江苏省高等数学竞赛试题.doc

1、12010 年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题 4 分，共 32 分）1. 30sinlimxx2.设函数 可导， ，则 ,farctntayfxy3. ，则 2cosyxn4. 21xde5. 46.圆 的面积为 22019xyz7.设 可微， ，则 ,ffy123,3ff,2,1xydz8.级数 的和为 1!2nn二 （10 分）设 在 上二阶可导，证明：存在 ，fx0,c0,c使得 30212cfdfff三 （10 分）已知正方体 的边长为 2， 为 的中点， 为1ABCDE1DCF侧面正方形 的中点， （1）试求过点 的平面与底面 所成二1 ,AFAB面角的值。 （2）

2、试求过点 的平面截正方体所得到的截面的面积.,EF四（12 分）已知 是等腰梯形， ,求ABCD/,8BCDC的长，使得梯形绕 旋转一周所得旋转体的体积最大。,AB五（12 分）求二重积分 ，其中22cosinDxyd 2:1xy六 （12 分）应用高斯公式计算 ， （ 为常数）2abczS,abc其中 .22:xyz2七.（12 分）已知数列 ，na12311,5,3nnaa 2,3记 ，判别级数 的敛散性.1nxa1nx2010 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题 4 分，共 32 分）1. 0sin(si)lmxx2. ， 21y/y3. ， 2cosx()n4. 21

3、ed5. 421x6.圆 的面积为 22019yzxx7. ， 可微， ，则 (,)zfyf/2(3,),()3ff(,)2,1xydz8.级数 的和为 .1!2nn二.（10 分）设 在 上连续，且 ，求证：存在点 ，使()fx,ab()()bbaafxdfx,ab得 .0d三 （10 分）已知正方体 的边长为 2， 为 的中点， 为1ABCDE1DCF侧面正方形 的中点， （1）试求过点 的平面与底面 所成二1 1,AFAB面角的值。 （2）试求过点 的平面截正方体所得到的截面的面积.,EF四（12 分）已知 是等腰梯形， ,求ABCD/,8BCDC3的长，使得梯形绕 旋转一周所得旋转体的

4、体积最大。,ABCDAD五（12 分）求二重积分 ，其中22cosinxyd 2:1,0Dxyy六、 （12 分）求 ，其中 为曲线1xye 从 到 .2012xy0,O,A七.（12 分）已知数列 单调增加，na12311,5,3nnaa记 ，判别级数 的敛散性.2,3n 1nx1nx2010 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题 4 分，共 32 分）1. 0sin(si)lmxx2. ， 2arcttanye/y3.设由 确定 ，则 xxd4. ， 2cosy()ny5. 21xed6. ， 可微， ，则 (,)zfyf/12(3,),()3ff(,)2,1xydz7 设

5、 可微，由 确定 ，则 ,fuv2,0Fxzy,z8.设 ，则 2:,0Dxy2Ddxy二.（10 分）设 为正常数，使得 对一切正数 成立，求常数 的最小值aaexa三.（10 分）设 在 上连续，且 ，求证：存在点fx0,11100()()fdf，使得 .0,1()d4四.（12 分）求广义积分 421dx五 （12 分）过原点 作曲线 的切线，求该切线、曲线 与0,lnylnyx轴所围成的图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积.xx六、 （12 分）已知 是等腰梯形， ,求ABCD/,8BCADC的长，使得梯形绕 旋转一周所得旋转体的体积最大。,AB七（12 分）求二重积分 ，其中22co

6、sinDxyd 2:1,0xyy2010 年江苏省高等数学竞赛试题（民办本科）一 填空题（每题 4 分，共 32 分）1. 0sin(si)lmxx2. ， 2arcttanye/y3.设由 确定 ，则 xxd4. ， 2cosy()ny5. 21xed6. 140arctnx7.圆 的面积为 22019yz8. ， 可微， ，则 (,)xzfyf/2(3,),()3ff(,)2,1xydz二.（10 分）设 为正常数，使得 对一切正数 成立，求常数 的最小值a2axea三.（10 分）设 在 上连续，且 ，求证：存在点fx0,11100()()fdxf，使得 .0,1()d四. （12 分）

