1、 2014 珠海四中高三数学（理）专题复习-圆锥曲线一、选择、填空题1、（2013 广东高考）已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为 3,0F,离心率等于32,在双曲线C的方程是 ( )A . 2145xyB2145xyC215xyD15xy2、（2010 广东高考）若圆心在 轴上、半径为 的圆 O位于 轴左侧，且与直线 0相切，则圆 O的方程是 3、（2009 广东高考）巳知椭圆 G的中心在坐标原点，长轴在 x轴上，离心率为 32,且 G上一点到 G的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 的方程为 4、（2014 广州一模）圆 2211xy关于直线 y对称的圆的方程为A 2xy B 2211xy
2、C 2 D5、（2014 梅州 3 月高考模拟）已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆2156xy的长轴的端点、焦点，则双曲线 C 的方程是6、（2014 韶关一模）已知椭圆与双曲线214xy的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 10，那么椭圆的离心率等于 ( )A. 35 B. 45 C. 5 D. 37、（2014 深圳一模）已知双曲线2:1xyCab与椭圆2194xy有相同的焦点， 且双曲线 C的渐近线方程为 y，则双曲线 的方程为 二、解答题1、（2013 广东高考）已知抛物线 C的顶点为原点,其焦点 0,Fc到直线 l:20xy的距离为 32.设 P为直线 l上的点,
3、过点 P作抛物线 C的两条切线 ,PAB,其中,AB为切点.() 求抛物线 C的方程；() 当点 0,Pxy为直线 l上的定点时,求直线 AB的方程；() 当点 在直线 l上移动时 ,求 F的最小值.2、（2012 广东高考）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C：21xyab（ 0a）的离心率3e且椭圆 C上的点到点 0,2Q的距离的最大值为 3.（）求椭圆 的方程；（）在椭圆 上，是否存在点 ,Mmn，使得直线 l： 1mxny与圆 O： 21xy相交于不同的两点 A、 B，且 O的面积最大？若存在，求出点 M的坐标及对应的 AB的面积；若不存在，请说明理由.3、（2011 广东高考）设
4、圆 C与两圆2(5)4xy，2(5)4xy中的一个内切，另一个外切（1）求 C的圆心轨迹 L的方程；（2）已知点354(,)M， (5,0)F，且 P为 L上动点，求 MPF 的最大值及此时点P的坐标4、（2014 广州一模）已知双曲线 E： 2104xya的中心为原点 O，左，右焦点分别为 1F，2F，离心率为 35，点 P是直线23上任意一点，点 Q在双曲线 E上，且满足 20PQA（1）求实数 a的值；（2）证明：直线 P与直线 OQ的斜率之积是定值；（3）若点 的纵坐标为 1，过点 作动直线 l与双曲线右支交于不同两点 M， N，在线段MN上取异于点 ， N的点 H，满足 PMHN，证
5、明点 恒在一条定直线上5、已知点 F是椭圆)0(12ayx的右焦点，点 (,0)Mm、 (,)Nn分别是 x轴、 y轴上的动点，且满足 NM若点 P满足 PO2（1）求点 P的轨迹 C的方程；（2）设过点 F任作一直线与点 的轨迹交于 A、 B两点，直线 A、 B与直线ax分别交于点 S、 T（ O为坐标原点），试判断 FST是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由6、已知椭圆210xyCab:()的左焦点 F及点 0 Ab(， )，原点 O到直线 FA的距离为2b（1）求椭圆 的离心率 e；（2）若点 F关于直线 20lxy:的对称点 P在圆24xy:上，求椭圆 C的方程及点 P的
6、坐标7、（2014 深圳一模）如图 7，直线 :(0)lyxb，抛物线 2:(0)Cypx，已知点(2,)P在抛物线 C上，且抛物线 上的点到直线 l的距离的最小值为 324（1）求直线 l及抛物线 C的方程；（2）过点 (,1)Q的任一直线（不经过点 P）与抛物线 C交于 A、 B两点，直线 A与直线l相交于点 M，记直线 PA， B， M的斜率分别为 1k， 2， 3问：是否存在实数 ，使得123k？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由8、（2014 佛山期末）如图 7所示,已知椭圆 C的两个焦点分别为 1,0F、 21,且 2F到直线 390xy的距离等于椭圆的短轴长.() 求椭圆
