的统计分布律,8,由于气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概率相等，故有, 平衡态下气体分子速度分量平方的统计平均值为,第二章 热平衡的统计分布律,9,二.伽耳顿板实验, ,若无小钉：必然事件,若有小钉：偶然事件,一个小球落在哪里有偶然性,实验现象,少量小球的分布每次不同,大量小球的分布近似相同,(1) 统计规律是大量偶
4、然事件的总体所遵从的规律。,(2) 统计规律和涨落现象是分不开的。,结论,第二章 热平衡的统计分布律,10,三. 随机变量与分布函数,伽尔顿板：小槽编号i，小球总数N, i内小球N、占面积Ai=xhi ,则,C为单位面/体积内小球,小球落入i小槽内的概率为：,由此例抽象出表示某事件是否发生的一些量的数值：,第二章 热平衡的统计分布律,1.随机变量,随机变量,11,如伽尔顿板：,小槽编号i，只能取自然数，则,离散随机变量,小槽编号i 可连续变化的坐标 x,连续随机变量,第二章 热平衡的统计分布律,12,第二章 热平衡的统计分布律,2. 概率分布,设离散随机变量xi中xi出现的概率为P(xi)，则
5、,离散随机变量的概率分布：,归一化条件:,离散随机变量的平均值：,连续随机变量的概率分布Pi：,当xidx时，P dP,13,3. 概率分布函数 X的概率分布函数：,第二章 热平衡的统计分布律,概率分布函数也具有归一性：,所以，,随机变量x的平均值:,对任意物理量G=G(x), 其平均值:,随机变量x-x+dx内的数值的概率,（概率密度）,14,例 微观粒子的速度分布函数:,微观粒子的能量分布函数：,表示组成系统的微观粒子中能量处在附近单位区间内的粒子数占总粒子数的比例.,表示组成系统的微观粒子中速度处在 附近单位区间内的粒子数占总粒子数的比例.,第二章 热平衡的统计分布律,（概率密度）,（概
6、率密度）,15,有N 个粒子，其速率分布函数为,(1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数,解,例,求,(1) 由归一化条件得,第二章 热平衡的统计分布律,16,(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子数与总分子数的比率，所以,因此，vv0 的分子数为 ( 2N/3 ),同理 vv0 的分子数为 ( N/3 ),的分子数与总分子数的比率为,第二章 热平衡的统计分布律,17,2-2.Maxwell速度分布律,第二章 热平衡的统计分布律,一、速度空间与速度分布律的概念,位形空间：,以位置分量为坐标架建立的空间,速度空间：,以速度分量为坐标架建
7、立的空间,经典物理中，微粒运动状态用坐标和动量描述,附近微小变化 形成体积元,附近微小变化 形成体积元,直角坐标下，,直角坐标下，,18,速度空间:,速率空间:,体积元,体积元,第二章 热平衡的统计分布律,19,N个粒子系统中有dN(vx,vy,vz)个粒子处在vxvx+dvx, vyvy+dvy, vzvz+dvz 区间中，这种粒子占总粒子数的概率：,粒子的速度分布函数,N个粒子系统中dN(vx,vy,vz)个粒子处在vxvx+dvx, vy vy+dvy, vzvz+dvz 区间单位速度的概率。,概率密度,速度 附近粒子的概率密度即粒子的速度分布函数。,第二章 热平衡的统计分布律,20,第
8、二章 热平衡的统计分布律,无外界影响时，粒子的运动完全无规vx,vy,vz为独立随机事件，可分别考察. 如：,根据独立事件概率乘法规则，有,又,所以,同理可得，在三维空间,21,二. Maxwell速度分布律和速率分布律,其中T 为热力学温度, m为每个粒子的质量。,称为Boltzmann常量.,热动平衡时，热力学系统的粒子按速度分布的分布律,Maxwell（1859）用统计物理方法推导得出：,1. Maxwell速度分布律的表述,第二章 热平衡的统计分布律,22,23, 对自由粒子, M-分布给出:,第二章 热平衡的统计分布律,24,2. Maxwell速率分布律,物理意义: 速率在附近、单
9、位速率间隔内的分子数占总分子数的比率;,或: 分子速率处在附近单位速率间隔内的概率,显然应有, 归一化条件,第二章 热平衡的统计分布律,25,3. Maxwell速率分布律的性质于特征,(1) 麦克斯韦速率分布曲线, 对于相同, 比率与 的关系呈两头小, 中间大。, 对确定, 很小时d, 比率与d成正比,仅是 的函数.,曲线下面的总面积，等于分布在整个速率范围内所有各个速率间隔中的分子数与总分子数的比率的总和,(归一化条件),第二章 热平衡的统计分布律,26, m 一定,T 越大,这时曲线向右移动, T 一定, m 越大,这时曲线向左移动,v p 越大,v p 越小,由于曲线下的面积不变,由此