7、过原点 作曲线 的切线，求该切线、曲线 与,lnyxlnyx5轴所围成的图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积.xx五 （12 分）已知正方体 的边长为 2， 为 的中点， 为1ABCDE1DCF侧面正方形 的中点， （1）试求过点 的平面与底面 所成二1 1,AFAB面角的值。 （2）试求过点 的平面截正方体所得到的截面的面积.,EF六、 （12 分）已知 是等腰梯形， ,求ABCD/,8BCDC的长，使得梯形绕 旋转一周所得旋转体的体积最大。,AB七（12 分）求二重积分 ，其中22cosinDxyd 2:1,0xyy2010 年江苏省高等数学竞赛试题（专科）一 填空题（每题 4 分，共 3

8、2 分）1. 0sin(si)lmxx2. ， 2arcttanye/y3.设由 确定 ，则 xxd4. ， 2cosy()ny5. 21xed6. 140arctnx7.圆 的面积为 22019yz8. 级数 的和为 1()!nn二.（10 分）设 为正常数，使得 对一切正数 成立，求常数 的最小值a2axexa三.（10 分）设 在 上连续，且 ，求证：存在点fx0,11100()()fdf，使得 .0,1()d6四. （12 分）求广义积分 421dx五 （12 分）过原点 作曲线 的切线，求该切线、曲线 与0,lnylnyx轴所围成的图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积. xx六.（1

9、2 分）已知正方体 的边长为 2， 为 的中点， 为1ABCDE1DCF侧面正方形 的中点， （1）试求过点 的平面与底面 所成二1 1,AFAB面角的值。 （2）试求过点 的平面截正方体所得到的截面的面积.,EF七（12 分）已知数列 单调增加，na12311,5,3nnaa记 ，判别级数 的敛散性.2,3n 1nx1nx2008 年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一填空题（每题 5 分，共 40 分）1. ， 时，a=b=2limarctn2xxbp+=-2. ， 时 在 时()l1)fb=0关于 的无穷小的阶数最高。x3. 240sincodxp=4.通过点 与直线 的平面方程为 ()1

10、,-,2tyzt=+5.设 则 = 2,xzy=-(2,1)nz6.设 为 围成区域，则 D,0arctnDydx=7.设 为 上从 到 的一段弧，则G2()xy+(0,)O(2,)A= ()xededy-78.幂级数 的和函数为 ，收敛域为 。1nx=二 （8 分）设数列 为n1223,3,3(1,2)nxxx+-=-=LL证明：数列 收敛，并求其极限nx三 （8 分）设 在 上具有连续的导数，求证()f,ab/1max() ()bbaaffxdfxd +-四 （8 分）1）证明曲面 :cos,sin,(cos)inyazbaqjqqjS=+为旋转曲面()02,qpj()0b2）求旋转曲面

11、所围成立体的体积五 （10 分）函数 具有连续的二阶偏导数，算子 定义为(,)uxyA(),Aux=+1）求 ；2)利用结论 1）以 为新的自变量改变方程()- ,yxh=-的形式2220uuxyxy+六 （8 分）求 2601limsin()ttxtddy+七 （9 分）设 的外侧，连续函数22:10yzS=2(,)()()()(,)2z zfxyeyzedxfyedxy=- +-求 ,f八 （9 分）求 的关于 的幂级数展开式23()()1xf-x2008 年江苏省高等数学竞赛题（专科）一填空题（每题 5 分，共 40 分）81. ， 时，a=b=2limarctn2xxbp+=-2. 。

12、()1lim2nk=+3.设 ，则 ()10fxx-L()10f=4. ， 时 在 时关于 的无穷ab2xfxab+0x小的阶数最高。5. 21xd6.点 关于平面 的对称点的坐标为 ,25xyz7.通过点 与直线 的平面方程为 ()1-,tt=+8.幂级数 的和函数为 ，收敛域为 。1nx=二 （8 分）设数列 为 ，证明：数列 收n11,6(1,2)nnxx+=Lnx敛，并求其极限三 （8 分）设 在 上连续 ， ，()f,ab0()0bafd求证存在 ，使得 。,()afxdf=四 （8 分）将 面上的曲线 绕直线 旋转一周xoy22yb3xb得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积。五

13、 （8 分） （8 分）求 2501limsin()tt xdt+六 （10 分）在平面 内作直线 ，使直线 过另一直线:xyz与平面设 的交点，且 与 垂直，求直线 的参数方程。21:34xyzL L七（8 分）判别级数 的敛散性（绝对收敛？条件收敛？发散？()13n+=-9）八 （10 分）求 的关于 的幂级数展开式，并指出收敛域。2()1)(xf+=-x2006 年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. ， 3xfa41limn2ffn2. 250litxedt3. 12arc4.已知点 , 为坐标原点，则四面体 的内接4,0(,20)()ABC

