1、1,信 号 与 系 统,第六章连续时间和离散时间 系统的频域分析信息科学技术学院 二零一一年第上学期,2,第六章里连续时间和离散时间 系统的频域分析,引 言 LTI系统对复指数信号的响应 系统的频率响应与频域分析 信号的滤波与滤波器 连续时间信号的离散时间处理,3,6.1 引 言,1.时域分析法： 微分方程法，差分方程法 卷积积分，卷积和法。,基函数: 移位冲激函数(t-t0 )（移位单位抽样序列m); 连续信号表示为 ； 离散信号表示为 。,基函数的响应为h(t)（单位冲击响应），或hn（单位抽样响应)；,回顾：LTI分析法,4,6.1 引 言,信号的响应表示为,2. 频域分析法 基函数是不
2、同频率的复指数函数ejkt(复指数序列ejn ) 信号表示为复指数函数的线性组合， 基函数的响应： ejktH(j)( ejn H(ej) ) 信号的响应表示为基函数的响应的线性组合；,5,6.1 引 言,频域分析法优点： LTI系统对ejkot (ejn )的响应简单； 频谱的概念便于说明信号的传输、滤波、调制以及抽样问题； 频谱分析易于推广到复频域。,频域分析法所使用的工具：傅里叶级数，傅里叶变换。所以又称傅里叶分析法。 频域分析法具体过程：,6,1.复指数函数的响应,6.2LTI系统对复指数信号的响应,则,7,从而,6.2LTI系统对复指数信号的响应,考虑到：,即，LTI系统对复指数信号
3、的响应为一常量( H(s)或H(z) )与复指数函数本身的乘积（数乘变换）.,其中,（6-4）,8,复指数函数 是特征函数。 对于一确定的s或z，常数,h(t)的拉氏变换H(s)或hn的z变换H(z)是特征值。,6.2LTI系统对复指数信号的响应,结论：LTI系统对复指数信号的响应为特征值(H(s)或H(z)与特征函数的乘积.,2.特征值、特征函数由（6-4）式,9,3.( 稳态）频率响应由（6-2）、（6-3）式，若 s = j, z = ej ，则有,或,从而,6.2LTI系统对复指数信号的响应,连续函数的频率响应：,离散函数的频率响应:,10,意义：正弦激励下稳定系统的零状态响应就是稳态
4、响应，瞬态部分已没有。 LTI系统对复指数信号的响应十分简单，即输出仍为复指数信号，只是信号的振幅和相位发生了变化。 当任意信号x(t),xn输入时，其零状态响应：,6.2LTI系统对复指数信号的响应,11,1).频率响的三种定义形式,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,冲激响应的傅氏变换,系统的零状响应的傅氏变换与输入信号的傅氏变换之比,系统的特征值,12,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,2).由线性常系数微分方程和差分方程得到频率响应,LTI系统,起始松弛条件下（保证系统是因果、线性时不变的） 上式的傅氏变换：,13,微分方程、差分方程描述的LTI系统频率响应,6.3LTI系统的频
5、率响应与频域分析,注： (6-18),(6-19)是频域分析法分析系统的重要公式； 频率响应据有共轭对称性:,14,原因是，因h(t)一定是时间的实函数（特征根r是实数或共轭复数 h(t)=c1e-r1t+c2e-r2t所致 )，实函数的h(t)的傅里叶变换H(j)一定是共轭对称的（见第四章）。,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,例1.已知 求系统的频率响应和单位冲激响应。,解：,15,例2.已知 求系统的频率响应和单位抽样响应。 解：,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,利用得：,16,例1.已知 求系统的频率响应和单位冲激响应，并画出相应的LTI系统。 解：求h(t),6.3LTI系
6、统的频率响应与频域分析,解法一：,17,由,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,模拟图：,由,18,解法二：,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,19,由,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,20,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,4.电路的频域分析复阻抗模型,（1）.求电路系统频率响应的两途径 据电路的时域模型,用KVL或KCL列微分方程，通过变换域法求频率响应。 据对应于时域模型的电路频域模型，用KVL或KCL列频域代数方程，直接求频率响应。,如何得出电路时域模型对应的频域模型？,（2）电路的频域模型 实质上就是要将时域中的电参量转变为频域中的表示， 然后利用KVL或KCL列出相
