1、第 1 页（共 17 页）2015-2016 学年安徽省六安市徐集中学高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求的）1已知 M=0，x，N=1，2，若 MN=1，则 MN=（ ）A0，x，1，2 B1，2， 0，1 C0，1，2 D无法确定2方程 2cosx=1 的解集为（ ）A BC D3函数 y=x33x 在1，2的最小值为（ ）A2 B0 C 4 D24若不等式 f（x）=ax 2xc0 的解集x|2x1，则函数 y=f（x）的图象为（ ）A B C D5已知角 的终边经过点 P（ 4
2、m，3m ） （m0） ，则 2sin+cos 的值是（ ）A1 或1 B 或 C1 或 D1 或6下列命题正确的是（ ）A若 = ，则 = B若| + |=| |，则 =0C若 ， ，则 D若 与 是单位向量，则 =17计算下列几个式子，tan25+tan35+ tan25tan35，2（sin35 cos25+sin55cos65） ， ，第 2 页（共 17 页） ，结果为 的是（ ）A B C D8函数 y=cos（ 2x）的单调递增区间是（ ）Ak+ ，k+ Bk ，k+ C2k+ ，2k+ D2k ，2k+ （以上 kZ）9若函数 f（x）= ，则该函数在（ ，+）上是（ ）A单调
3、递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值10若函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在（，0上是减函数，且 f（2）=0，则使得f（x）0 的 x 的取值范围是（ ）A （，2） B （2，+） C （ ，2）（2，+ ） D （2，2）11若 logm9log n90，那么 m，n 满足的条件是（ ）Amn1 Bnm1 C0nm 1 D0mn112若定义在区间 D 上的函数 f（x）对于 D 上任意 n 个值 x1，x 2，x n 总满足 f（x 1）+f（x 2）+f （x n）f （ ） ，则称 f（x）为 D 的凸函数，现已知 f（x）=sinx 在（0
4、，）上是凸函数，则三角形 ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为（ ）A B3 C D3二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若 f（x 0） =2，则 = 14设 sinsin= ，cos+cos = ，则 cos（ +）= 15曲线在 在 x=1 处的切线的倾斜角为 16函数 的单调递减区间是 第 3 页（共 17 页）三、解答题（共大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知命题 P：x 1、x 2 是方程 x2mx2=0 的两个实根，不等式 a25a3|x 1x2|对任意实数，若命题 p 是假命题，同时命题
5、 q 是真命题，求 a 的取值范围18已知函数 f（x）=sinx+ cosx（）求 f（x）的周期和振幅；（）用五点作图法作出 f（ x）在一个周期内的图象；（）写出函数 f（x）的递减区间19已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x 2x1（1）求函数 f（x）的解析式；（2）求不等式 f（x）1 的解集20已知函数 f（x）=x 2+2ax+2，x5，5（1）当 a=1 时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数 a 的取值范围，使 y=f（x）在区间 5，5上是单调函数（3）求函数 f（x）的最小值 g（a） ，并求 g（a）的最大值21已知：f（x）=x 3+
6、3ax2+bx+a2 在 x=1 时有极值 0（1）求：常数 a、b 的值；（2）求：f（x）的单调区间22已知函数 f（x）=（x+1）lnxx+1（）若 xf（ x）x 2+ax+1，求 a 的取值范围；（）证明：（x1）f（x）0第 4 页（共 17 页）2015-2016 学年安徽省六安市徐集中学高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求的）1已知 M=0，x，N=1，2，若 MN=1，则 MN=（ ）A0，x，1，2 B1，2， 0，1 C0，1，2 D无法确定【
7、考点】并集及其运算【分析】由交集性质求出 x=1，由此能求出 MN【解答】解：M=0，x，N=1，2，M N=1，x=1，M=0，1，MN=0，1 ，2故选：C2方程 2cosx=1 的解集为（ ）A BC D【考点】函数与方程的综合运用【分析】若 2cosx=1，则 cosx= ，解得原方程的解集【解答】解：若 2cosx=1，则 cosx= ，则 ，故原方程的解集为： ，故选：C3函数 y=x33x 在1，2的最小值为（ ）A2 B0 C 4 D2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出函数的导函数的零点，通过函数在区间1，2，求出端点的函数值以及极值，比较后可得函数 y=x33x