14、OOABC球面方程为 5. 设由 确定 ，则 yzxe(,)xy,0edz6.函数 中常数 满足条件 时，2,xfabab为其极大值.107.设 是 上从点 到 的一段曲线， 时，sin(0)yx,0,a曲线积分 取最大值.22yded8.级数 条件收敛时，常数 的取值范围是 1npp二.（10 分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经 2 小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为 100 公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于 公里/小时203三.（10 分）曲线 的极坐标方程为 ，求该曲线在1cos02所对应的点的切线 的直角坐标方程，并求切线 与 轴围成图形

15、的面积.4LLx四（8 分）设 在 上是导数连续的有界函数， ，()fx,1ff10求证： 1.,fx五（12 分）本科一级考生做：设锥面 被平面223(0)zxyz截下的有限部分为 .（1）求曲面 的面积；（2）用薄铁片制作340xz的模型， 为 上的两点， 为原点，将 沿线段 剪(2,3),(0,)ABOOB开并展成平面图形 ，以 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出 的边DOAD界的极坐标方程.本科二级考生做：设圆柱面 被柱面 截下的有限部21(0)xyz2zx分为 .为计算曲面 的面积，用薄铁片制作 的模型，为 上的三点，将 沿线段 剪开并展成平面图(1,05)(,1),0ABC BC

16、形 ，建立平面在极坐标系，使 位于 轴正上方，点 坐标为 ，写出DDxA0,5的边界的方程，并求 的面积.六（10 分）曲线 绕 轴旋转一周生成的曲面与 所围成的立体20xzy 1,2z区域记为 ，本科一级考生做 221dxyzx本科二级考生做 七（10 分）本科一级考生做 1）设幂级数 的收敛域为 ，求证幂级21nax1,数 的收敛域也为 ；2）试问命题 1）的逆命题是否正确，若正确给1nax,出证明；若不正确举一反例说明.本科二级考生做：求幂级数 的收敛域与和函数21nnx2006 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题 5 分，共 40 分）111. 2223331

17、limn nn 2. 230lixted3. ，则 0xaxb ,ab4. 2sin1,fef5. 设由 确定 ，则 yz()xy,0edz6.函数 中常数 满足条件 时，2,xfeabab为其极大值.107.交换二次积分的次序 .21,xedfyd8.设 ，则 2:,0Dxyx21Dxy二.（8 分）设 ，试问 为何值时， 在2sin0l1abcfx,abcfx处一阶导数连续，但二阶导数不存在.0x三.（9 分）过点 作曲线 的切线 ， （1）求 的方程；（2）求 与,53:yL所围成平面图形 的面积；（3）求图形 的 部分绕 轴旋转一周所得LDD0xx立体的体积.四（8 分）设 在 上是导

18、数连续的函数， ，()fx,f，1fx求证： .0,xfe五（8 分）求 120arctnd六（9 分）本科三级做：设 ，22tan,0,0xyyxf12证明 在点 处可微，并求,fxy0, 0,dfxy民办本科做：设圆柱面 被柱面 截下的有限部分为21()xyz2zx.为计算曲面 的面积，用薄铁片制作 的模型，为 上的三点，将 沿线段 剪开并展成平面图(1,05)(,1),0ABC BC形 ，建立平面在极坐标系，使 位于 轴正上方，点 坐标为 ，写出DDxA0,5的边界的方程，并求 的面积.七（9 分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数在区域 上的最大值与最小值.22,fxyxy24xy

19、八（9 分）设 为 所围成的平面图形，求 .D,0cosDxyd2006 年江苏省高等数学竞赛试题（专科）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. 2223331limn nn 2. 230lixted3. ，则 0xaxb ,ab4. 2sin1,fef5. 221ln,arct,tdyxtyx6. .lxxbxb7.设 为空间的 4 个定点， 与 的中点分别为 ， （其,ABCDABCD,EFa中 为常数） ， 为空间的任意一点，则 的最小值为 .aPPP8. 已知点 , 为坐标原点，则四面体 的外接,0(,20)()OOABC球面方程为 13二.（8 分）设 ，试问 为何值时， 在2s