7、 C的方程；() 若圆 P的圆心为 0,t( ),且经过 1、 2,Q是椭圆 C上的动点且在圆 P外,过Q作圆 的切线,切点为 M,当 Q的最大值为 3时 ,求 t的值.9、（广东省百所高中 2014 届高三 11 月联考）已知椭圆 C1：21(0)xyab的离心率为 3e，直线 l：yx2 与以原点为圆心，以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切。（1）求椭圆 C1 的方程；（2）抛物线 C2：y 22px（p0）与椭圆 C1 有公共焦点，设 C2 与 x 轴交于点 Q，不同的两点R，S 在 C2 上（R，S 与 Q 不重合），且满足 ，求 的取值范围。10、（广东省宝安中学等七校 20
8、14 届高三第二次联考）已知定点 1,0F, 2,动点 ,Pxy,且满足 12,PF成等差数列.() 求点 P的轨迹 1C的方程；() 若曲线 2的方程为 22tt(0t),过点 0,2A的直线 l与曲线2C相切,求直线 l被曲线 1截得的线段长的最小值.参考答案一、选择、填空题1、B 2、 2()xy 3、2169xy4、A 5、2196xy6、B7、 24y二、填空题1、() 依题意,设抛物线 C的方程为 24xcy,由 023结合 0c,解得 1.所以抛物线 的方程为 2.() 抛物线 的方程为 ,即 214,求导得 12x设 1,Axy, 2B(其中21,xy),则切线 ,PAB的斜率
9、分别为 12x, 2,所以切线 P的方程为 11,即211xyy,即 0xy同理可得切线 的方程为 220x因为切线 ,AB均过点 0,y,所以 110, 202所以 12xy为方程 0的两组解.所以直线 的方程为 0x.() 由抛物线定义可知 1Fy, 2By,所以 121AFB联立方程 0024xy,消去 x整理得 22200xy由一元二次方程根与系数的关系可得 210yxy, 210所以 122AFBy又点 0,Px在直线 l上,所以 0x,所以2220 0195yy所以当 01时, AFB取得最小值,且最小值为 .2、解析：（）因为 23e，所以23ca，于是 23ab.设椭圆 C上任
10、一点 ,Pxy，则222 2214yPQxyayb（ yb）.当 0b时， 2PQ在 时取到最大值，且最大值为 24，由 249解得1，与假设 1不符合，舍去.当 时， 2在 y时取到最大值，且最大值为 236b，由 2解得 21b.于是23a，椭圆 C的方程是 213x.（）圆心到直线 l的距离为 2dmn，弦长 21ABd，所以 OAB的面积为2112SABd，于是 22214Sd.而 ,Mmn是椭圆上的点，所以3mn，即 223n，于是 22213dmn，而 1，所以 201，21，所以 1，于是当 时， S取到最大值 4，此时 S取到最大值 ，此时2n， .综上所述，椭圆上存在四个点
11、62,、 62,、 62,、 62,，使得直线与圆相交于不同的两点 A、 B，且 O的面积最大，且最大值为 1.3、解：（1）设 (5,0)(,)F，圆 C的半径为 r，则 2425Cr C的圆心轨迹 L是以 ,F为焦点的双曲线， 2a， 5c， 1b 的圆心轨迹 的方程为214xy（2）223545()()MPF 的最大值为 2，此时 P在 MF的延长线上，如图所示， 必在 L的右支上，且 5x， 0Py直线 F的斜率 k:25Myx214yx215380(3514)(6)0x 12456,x Px，6Px，2Py MF 的最大值为 2，此时 为652(,)4、（1）解：设双曲线 E的半焦距
12、为 c，由题意可得 23,4.ca解得 5a （2）证明：由（1）可知，直线253ax，点 23,0F设点 ,3Pt, 0,Qxy，因为 20PFQA，所以 0,txyA所以 04ty因为点 0,xy在双曲线 E上，所以20154，即 22005xxy OMFPP所以20053PQOytytkx20045345x所以直线 与直线 的斜率之积是定值 5（3）证法 1：设点 ,Hxy，且过点 ,13P的直线 l与双曲线 E的右支交于不同两点1,Mxy， 2,N，则 21450xy， 2450xy，即 221145yx，245设 PHN，则 ,.PMNH即 121,1,33.xyxy整理，得1212
13、5,3,.xy由，得221251,3.xxyy将 221145yx， 245x代入，得 2 将代入，得 43yx所以点 H恒在定直线 43120xy上证法 2：依题意，直线 l的斜率 k存在设直线 l的方程为 53kx，由 251,3.4ykx消去 y得 222945305690kxkxk因为直线 l与双曲线 E的右支交于不同两点 1,My， 2,Ny，则有2212212290539045690,569.4kkxk设点 ,Hxy，由 PMHN，得112253xx整理得 12126350x1将代入上式得 220693531044kxkx整理得 351x 因为点 H在直线 l上，所以 53ykx