8、 在1，2上的最小值第 5 页（共 17 页）【解答】解：y=x 33x，y=3x 23，令 y=0，解得 x=1 或 x=1，由 f（ 1）=2； f（1）= 2；f（2）=2；可得函数 y=x33x 在 1，2上的最小值为2故选：D4若不等式 f（x）=ax 2xc0 的解集x|2x1，则函数 y=f（x）的图象为（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】由已知，求出 a，c ，确定 f（x） ，再求出 y=f（x）的解析式，确定图象【解答】解：由已知得，2， 1 是方程 ax2xc=0 的两根，分别代入，解得a=1，c=2f（x）= x2x+2从而函数 y=f（x）=x 2+x+2=
9、（x2） （x+1）它的图象是开口向下的抛物线，与 x 轴交与（1，0） （2，0）两点故选 B5已知角 的终边经过点 P（ 4m，3m ） （m0） ，则 2sin+cos 的值是（ ）A1 或1 B 或 C1 或 D1 或【考点】任意角的三角函数的定义【分析】求出 OP 的距离 r，对 m0，m 0，分别按照题意角的三角函数的定义，求出sin 和 cos 的值，然后再求 2sin+cos 的值，可得结果【解答】解： ，当 m0 时， ；第 6 页（共 17 页）当 m0 时， ，故选 B6下列命题正确的是（ ）A若 = ，则 = B若| + |=| |，则 =0C若 ， ，则 D若 与 是
10、单位向量，则 =1【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量【分析】利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方；再利用向量的运算律：完全平方公式化简等式得到【解答】解： ， ， ， ，故选 B7计算下列几个式子，tan25+tan35+ tan25tan35，2（sin35 cos25+sin55cos65） ， ， ，结果为 的是（ ）A B C D【考点】三角函数的化简求值【分析】先令 tan60=tan（25 +35）利用正切的两角和公式化简整理求得 tan25+tan35=（1tan25tan35 ） ，整理后求得 tan25+tan35+ tan25tan35= ；
11、中利用诱导公式把 sin55转化才 cos35，cos65 转化为 sin25，进而利用正弦的两角和公式整理求得结果为第 7 页（共 17 页）；中利用正切的两角和公式求得原式等于 tan60，结果为 ，中利用正切的二倍角公式求得原式等于 ，推断出不符合题意【解答】解：tan60=tan（ 25+35）= =tan25 +tan35= （1tan25 tan35）tan25 +tan35+ tan25tan35= ， 符合2（sin35 cos25+sin55cos65）=2 （sin35 cos25+cos35sin25）=2sin60 = ，符合=tan（45+15） =tan60= ，符
12、合= = tan = ，不符合故结果为 的是故选 C8函数 y=cos（ 2x）的单调递增区间是（ ）Ak+ ，k+ Bk ，k+ C2k+ ，2k+ D2k ，2k+ （以上 kZ）【考点】余弦函数的单调性【分析】把函数的解析式变形，再利用余弦函数的增区间是2k ，2k ，kz，列出不等式，求得自变量 x 的取值范围【解答】解：函数 y=cos（ 2x）=cos（2x ） ，根据余弦函数的增区间是 2k，2k，kz，得：2k 2x 2k，解得 k xk+ ，故选 B9若函数 f（x）= ，则该函数在（ ，+）上是（ ）A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大
13、值【考点】函数单调性的判断与证明第 8 页（共 17 页）【分析】利用复合函数求解，先令 u（x）=2 x+1，f （u）= u（x）在（，+）上单调递增且 u（x）1，f（u）= 在（1，+）上单调递减，再由“ 同增异减”得到结论【解答】解：令 u（x）=2 x+1，则 f（u）= 因为 u（x）在（，+）上单调递增且 u（x）1，而 f（u）= 在（1，+）上单调递减，故 f（x）= 在（ ，+）上单调递减，且无限趋于 0，故无最小值故选 A10若函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在（，0上是减函数，且 f（2）=0，则使得f（x）0 的 x 的取值范围是（ ）A （，2） B （2
14、，+） C （ ，2）（2，+ ） D （2，2）【考点】偶函数【分析】偶函数图象关于 y 轴对称，所以只需求出（， 0内的范围，再根据对称性写出解集【解答】解：当 x（，0时 f（x）0 则 x（2，0又偶函数关于 y 轴对称f（x）0 的解集为（2，2） ，故选 D11若 logm9log n90，那么 m，n 满足的条件是（ ）Amn1 Bnm1 C0nm 1 D0mn1【考点】对数值大小的比较【分析】根据对数函数的图象与性质可知，当 x=91 时，对数值小于 0，所以得到 m 与n 都大于 0 小于 1，又 logm9log n9，根据对数函数的性质可知当底数小于 1 时，取相同的自变