20、in0l1axbcxf,abcfx处一阶导数连续，但二阶导数不存在.0x三.（9 分）过点 作曲线 的切线 ， （1）求 的方程；（2）求 与,53:yxL所围成平面图形 的面积；（3）求图形 的 部分绕 轴旋转一周所得LDD0xx立体的体积.四（8 分）设 在 上是导数连续的函数， ，()fx,f，1fx求证： .0,xfe五（8 分）求 120arctnd六（9 分）设圆柱面 被柱面 截下的有限部分为 .1(0)xyz2zx为计算曲面 的面积，用薄铁片制作 的模型， 为(1,05)(,1),0ABC上的三点，将 沿线段 剪开并展成平面图形 ，建立平面在极坐标系，使BCD位于 轴正上方，点

21、坐标为 ，写出 的边界的方程，并求 的面积.DxA0,5D七（9 分）级数 何时绝对收敛?何时条件收敛？何时发散？1np八（9 分）求幂级数 的收敛域与和函数21nnx2004 年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. 时， 与 为等价无穷小，则 0xsincos2xxkcxc2. 21limarctx3. 2221li464nnn144. 时 4ln1,4fxx0nf5. 2sicod6. .1nn7.设 可微， ， ，,fxy1,2,3,124xyfff,2xfx则 .8. 设 ， 为 ，则0xfxg其 他 D,xy. Dfydy二 （10 分）设 在

22、 上连续， 在 内二阶可导，fx,abfx,ab， ，求证:1) 内至少存在一点 使得()0fab()0bad ；2） 内至少存在一点 使得f, ,ff三.（10 分）设 ，在 的边界 上任取点 ,设 到原2:4,DxyxDyxP点距离为 ，作 垂直于 ，交 的边界 于tPQ24Q1）试将 的距离 表示为 的函数；, t2）求 饶 旋转一周的旋转体的体积yx四（10 分）已知点 ,在平面 上求一点 ，使(1,0),(32)P-21xyz-+=M最小PMQ+五（10 分）求幂级数 的收敛域。132nnx六（10 分）求证： ，其中 。532yzdyz 22:1xyz七（10 分）设 连续，可导，

23、 ， 为不含原点单连通域，任取 ，fx1fG,MNG15内积分 与路径无关.G21NMydxxf（1）求 ；（2）求 其中 为 边界取正向.f 21ydxxfA231xy2004 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. 是周期为 的奇函数，且在 处有定义，当 时，fx0x0,2x，求当 时， 的表达式 .sinco2fx,2f2. 2ta2limxx3. 222li14nnn4. 时 l,fxx0f5. 2xed6. .1nn7.设 可微， ， ，,fxy1,2,3,124xyfff,2xfx则 .8. 设 ， 为 ，则0xfxg其 他 D,xy. Df

24、ydy二 （10 分）设 在 上连续， 在 内可导， ，fx,abfx,ab(),fa,求证： 内至少存在一点 使得21bafxd , 116三.（10 分）设 ，在 的边界 上任取点 ,2:4,24DyxxyDyxP设 到原点距离为 ，作 垂直于 ，交 的边界 于PtPQ24Q1）试将 的距离 表示为 的函数；, t2）求 饶 旋转一周的旋转体的体积yx四（10 分）已知点 ,在平面 上求一点 ，使(1,0),(32)P-21xyz-+=M最小PMQ+五（10 分）求幂级数 的收敛域。132nnx六（10 分）设 可微， ，,fxy,12,3xyfff，求 .2xf七（10 分）求二次积分

25、220ded2004 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. 是周期为 的奇函数，且在 处有定义，当 时，fx0x0,2x，求当 时， 的表达式.sinco2fx,2f2. 时， 与 为等价无穷小，则 0xiskcxc3. 2tan2limsxx4. 222li14n n5. 时 l,fxx0nf6. 2xed177. .1,arctnxzdzy8. 设 ， 为 ，则01xfg其 他 D,xy. Dfyxdy二 （10 分）设 在 上连续， 在 内可导， ，f,abfx,ab(),fa,求证： 内至少存在一点 使得21bafxd , 1三.（10 分）设