7、应的代数方程：,21,时域 频域,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,22,例1. 求电路的频率响和冲激响应，C上的初始电压等于零,解：电路时域模型转换成频域模型，见右上列方程：,时域模型 频域模型,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,23,按定义,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,24,级联：h(t)= h1 (t) * h2(t)* *hk(t),hn= h1 n * h2n*hkn,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,4. 互联系统的频率响应 级联和并联结构,并联：h(t)= h1(t) + h2(t)+ +hk(t),hn= h1 n + h2n+ +hkn,(1).互联系统
8、的频率响应,25,反馈联结：负反馈：正反馈：,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,26,(2). 级联和并联结构由得：,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,27,用子系统（一阶或二阶的Hi()）联结可表示为:级联：,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,并联：,28,例 . 求级联和并联结构，并画图 解：考虑级联时:,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,对应的微分方程：,29,由,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,模拟图：,h1,-1,30,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,考虑并联时：,对应的微分方程：,31,由,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,模拟图：,32,6.3LT
9、I系统的频率响应与频域分析,例6-5某离散系统的频率响应得出其直接型、级联和并联结构图,解：,对应的差分方程为,33,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,差分方程对应的模拟图：,34,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,写成级联结构：,模拟图：,35,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,写成并联结构：,模拟图：,36,5.利用频率响应H(j)或H(ej)求系统对任意输入的响应,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,1）.频域分析法求任意信号通过LTI系统的响应基本原理：若,得,则,问题：频域分析法中如何求任意信号通过LTI系统的响应？,37,(1).有始信号接入LTI系统的零状态响应有始
10、信号,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,例1. 单位阶跃电压作用于图中RL电路，电感L上初始电流为零，求电阻上的响应电压。,2）任意信号通过LTI系统的响应,38,解：则,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,39,例2.在下列条件下求LTI系统的输出响应。 （1）已知 （2）已知,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,（2）据题，xn是特征函数，有：,解 （1）因x(t)是特征函数，所以,40,例2.已知一LTI系统的单位抽样序列响应和输入求系统的零状态响应。,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,解：时,41,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,42,要视或的绝对值的大小来决定瞬态响
11、应和稳态响应，若|1，|1,则解一的结果第一项为稳态响应，第二项为瞬态响应，反之相反。若|1，|1则只有瞬态响应。解二类似。,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,问题：频域分析法如何分析周期信号通过LTI系统的响应？ (2).周期信号的响应傅里叶级数与LTI系统周期信号 x(t), xn有,43,由,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,则响应为,44,显然，响应y(t),yn也是和输入一样的基频的傅里叶级数，若ck是一组傅里叶系数，那么bk也是一组傅里叶系数。从而，周期信号的响应仍然是周期性的。,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,或,45,LTI系统对周期信号的作用，就是通过乘以相应频