15、量，底数越大对数值越小，所以得到 m 大于 n【解答】解：根据 logm90，log n90，得到 0m1，0n1；又 logm9log n9，得到 mn，所以 mn 满足的条件是 0 nm 1故选 C第 9 页（共 17 页）12若定义在区间 D 上的函数 f（x）对于 D 上任意 n 个值 x1，x 2，x n 总满足 f（x 1）+f（x 2）+f （x n）f （ ） ，则称 f（x）为 D 的凸函数，现已知 f（x）=sinx 在（0，）上是凸函数，则三角形 ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为（ ）A B3 C D3【考点】函数的值【分析】由凸函数的性质可得：sin
16、A+sinB+sinC3 ，即可得出【解答】解：由凸函数的性质可得：sinA+sinB+sinC3 = = ，当且仅当 A=B=C= 时取等号sinA+sinB+sinC 的最大值为 故选：C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若 f（x 0） =2，则 = 1 【考点】极限及其运算【分析】利用导数定义及 = ，计算即得结论【解答】解： = f（ x0）= 2=1，故答案为：114设 sinsin= ，cos+cos = ，则 cos（ +）= 【考点】两角和与差的余弦函数第 10 页（共 17 页）【分析】将分别已知的两个等式两边平方得到两个关系式记作和，然后
17、+，利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的余弦函数公式化简，即可得到所求式子的值【解答】解：把 sinasinb= 和 cosa+cosb= 两边分别平方得：sin2a+sin2b2sinasinb= ，cos 2a+cos2b+2cosacosb= ，+得：1+1+2cosacosb 2sinasinb= ，则 cos（a+b）=cosacosbsinasinb= = 故答案为： 15曲线在 在 x=1 处的切线的倾斜角为 【考点】直线的倾斜角；导数的几何意义【分析】利用求导法则求出曲线解析式的导函数，把 x=1 代入求出对应的导函数值即为切线方程的斜率，根据直线斜率与倾斜角的正切值相等
18、，可得出倾斜角的正切值，根据倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数【解答】解：求导得：y=x 22x，把 x=1 代入导函数得：y |x=1=12=1，切线方程的斜率 k=tan=1（设 为切线的倾斜角） ，又 0，） ，= 故答案为：16函数 的单调递减区间是 （1，1 【考点】复合函数的单调性【分析】确定函数的定义域，设 t（x）= x2+2x+3，对称轴 x=1，根据复合函数的单调性判断即可【解答】解： ，x 2+2x+30，第 11 页（共 17 页）1 x 3，设 t（x）=x 2+2x+3，对称轴 x=1， 1根据复合函数的单调性判断：函数 的调增区间为（1，1故
19、答案为（1， 1三、解答题（共大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知命题 P：x 1、x 2 是方程 x2mx2=0 的两个实根，不等式 a25a3|x 1x2|对任意实数，若命题 p 是假命题，同时命题 q 是真命题，求 a 的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】由题条件，先解出两个命题为真命题时的等价条件，再根据命题 p 是假命题，同时命题 q 是真命题，求 a 的取值范围【解答】解：p 为真命题时，由，a6 或 a1q 为真命题时，由 p 假 q 真，18已知函数
20、f（x）=sinx+ cosx（）求 f（x）的周期和振幅；（）用五点作图法作出 f（ x）在一个周期内的图象；（）写出函数 f（x）的递减区间【考点】y=Asin （x+）中参数的物理意义；正弦函数的单调性【分析】 （I）利用两角和的正弦公式对解析式进行化简后，求出函数的振幅和周期；（II）把“ ”作为一个整体，根据正弦函数图象的五个关键点列表，再由正弦函数的图象进行描点、连线；第 12 页（共 17 页）（III）把 “ ”作为一个整体，根据正弦函数的单调区间，即由求出 x 的范围，即求出函数的减区间【解答】解：（I） ）=函数 f（x）的周期为 T=2，振幅为 2（II）列表：图象如图（
21、III）由 解得：所以函数的递减区间为19已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x 2x1（1）求函数 f（x）的解析式；（2）求不等式 f（x）1 的解集【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法【分析】 （1）由 f（x）是定义在 R 上的奇函数，可得：f（0）=0；当 x0 时，x0，结合 x0 时，f（x）=x 2x1，及 f（x）=f（x）可得 x0 时，函数的解析式，最后综合讨论结果，可得函数 f（x）的解析式；（2）分当 x0 时，当 x=0 时，和当 x0 时三种情况，求解不等式 f（x）1，最后综合讨论结果，可得不等式 f（x） 1 的解集