10、可见,(2) 不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系,第二章 热平衡的统计分布律,27,1. 实验装置,2. 测量原理,(1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件,(2)通过改变角速度的大小， 选择速率v,三. Maxwell速率分布律的实验验证,密勒库士实验：,与实验曲线相符,第二章 热平衡的统计分布律,28,(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间,(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率下的分子数,第二章 热平衡的统计分布律,29,四. 分子速率的三种统计平均值,2. (算术)平均速率,在整个速率区间平均：,3. 方均根速率,就相同的速率间隔而言, 分子的速
11、率处在 所在间隔里的概率最大，也称最可几速率,第二章 热平衡的统计分布律,30,思考:,在M-速率分布下有:,即:,第二章 热平衡的统计分布律,31,一般三种速率用途各不相同, 讨论分子的碰撞次数用,说明, 讨论分子的平均平动动能用, 讨论速率分布一般用,第二章 热平衡的统计分布律,32,由M分布律及压强公式可以导出理想气体状态方程:,第二章 热平衡的统计分布律,33,氦气的速率分布曲线如图所示.,解,例,求,(2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率,(1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，,(2),第二章 热平衡的统计分布律,34,根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数
12、的平均值 。,根据平均值的定义，速率倒数的平均值为,解,例,第二章 热平衡的统计分布律,35,根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率vpvp+v 区间内的分子数与温度 成反比(设v 很小),将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中,有,例,证,第二章 热平衡的统计分布律,36,2-3 Maxwell-Boltzmann分布律,无外力场时，气体内 n、p、T 处处均匀； 有外力场时，气体内 n、p 不再均匀分布； 气体内不同处分子的势能不同。,一.重力场中粒子按高度的分布,非均匀的稳定分布,h,h+dh,平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为,第二章 热平衡的统计分布律,37,比较两式得
13、：,等温气压公式,是 h=0 处气体的压强,其中：,积分得：,在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小，m 越大，n 减小越迅速；T 越高，n 减小越缓慢。,第二章 热平衡的统计分布律,38,实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低133.3Pa。试用恒温气压公式验证此结果(海平面上大气压按1.013105 Pa计，温度取273K)。,解,例,等温气压公式,将上式两边微分，有,第二章 热平衡的统计分布律,39,二. Boltzmann分布律,平衡态下温度为T的气体中，位于空间某一小区间 xx+dx ，yy+dy ， zz+dz 中的分子数为,它适用于任何形式的保守力场,式中p
14、是位于(x,y,z)处分子 的势能,在势场中的分子总是优先占据势能较低的状态,Boltzmann分布律,适用于任何势场中任何物质的分子及其它微观粒子,第二章 热平衡的统计分布律,40,在麦克斯韦速度分布率中，有一因子,三. Maxwell-Boltzmann分布律,分子在空间的位置分布由势能决定：,即分子按速度的分布由动能决定：,第二章 热平衡的统计分布律,41,故：平衡态下温度为T的气体中,速度在区间vx vx+dvx ,vy vy+dvy ,vz vz+dvz ,且位置在区间 x x+dx，y y+dy ，z z+dz 内的分子数为,Maxwell-Boltzmann分布律,其中 是分子的
15、总能量，C是与 无关的比例因子。,第二章 热平衡的统计分布律,42,M-B 分布律: 在温度为T的平衡态下, 任何保守系统在某一状态区间的粒子数与该状态区间的粒子能量 有关, 且与Boltzmann因子 成正比., 定义分布函数:,Maxwell-Boltzmann分布函数,Maxwell-Boltzmann分布律给出了分子数按能量的分布规律，因此，又称玻耳兹曼能量分布律。,43,根据玻耳兹曼分布律,在重力场中,存在于xx+dx , yy+dy , zz+dz 区间内,具有各种速度的分子数为,取z 轴垂直向上，地面处 z=0，可得,在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A,设柱体中分子数为N