12、率点 上的频率响应值来逐个地改变输入信号的每一个傅里叶系 数。 周期信号通过LTI的响应用这种办法求，比前述的任意 信号的响应求解来得方便。,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,例3.有一基波频率为2的周期信号x(t), 其中,46,解：,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,47,例3. 一离散时间LTI系统其单位抽样响应hn=n un，|1输入为xn=cos(2n/N)求系统的响应yn 解： xn是周期函数,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,48,若 N=4,则xn=cos(n/2),6.3LTI系统的频率响应与频域分析,注意：周期信号通过LTI系统的响应一定是稳态响应； 系统对信号
13、的作用就是改变信号每一频率分量的振幅和相位，即相对于输入来说，就是振幅乘以频率响应的模，相位加上频率响应值的幅角。,问题：信号通过LTI系统的失真和特征都是由系统频率响应 的模和相位决定，频率响应的模和相位是如何影响信号的？,49,6.LTI系统频率响应的模和相位 1）. LTI系统频率响应的模和相位的含义信号通过LTI系统,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,频率响应的相位 系统相移,频率响应的模 系统增益,50,2）.频率响应的模和相位与信号的失真,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,(1).幅度失真： 若|H(j)|不为常数，而是随而变，则响应Y()的振幅也就随变化，造成与输入|X(
14、)|不一致，从而引起信号的幅度失真。(不同的谐波增益不一样所致）,51,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,(2).相位失真：即使没有振幅失真，但由系统相移引起信号各频率分量的相对位相的改变导致的失真。,问题：怎样保证信号的不失真传输?,注意： 如果对于输入的改变是一种人们希望的方式进行的，输出信号的变化就不算失真(例如信号的调制）。 线性系统引起的失真不产生新的频率分量； 非线性系统引起的失真可能产生新的频率分量。,52,3).无失真传输即，响应仅大小和出现的时间与输入不同，输出波形没有改变。,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,（1）无失真传输时域条件 （ h(t)应该是怎样的？）,5
15、3,(2）无失真传输频域条件,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,物理意义：此时|H(j)|、 |H(ej)|=k意味着对输入信号中各频率分量均放大或衰减同样的倍数； 意味着使输入信号各频率分量滞后的相位与频率成正比，即，时域滞后相同的时间t0 , n0 。,54,例,延时，线性相移系统,附注：全通系统：具有单位增益，无振幅失真的系统。全通系统对输入信号的影响完全由他的相位特性决定。时移的定义：“-”号表示延迟,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,非线性相位系统和线性相移系统,相位失真，非线性相位系统,55,群时延:,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,说明:线性相位系统的群时延 群时延
16、 实际上是信号包络的延迟。 当窄带信号的频谱宽度远小于系统的带宽时系统的相位特性可近似为线性：,此时,56,的含义：系统模特性|H(j)|改变 信号的幅度（有意识地利用系统引起幅度失真来形成某特定的频谱形状称幅度形成） 响应将被乘上与频率无关的恒定复数因子 ； 对应线性相移ejto，使x(t)以=0为中心的很少一组频率成分受到有效公 共时延t0.这个时延 就是在=0处的群时延。,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,57,4).对数模与波特图由 波特图：可见，用波特图研究系统的幅频特性和相移特性很方便。,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,58,注意： 的单位是分贝（dB）。（分贝常用来表示
17、强度的单位）， 一般定义式是：10 log10( I/I0） 。 而IA2. 从而有关系式：,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,常用的分贝值,分贝数前加“-”号，则模的数值取倒数：,-3dB I/I0=0.5,59,有时横坐标也可用对数频率log 坐标，其优点是可扩大对 的观察范围。 也可直接作 离散系统不宜用对数频率坐标，因离散系统频谱具有周期性特点。见P234-235的6-10，11图。,6.3LTI系统的频率响应与频域分析,60,1) .滤波：改变信号各频率分量的大小，或消除某些频率分量的过程。,6.6信号的滤波和滤波器,(1)理想滤波器：能无失真地通过一组频率上的复指数信号（或对一