22、第 13 页（共 17 页）【解答】解：（1）f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x 2x1f（0）=0 ，当 x0 时，x 0，f（ x）=x 2+x1=f（x） f（x）= x2x+1，f（x）= ，（2）当 x0 时，解 f（x）=x 2x11 得：0x2；当 x=0 时 f（0）=0 1 符合题意；当 x0 时，解 f（x）= x2x+11 得：x1；综上所述，不等式 f（x）1 的解集为：（，1）0，2）20已知函数 f（x）=x 2+2ax+2，x5，5（1）当 a=1 时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数 a 的取值范围，使 y=f（x）在区间 5，5上
23、是单调函数（3）求函数 f（x）的最小值 g（a） ，并求 g（a）的最大值【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的值域；函数单调性的判断与证明【分析】 （1）当 a=1 时，函数 f（x）=（x1） 2+1，再利用二次函数的性质求得函数在5， 5上的最值（2）根据 y=f（x）的对称轴为 x=a，且在区间 5，5上是单调函数，可得 a5，或a 5，由此求得 a 的范围（3）由于 y=f（x）=（x+a） 2+2a2 的对称轴为 x=a，再根据对称轴和区间的关系分类讨论，根据函数的单调性求得 g（a）的解析式，从而求得 g（a）的最大值【解答】解：（1）当 a=1 时，函数 f（x）=x 2+
24、2ax+2=x2 2x+2=（x1） 2+1，第 14 页（共 17 页）再由 x5，5，可得当 x=1 时，函数取得最小值为 1，当 x=5 时，函数取得最大值为37（2）y=f（x）=x 2+2ax+2=（x+a） 2+2a2 的对称轴为 x=a，且在区间5， 5上是单调函数，可得 a5，或 a5解得 a5，或 a5，故 a 的范围为5，+）（，5（3）由于 y=f（x）=x 2+2ax+2=（x+a） 2+2a2 的对称轴为 x=a，故当5 a5 时，即 5a 5 时，f（x）在区间5，5上最小值 g（a）=2a 2当a 5 时，即 a5 时，由于 f（x）在区间5，5上单调递增，g（a
25、）=f（ 5）=2710a，当a 5 时，即 a 5 时，由于 f（x）在区间5，5上单调递减，g（a）=f（5）=27+10a综上，g（a）= 当 a5 时，g（a） 23； 当5a 5 时，23g（a）2；当 a5 时，g（a）23综合可得，g（a）的最大值为 2，此时，a=021已知：f（x）=x 3+3ax2+bx+a2 在 x=1 时有极值 0（1）求：常数 a、b 的值；（2）求：f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）已知函数 f（x） =x3+3ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 0，即 f（ 1）=0，f （1）=0，通
26、过求导函数，再代入列方程组，即可解得 a、b 的值；（2）分别解不等式 f（x）0 和 f（x）0，即可得函数 f（x）的单调增区间与单调递减区间【解答】解：（1）f（x）=3x 2+6ax+b， （a1） ，函数 f（x）=x 3+3ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 0，f（ 1）=0， f（1）=0 ，1 +3ab+a2=0，36a +b=0，解得 a=2，b=9（2）f（x）=x 3+6x2+9x+4，第 15 页（共 17 页）f（x）=3x 2+12x+9，由 f（x）=3x 2+12x+90 得 x（， 3）或（1，+） ，由 f（x）=3x 2+12x+90 得 x（3，
27、 1） ，函数 f（x）的单调增区间为：（ ，3） ， （ 1，+） ，减区间为：（ 3，1） 22已知函数 f（x）=（x+1）lnxx+1（）若 xf（ x）x 2+ax+1，求 a 的取值范围；（）证明：（x1）f（x）0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （）函数的定义域为（0，+）求导函数，可得 ，从而 xf（x） x2+ax+1 可转化为 lnxxa，令 g（x）=lnxx，求出函数的最值，即可求得a 的取值范围；（）由（）知，g（x）g（1）=1，即 lnxx+10，可证 0x1 时，f（x）0；x1 时，f（x）0，从而可得结论【解答】解：（）函数的定义域为（0，+）
28、求导函数，可得 ，xf（x）=xlnx+1，题设 xf（x） x2+ax+1 等价于 lnxxa，令 g（x）=lnxx，则 g（x）= 当 0x1 时，g（x）0；当 x1 时，g（x）0，x=1 是 g（x）的最大值点，g（x）g（1）= 1综上，a 的取值范围是1，+） （）由（）知，g（x）g（1）=1，即 lnxx+10；当 0x1 时，f（x）=（x+1）lnxx+1=xlnx +（lnxx+1） 0；当 x1 时，f（x）=lnx+（xlnx x+1）=lnx+x（lnx+ 1）0所以（x1）f （x）0第 16 页（共 17 页）第 17 页（共 17 页）2016 年 11 月 19 日