26、 ，在 的边界 上任取点 ,2:4,4yxxyDyxP设 到原点距离为 ，作 垂直于 ，交 的边界 于PtPQ24Q1）试将 的距离 表示为 的函数；, t2）求 饶 旋转一周的旋转体的体积Dyx四（10 分）设 在 上有定义， 在 处连续，且对一切实数f,fx0有 ，求证： 在 上处处连续。12,x1212fxfx ,五（10 分）上 为常数，方程 在 恰有一个根，求 的取值范k10k, k围。六（10 分）已知点 ,在平面 上求一点 ，使(1,0),(32)PQ-21xyz-+=M最小PMQ+七（10 分）求幂级数 的收敛域。132nnx2004 年江苏省高等数学竞赛试题（专科）一.填空（

27、每题 5 分，共 40 分）1. 是周期为 的奇函数，且在 处有定义，当 时，fx0x0,2x，求当 时， 的表达式.sinco2fx,2f182. 时， 与 为等价无穷小，则 0xsincoxxk c3. 2ta2limsx4. 222li14nnn5. 时 l,fxx0f6. 2xed7. 以直线 为对称轴，半径 的圆柱面方程为 .yz1R8. . 12nn二 （10 分）设 在 上连续， 在 内可导， ，fx,abfx,ab(),fa,求证： 内至少存在一点 使得2bafxd , 1三.（10 分）设 ，在 的边界 上任取点 ,2:4,4DyxxyDyxP设 到原点距离为 ，作 垂直于

28、，交 的边界 于PtPQ24Q1）试将 的距离 表示为 的函数；, t2）求 饶 旋转一周的旋转体的体积yx四（10 分）设 在 上有定义， 在 处连续，且对一切实数f,fx0有 ，求证： 在 上处处连续。12,x1212fxfx ,五（10 分）上 为常数，方程 在 恰有一个根，求 的取值范k10k, k围。六（10 分）求证： ，其中 。32532xyzdxyz 22:1xyz七（10 分）设 连续，可导， ， 为不含原点单连通域，任取 ，fx1fG,MNG19内积分 与路径无关.G21NMydxxf（1）求 ；（2）求 其中 为 边界取正向.f 21ydxxfA231xy2002 年江苏

29、省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. ，则 ， tan0lim0xkeckc2. 设 在 上可导，下列结论成立的是 f1,A. 若 ，则 在 上有界li0xfx1,B. 若 ，则 在 上无界fC. 若 ，则 在 上无界lim1xfx,3. 设由 确定 ，则 ye()yx0y204. arcsinosxd5. 曲线 ，在点 的切线的参数方程为 2zy1,26.设 ， 有二阶连续导数， 有二阶连续偏导数，,sinxzfgefg则 2xy7. 交换二次积分的次序 .2130,xdfyd8.幂级数 的收敛域 12nn二.（8 分）设 ，求证40tannIxd1122

30、nI三.（8 分）设 在 上连续， ，求证: 在f,b()()0bbxaafxdfedfx内至少存在两个零点.,ab四.（8 分）求直线 绕 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面12xyz与 所包围的立体的体积.0,y五.（9 分）设 为常数，试判断级数 的敛散性，何时绝对收敛？何k221lnk时条件收敛？何时发散？六.（9 分）设 讨论 在点21arctn,0,0yxyfx ,fxy处连续性，可偏导性？可微性.0,七.（9 分）设 在 可导， ，fu2,:,0fDxyt求 2401limtDfxyd21八.（9 分）设曲线 的方程为 ，一质点 在力 作用下AB2430xyxPF沿曲线 从 运

31、动到 ，力 的大小等于 到定点 的距离，0,10,3F2,0M其方向垂直于线段 ，且与 轴正向的夹角为锐角，求力 对质点 做得功.MPy2002 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. ，则 ， 0lim0xkeckc2. 设 在 上可导，下列结论成立的是 f1,A. 若 ，则 在 上有界li0xfx1,B. 若 ，则 在 上无界fC. 若 ，则 在 上无界lim1xfx,3. 设由 确定 ，则 ye()yx0y4. arcsinrosxd5. 曲线 ，在点 的切线的参数方程为 2zy1,26.设 ， 有二阶连续导数， 有二阶连续偏导数，,sinxzfg

32、efg则 2xy7. 交换二次积分的次序 .2130,xdfyd8.幂级数 的收敛域 12nn二.（8 分）设 在 上连续，单调减少， ，fx0, 0ab求证 00()()baadd22三.（8 分）设 在 上连续， ，求证: 在fx,ab()()0bbxaafxdfedfx内至少存在两个零点.,ab四.（8 分）求直线 绕 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面12yz与 所包围的立体的体积.0,y五.（9 分）设 为常数，试判断级数 的敛散性，何时绝对收敛？何k221lnk时条件收敛？何时发散？六.（9 分）设 讨论 在点21arctn,0,0yxyfx ,fxy处连续性，可偏导性？可微性.