18、些频率分量的信号无失真地通过），同时全部阻止掉其他频率的信号。,一. 滤波和理想滤波器,1.基本概念,2) .滤波器：实现滤波功能的系统。,61,低通滤波器高通滤波器,6.6信号的滤波和滤波器,3）滤波器的种类,c 是截止频率,c 是滤波器带宽,连续时间频率选择滤波器,62,带通滤波器 带阻滤波器,6.6信号的滤波和滤波器,63,低通高通带通,6.6信号的滤波和滤波器,离散时间理想频率选择滤波器:,64,零相位特性滤波器特点：对各频率分量系统都没有延迟作用,6.6信号的滤波和滤波器,2.理想滤波器频域和时域特性,线性相位特性的理想滤波器 特点：各频率分量通过系统都有同样的延迟时间t0。,1).
19、理想频率选择性滤波器的频域特性,65,(1)理想低通滤波器的单位冲击响应,6.6信号的滤波和滤波器,2）.理想频率选择性滤波器的时域特性,由,得：零相移冲激响应,线性相位时,66,带宽 ；（时域）单位冲激响应主瓣宽, 该常数与系统有关。,6.6信号的滤波和滤波器,阶跃信号是一个很重要的信号，常反映信 号的接入特征（含有丰富的高频成分）。,之所以是理想滤波器是因为：在频域，其频率响应 H(j) 实际上是做不到在截止点的响应曲线为垂直的。 在时域，冲激响应不满足因果性要求，即响应领先于激励而提前出现（h(t)0,t0, hn0,n0 )。,(2)理想低通滤波器的单位阶跃响应 (在某些情况下常用）,
20、说明：,67,6.6信号的滤波和滤波器,68, 与Si (y) 的对比（有专门的正弦积分表）,6.6信号的滤波和滤波器,69,连续时间理想滤波器的单位阶跃响应,t r,t r =2/c,t r =2/c,6.6信号的滤波和滤波器,y =c t,(b) 离散时间理想滤波器的单位阶跃响应,tr为上升时间，滤 波器的带宽c 、 c ,与滤波器阶跃 响应的上升时间二 者的乘积为一常数。,连续系统,离散系统,70,理想滤波器对跳变点附近的响应会出现过冲和振铃现象，这些都是不需 要的，同时理想滤波器的频谱特征也是无法实现的。实际的滤波器（物理可实现的），在通带和阻带容许一定的 起伏，和过渡带的存在，从而有
21、：,6.6信号的滤波和滤波器,二.非理想滤波器（物理可实现系统） 1.非理想滤波器的容限图,低通滤波器容限图,71,注意：离散系统滤波器频率特性容限图类似上面，只 是最高频率=，且频率特性图周期为2，而不是 无穷大。,6.6信号的滤波和滤波器,72,2.用微分方程描述的非理想滤波器（物理可实现的） （1）RC电路构成的一阶低通滤波器。对数模特性.,6.6信号的滤波和滤波器,73,(2) RLC系统的二阶低通滤波器，其中L=4R2C.求系统的 冲激响应和频率响应。解：,6.6信号的滤波和滤波器,阻尼系数,从而,74,对数模特性,模特性,单位冲击响应,6.6信号的滤波和滤波器,75,结论： 由线性
22、常微分方程表征的系统在初始松弛条件下满足因果性，因而是物理可实现的的非理想滤波器。解决因果逼近（满足因果性又逼近理想滤波器）的核心 问题是如何根据滤波特性要求选定一个由线性常系数微分 方程表征的系统，并用实际电路实现。,6.6信号的滤波和滤波器,该类可实现的滤波器对理想低通滤波器的逼近程度与系 统参数 等有关。即由微分方程的系数和阶数 决定。,76,3.理想滤波器的逼近 三种滤波器（按逼近方式）：,6.6信号的滤波和滤波器,77,巴特沃思滤波器采用巴特沃思逼近（最平逼近）法的滤波器。巴特沃思低通滤波器的频率响应,6.6信号的滤波和滤波器,是低通滤波器的截止频率，即,巴特沃思低通滤波器模特性 对
23、数模波特图,78,容限图中，通、阻带起伏： （以分贝为单位表示1、2）,6.6信号的滤波和滤波器,79,巴特沃思滤波器的设计4.用差分方程描述的非理想滤波器离散系统中物理可实现的滤波器 非递归差分方程描述的非理想滤波器有限冲激响应滤波器 FIR,6.6信号的滤波和滤波器,80,说明：该系统hn是N+1点的有限长因果序列，只要bk有限，系统就是稳定的。 hn有限长，该种滤波器为有限冲激响应滤波器。,6.6信号的滤波和滤波器,(1)bk=常数的均匀平滑滤波器,递归差分方程 描述的系统由于存在反馈路径，它的hn必定是无限长度序列，因此称无限冲激响应滤波器 IIR.,81,N=32时,6.6信号的滤波
24、和滤波器,N=2时,均匀平滑因果低通滤波器,|H(e j)|,|H(e j)|,82,(2) bk常数时由理想低通滤波器的单位抽样响应：,6.6信号的滤波和滤波器,构造系数可变（衰减）的一低通滤波器：,若取,非因果的,83,理想滤波器,bk常数,bk=常数,6.6信号的滤波和滤波器,hn,|H(e j)|,|H(e j)|,几 种 滤 波 器 比 较,84,可见 hn是 hdn 的逼近。为了得到满足因果性的FIR低通滤波器，可在时域将hn右移16即可。即,6.6信号的滤波和滤波器,注意： 非递归的FIR滤波器可具有真正的线性相位特性，却不可 能设计出具有真正线性相位的因果递归滤波器； 同一技术