16、.设大气的温度为T,空气分子的质量m.求此空气柱的玻耳兹曼分布律中的n0.,解,例,解得,第二章 热平衡的统计分布律,44,拉萨海拔约为3600m ，气温为273K，忽略气温随高度的变化。当海平面上的气压为1.013105 Pa 时，,由等温气压公式得,设人每次吸入空气的容积为V0 ,在拉萨应呼吸x 次,(1) 拉萨的大气压强； (2) 若某人在海平面上每分钟呼吸17次，他在拉萨呼吸多少次才能吸入同样的质量的空气。=2910-3 kg/mol,解,例,求,则有,第二章 热平衡的统计分布律,45,2-4 能量均分定理与热容,一. 分子自由度,单原子分子可视作质点，,具有3个平动自由度。,刚性双原
17、子分子可视作由刚性杆连接的两个质点，,具有3个平动自由度，2个转动自由度。,刚性多原子分子可视作刚体，,具有3个平动自由度，,3个转动自由度。,单原子,双原子,多原子,3,5,6,质点,刚体,由刚性杆连接的两个质点,46,说明, 分子的自由度不仅取决于其内部结构，还取决于温度。,(2) 实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的，还有振动自由度。但在常温下将其分子作为刚性处理，能给出与实验大致相符的结果，因此可以不考虑分子内部的振动，认为分子都是刚性的。,*非刚性双原子分子具有3个平动自由度， 2个转动自由度，1个振动自由度。,47,“常温”下气体分子一般采用刚性模型:,单原子分子 i = 3
18、; 双原子分子 i = 5 非直线多原子分子 i = 6,“高温”下振动模式及能量不可忽略,单原子分子 i = 3; 双原子分子 i = 6 非直线三原子分子 i = 9,一般多原子分子i = 3N,第二章 热平衡的统计分布律,48,二. 能量均分定理,理想气体分子的平均平动动能为,由于气体分子运动的无规则性，各自由度没有哪一个是特殊的，因此，可以认为气体分子的平均平动动能是平均分配在每一个平动自由度上的。,49,在温度为T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均为 。,推广：,能量按自由度均分定理,说明,能量按自由度均分定理是经典统计规律。,经典统计规律，可用玻耳兹曼分布证明。 是频繁碰
19、撞的结果 有局限性：低温下需要用量子理论！,50,每个气体分子的平均势能为,每个气体分子的平均热运动总能量为, 若某种气体分子具有t个平动自由度和r个转动自由度，s个振动自由度，,每个气体分子平均总动能为,令 i = t + r + 2s,51,气体分子的平均总动能等于气体分子的平均总能量。即为, 对于刚性分子,刚性双原子分子:,单原子分子:,刚性多原子分子：,52,三. 理想气体的内能,内能: 系统内部所有粒子间各种能量的总和.,不包括: 系统整体运动的机械能及系统与外场相互作用的势能。,内能 U = 粒子热运动动能 + 粒子间相互作用势能,对理想气体，只包括分子的平动，转动，振动动能和振动
20、势能：,若不涉及化学反应与核反应，则热力学系统中,第二章 热平衡的统计分布律,理想气体的内能:,53, 焦耳定律: 理想气体的内能仅仅是温度的函数,i = t + r + 2s,每个气体分子的平均总能量为,1mol 理想气体的内能为, mol 理想气体的内能为,54,四. 理想气体的摩尔热容,热量Q：因温度不同，系统与外界经边界交换的能量 （与机械功不同，无宏观位移！） 。,比热容c：单位质量的物体在温度升高(或降低)1K时所吸收(或放出)的热量，与过程有关。,热容C：物体质量与比热容的乘积 Mc。, 对质量M气体有：,摩尔热容：1mol气体在温度升高(或降低)时吸收(或放出)的热量，与过程有
21、关。,第二章 热平衡的统计分布律,55,定体摩尔热容：,实验表明：,单原子气体和双原子气体，理论实验符合较好；,多原子气体，偏差较大；,低温和高温时，偏差较大，需用量子理论修正。,第二章 热平衡的统计分布律,刚性双原子分子:,单原子分子:,刚性多原子分子：,56,一容器内某理想气体的温度为273K，密度为= 1.25 g/m3，压强为 p = 1.010-3 atm,(1) 气体的摩尔质量，是何种气体？ (2)气体分子的平均平动动能和平均转动动能？ (3) 单位体积内气体分子的总平动动能？ (4) 设该气体有0.3 mol，气体的内能？,解,例,求,由结果可知，这是N2 或CO 气体。,(1)
22、 由 ，有,57,(2) 平均平动动能和平均转动动能为,(3) 单位体积内气体分子的总平动动能为,(4) 由气体的内能公式，有,58,2-5 微观粒子运动状态的一般讨论(简介),第二章 热平衡的统计分布律,把气体分子推广到任意粒子，把速度推广到一般的运动状态。初步讨论微观粒子按其运动状态的分布规律,运动状态描述：,a. 经典：坐标、动量；,b. 量子：波函数、能量,热力学系统：,玻尔兹曼、玻色、费米系统,按相互作用强度划分为：近独立系统、强关联系统,微观粒子内禀属性：质量, 电荷, 自旋,依据自旋费米子、玻色子,59,本课程讨论近独立系统-,粒子间互作用很弱，平均互作用能远小于单粒子的平均能量,特点：互作用弱、瞬间存在.,60,量子力学中，微观粒子只能具有一系列不连续的能量,势场中的分子总是优先占据能量较低的状态，基态分子数最多，基态能级最稳定。,处于不同能级的原子数目：,第二章 热平衡的统计分布律,61,本章作业：2.1，2.2，2.4 2.5，2.6，2.10 2.15，2.17，2.21,第二章 热平衡的统计分布律,