33、0,七.（9 分）设 在 可导， ，fu22,:fxyzt求 22501limtfxyzdx八.（9 分）设曲线 的极坐标方程为 ，一质点 在AB1cos2P力 作用下沿曲线 从 运动到 ，力 的大小等于 到定点F0,0,BF的距离，其方向垂直于线段 ，且与 轴正向的夹角为锐角，求力3,4MMPy对质点 做得功.P2002 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. ，则 ， 0lim0xkeckc232. 设 在 上可导，下列结论成立的是 fx1,A. 若 ，则 在 上有界lim0xfx1,B. 若 ，则 在 上无界fC. 若 ，则 在 上无界li1xfx

34、,3. 设由 确定 ，则 ye()yx0y4. arcsinrosxd5. 41x6.设 ， 有二阶连续导数， 有二阶连续偏导数，,sinxyzfgeyfg则 2xy7. 交换二次积分的次序 .2130,xdfyd8.函数 满足方程 的条件的极大值为 ,2fxy25极小值为 二.（8 分）设 在 上连续，单调减少， ，fx0,0ab求证 00()()baadd三.（8 分）设 ，1）若 ，求证 在 上恰有一个sinfxkxkfx,零点；2）若 ，且 在 上恰有一个零点，求常数 的取值范围.f,k四.（8 分）求 20si1coxed五.（9 分）设 讨论 在点21artn,0,0yxyfx ,

35、fxy处连续性，可偏导性？可微性.0,24六.（8 分）设 ， ， 的二阶偏导数连续， 可导，,zfxyyf 0y求全导数2dzx七.（9 分）设 在 可导， ，fu020,:,0fDxyt求 2401limtDfxyd八.（9 分）求 sin,:0,2xyx2000 年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题 3 分，共 15 分）. 1.设 ，则 fxfx2. 1limnx3. 45d4.通过直线 的平面方程为 123:3;:1xtxtLyLyztzt5设 由方程 确定（ 为任意可微函数） ，,zx,0FxF则 y二选择题（每题 3 分，共 15 分）1.对于函数 ，点 是 .12

36、xy0A. 连续点； B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点252.设 可导， ，若欲使 在 可导，则必有（ fx1sinFxfxFx0）A. ； B. ；C. ；D0f0f0ff f3. （ ）0sinlmxyA. 等于 1； B. 等于 0；C. 等于 ；D 不存在14.若 都存在，则 在00,xyxyff,fxy0,A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续5.设 为常数，则级数21sinA. 绝对收敛 B. 条件收敛；C. 发散； D 收敛性与 取值有关三（6 分）设 有连续导数， ，求fx0

37、,0ff20limxftd四（6 分）已知函数 由参数方程 确定，求()y(1)yxte20tydx五（6 分）设 在 上可微，且 ，证明存在一点,fxg,ab0g，使得 。cabfcf六（6 分）设 ， ，求 。fxsin02xg0xFftgtd七（6 分）已知 由方程 确定，其,uy,ufxyztgthzt中 都是可微函数，求,fgh,x26八（8 分）过抛物线 上一点 作切线，问 为何值时所作的切线与抛2yx2,aa物线 所围成的平面图形面积最小。241yx九（8 分）求级数 的和2313n 十（8 分）设 在 上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：fx,ab21bbaafxdf十一（

38、8 分）已知两个球的半径分别为 ，且小球球心在大球球面上，,()ab试求小球在大球内的那部分的体积十二（8 分）计算曲面积分 ，其中 为曲面22xyzds22(0)zaxy2000 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题 3 分，共 15 分）. 1.设 ，则 fxfx2. 1limnx3. 已知 ，则 21dfxf4. 145xd5设 由方程 确定（ 为任意可微函数） ，,zxy,0yzFxF则 二选择题（每题 3 分，共 15 分）1.对于函数 ，点 是（ ）12xy027A. 连续点； B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.已知函数 对一切 满足 ，若yfx231xxffxe，则（ ）00()fxA. 是 的极大值； B. 是曲线 的拐点；fx0,xfyfxC. 是 的极小值；0fD 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点xfx0,xf yfx3. （ ）23limxA. 等于