14、联立消去 k得 43120x所以点 恒在定直线 y上（本题（3）只要求证明点 H恒在定直线 43120xy上，无需求出 x或 y的范围）5、【解析】（1） 椭圆)0(12ayx右焦点 F的坐标为 (,)a，(,)NFan (,)MNmn， 由 N，得 02mn 设点 P的坐标为 ,yx，由 PO2，有 (,0)(,),)xy，.2,ynm代入 02a，得 axy42 （2）(法一) 设直线 AB的方程为 t，21(,)yA、2(,)4yBa，则xyalOA14:，xyalOB24: 由axy,41，得214(,)aSy， 同理得24(,)aTy21(,)FS，2(,)FT，则4216FT 由
15、axyt4,2，得 0422aty，214ya 则)(1624FTS 因此， 的值是定值，且定值为 0 6、(1)由点 (,0)Fae，点 (,)Ab及 21ea得直线 FA的方程为 21xyae，即2211xy，原点 O到直线 的距离为21b， 2,.aee故椭圆 C的离心率 2e. (2) 解法一：设椭圆 C的左焦点 F2(,0)a关于直线 :0lxy的对称点为 0(,)Pxy，则有0001,2.2yxay解之，得 00324,1xay. P在圆24xy上234()()1a，228,().be故椭圆 C的方程为218,点 P的坐标为68(,).57、解：（1）（法一） 点 (2,)P在抛物
16、线 C上， 1p 2 分设与直线 l平行且与抛物线 相切的直线 l方程为 yxm，图 7yMPBQxAOl由 2,yxm得 22()0xm， 2()48，由 0，得 1，则直线 l方程为 12yx两直线 l、 间的距离即为抛物线 C上的点到直线 l的最短距离，有 324b，解得 b或 1（舍去）直线 l的方程为 yx，抛物线 的方程为 2yx 6 分（法二） 点 (2,)P在抛物线 C上， 1p，抛物线 C的方程为 2yx2 分设2(,)tMR（为抛物线 上的任意一点，点 M到直线 l的距离为 2tbd，根据图象，有20tb， 21()1dtb，tR， 的最小值为 b，由 34，解得 2b因此
17、，直线 l的方程为 2yx，抛物线 C的方程为 2yx6 分（2 ） 直线 AB的斜率存在， 设直线 AB的方程为 1()k，即 21ykx，由 21,ykx得 240ky，设点 、 的坐标分别为 1(,)x、 2(,)y，则 12yk， 124k，1121ykxy， 2k， 9 分1212122 2+8()84243kkkyyy.10 分由 21,ykx 得 21Mkx， 41Mky，34213k， 13 分123因此，存在实数 ，使得 123k成立，且 214 分8、【解析】()设椭圆的方程为 xyab( 0),依题意, 1924b, 1 分所以 2 分又 c, 3 分所以 225a, 4
18、 分所以椭圆 C的方程为214xy. 5 分() 设 ,Q(其中 5), 6 分圆 P的方程为 221xyt,7 分因为 M,所以 2t221xyt8 分14yt9 分当10 分且 max32QMt,解得 3182t(舍去). 11 分当 42t即 10时,当 4y时, QM取最大值, 12 分且 2max34t,解得 218t,又 02t,所以 4t.13 分综上,当 t时, Q的最大值为 . 14 分9、解：(1)由直线 l：y x 2 与圆 x2y 2b 2 相切，得 b，即 b .|0 0 2|2 2由 e ，得 1e 2 ，所以 a ，所以椭圆的方程是 C1： 1.(4 分)33 b
19、2a2 23 3 x23 y22(2)由 p=1,p=2，故 C2 的方程为 y2=4x,易知 Q(0，0) ，设 R( ，y 1)，S( ，y 2)， ( ，y 1)， ( ，y 2y 1)，由 0，得 y 1(y2y 1)0，QR RS QR RS y 1y 2，y 2( y1 )，16y1y y 322 3264，当且仅当 y ，即 y14 时等号成立2 21 21又| | ，QS 14y 64，当 y 64，即 y28 时，| |min8 ，2 2 QS 5故| |的取值范围是8 ，)(14 分)QS 510、【解析】()由 1,0F, 2, 421PF12 1 分根据椭圆定义知 P的
20、轨迹为以 2为焦点的椭圆,其长轴 42a,焦距 c,短半轴 3cab,故 1C的方程为 1342yx. 4 分()设 l: ykx,由过点 0,A的直线 l与曲线 2相切得 2tkt,化简得 20,12，tt (注:本处也可由几何意义求 与 t的关系)6 分由 20kt,解得 21k 7 分联立134yx,消去 y整理得 01263422 kx,8 分直线 l被曲线 C截得的线段一端点为 0,A,设另一端点为 B,解方程可得22,kB,所以 222243114343kkkA11 分(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)令 nk12,则 2,(21nBn,考查函数 ny14的性质知 ny14在区间 (,2上是增函数,所以 2时, 取最大值 7,从而 min127AB. 14 分