25、要求的滤波器，用非递归方程来实现时比递归方 程实现时需要的阶数更高，从而就需要更多的系数和延时。 通过改变差分方程的系数，使它具有衰减特性就可使滤波 器过渡带更陡峭(如上例)。滤波器的这些分析和讨论将在后 续的数字信号处理课程中讨论。,85,带通滤波器的三个问题： 如何利用一固定特性的滤波器来获得中心可变的带通滤波器； 调幅信号通过带通滤波器的传输特性； 利用移动频率窗来分析信号的局部特性。,6.6信号的滤波和滤波器,5.带通频率选择性滤波系统的运用,1).具有可变中心频率的带通滤波器,86,6.6信号的滤波和滤波器,改变c就可以改变带通滤 波器的中心频率,87,若x(t)是实信号，则 全部是
26、复信号 ，此时如果取y(t)的实部，那么就 可得到的频谱为：,6.6信号的滤波和滤波器,88,2）. 带通系统对调幅信号的作用一带通滤波器激励信号 ，分析其输出响应. 分析：激励信号是调幅信号,6.6信号的滤波和滤波器,89,激励信号的频谱：,6.6信号的滤波和滤波器,90,滤波器频率响应：,6.6信号的滤波和滤波器,振幅谱,91,相位频谱：,6.6信号的滤波和滤波器,调幅信号的响应：,92,6.6信号的滤波和滤波器,所以,93,即,6.6信号的滤波和滤波器,结论：调幅信号通过带通系统时， 带通的中心频率与载波频率对准，此 时响应的相频特性在这点为零（载波没 相移），其边频分量相对于载频分量有
27、 一相位延迟; 此时，群时延及包络时延是以中心频率为基准按 计算。,群时延：,94,6.6信号的滤波和滤波器,另解：按其频谱图,95,对信号进行局部分析时频分析 方法: 通过加中心可移动的窗函数 、 来实现。,6.6信号的滤波和滤波器,3).频率窗的应用(分析信号的局部特性) 问题：傅里叶变换能够分析时域信号的频谱特征，即信号所包含的频率分量，却不能分析对应某时间的频率分量（无法分析时变信号），如何分析信号的局部特征？,96,例:信号 x(t)通过一线性时不变系统产生的输出信号是（a)该系统的频率响应Hd(j); (b)若 ，求Hd(j)的表达式，,6.6信号的滤波和滤波器,并画出频响图形；
28、(c）说明该系统由有何种功能？当参量a改变时，系统的频响如何变化,解: (a),97,(b),6.6信号的滤波和滤波器,98,(c) 带通滤波器中心频率 可变。,6.6信号的滤波和滤波器, 从频域看：aBw,此时适合分析信号的低频分量； aBw,此时适合分析信号的高频分量（类比测量仪器量程变化来分析）；且Bw0=2/3不变，即一个可调节的频率窗口对信号x(t)的频率开窗，改变a可从窗口观察到不同频率位置0，不同宽度Bw的x(t)局部频谱特性。,从时域看： 与x(t)进行卷积的w(-t/a)是一个时间窗口，不同的t意味着对不同的时间内的信号x(t)进行分析；,99, a Bt(w(-t/a)变宽
29、,此时对应于低频分析（0），同时分辨率提高（Bw），反之aBt (w(-t/a)变窄，对应于高频分析（0 ），同时分辨的频率范围变大，分辨率减小。从而具有数学显微镜的功能。,6.6信号的滤波和滤波器,100,问题：实际应用中往往要将连续信号数字化（便于计算机或其他专用数字处理系统处理），然后进行处理，处理完后，再把它转换为连续信号。如何完成连续信号的这样的处理过程? 一.C/D与D/C基本原理 1.原理图,6.10连续时间信号的离散时间处理,计算机对原始信息的处理的实现,101,或,6.10连续时间信号的离散时间处理,(1)C/D转换,C/D,102,即，使 的值等于x(t)的样本值，时间间隔
30、为一个单位，实质上是T归一化。,6.10连续时间信号的离散时间处理,对应频谱：,103,或xdn为数字信号时，实现 C/D的器件称A/D。,6.10连续时间信号的离散时间处理,(2)离散时间系统就是利用计算机或专用设备完成对离散信号 的处理。,频谱图,104,（3）D/C转换 时域：,6.10连续时间信号的离散时间处理,若,H(e j),105,频域：,6.10连续时间信号的离散时间处理,实现D/C的器件称D/A。,Hc(ej),即,106,二.数字微分器,6.10连续时间信号的离散时间处理,若取s=2c,可得离散时间系统的频率响应为,107,对应的频谱图:,6.10连续时间信号的离散时间处理
31、,连续时间带限微分器的频率响应,对应的离散时间微分器的频率响应,108,例1.若 要求yc(t)等于x(t)的导数，试确定系统中数字微分器的单位抽样响应hdn，其中T为抽样周期。 解一：,6.10连续时间信号的离散时间处理,109,解二：,6.10连续时间信号的离散时间处理,110,三.零阶保持抽样与内插,6.10连续时间信号的离散时间处理,对应滤波器的模与相位,零阶保持原理与波形,111,6.10连续时间信号的离散时间处理,重建x(t) 若,112,是物理不可实现的，实际上可用 为了精确x(t)，可利用x0(t)在两相邻点之间内插值 （线性插值）等。,6.10连续时间信号的离散时间处理,113,作业：P266 6.5、6.7、 6.13、 6.17、 6.27、谢 谢 !,
