1、 Leizi在三棱柱 中，已知 , ，此1ABC1ABC平 面 12,3,2ABAC三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）A B C D326531【知识点】线 面 垂 直 的 性 质 ;球 内 接 多 面 体 ;球 体 积 的 公 式 .【答案解析】A 解析 ：解 ： 直 三 棱 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， （ 如 图 ） ，1AB 中 ， ， 下 底 面 的 外 心 为 的 中 点 ，ABC2p=ABCPB同 理 ， 可 得 上 底 面 的 外 心 为 的 中 点 ，1AQ1连 接 ， 则 与 侧 棱 平 行 ， 所 以 平 面PQ再 取 中 点 ， 可 得
2、： 点 到 的 距 离 相 等 ，O1,BCA 点 是 三 棱 柱 外 接 球 的 球 心1ABC 中 ， ， ，RTP32=12PQ= ， 即 外 接 球 半 径 ，2O+R因 此 ， 三 棱 柱 外 接 球 的 球 的 体 积 为 ： 1ABC3342VRpp=故 选 ： A【思路点拨】根 据 题 意 并 结 合 空 间 线 面 垂 直 的 性 质 ， 可 得 三 棱 柱 外1ABC接 球 的 球 心 是 上 下 底 面 斜 边 中 点 的 连 线 段 的 中 点 在 直 角 中 ， 利PQTPO用 勾 股 定 理 算 出 的 长 ， 即 得 外 接 球 半 径 的 大 小 ， 再 用 球
3、 的 体 积 公 式 即 可 算OBR出 所 求 外 接 球 的 体 积 四面体 ABCD 中，已知 AB=CD= ，AC=BD= ，AD=BC= ，则四面体 ABCD 的外29 34 37接球的表面积（ ）A25 B45 C50 D100【知识点】几 何 体 的 外 接 球 的 表 面 积 的 求 法 ;割 补 法 的 应 用 .Leizi【答案解析】C 解析 ：解 ： 由 题 意 可 采 用 割 补 法 ， 考 虑 到 四 面 体 ABCD 的 四 个 面 为全 等 的 三 角 形 ， 所 以 可 在 其 每 个 面 补 上 一 个 以 , , 为 三 边 的 三 角 形 作 为 底29
4、34 37面 ， 且 以 分 别 x， y， z 长 、 两 两 垂 直 的 侧 棱 的 三 棱 锥 ， 从 而 可 得 到 一 个 长 、 宽 、 高分 别 为 x， y， z 的 长 方 体 ， 并 且 x2+y2=29， x2+z2=34， y2+z2=37， 则 有 （ 2R）2=x2+y2+z2=50（ R 为 球 的 半 径 ） ， 得 R2= ， 所 以 球 的 表 面 积 为5S=4 R2=50 故 选 ： C【思路点拨】将 四 面 体 补 成 长 方 体 ， 通 过 求 解 长 方 体 的 对 角 线 就 是 球 的 直 径 ， 然 后 求解 外 接 球 的 表 面 积 已知
5、正四面体的棱长为 ，则它的外接球的表面积的值为 2【知识点】球 内 接 多 面 体 【答案解析】 解析 ：解 ： 正 四 面 体 扩 展 为 正 方 体 ， 它 们 的 外 接 球 是 同 一 个 球 ，3p正 方 体 的 对 角 线 长 就 是 球 的 直 径 ， 正 方 体 的 棱 长 为 ： 1； 对 角 线 长 为 ： ，3 棱 长 为 的 正 四 面 体 的 外 接 球 半 径 为 232所 以 外 接 球 的 表 面 积 为 ，故答案为 .234p=p【思路点拨】正 四 面 体 扩 展 为 正 方 体 ， 它 们 的 外 接 球 是 同 一 个 球 ， 正 方 体 的 对 角 线
6、长就 是 球 的 直 径 ， 求 出 直 径 即 可 求 出 外 接 球 半 径 ,可 求 外 接 球 的 表 面 积 已知正三棱锥 ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 的求面上，若 PA，PB ，PC 两两3互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_。【答案】 3【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及Leizi转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱平面四边形 中， , , ,将其沿对角线 折成四面体 ,使平面 平面 ，若四面体 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）（A） （
7、B） （C） （D）1.A 根据题意，如图，可知 中， ，在 中，,又因为平面 平面 ，所以球心就是 的中点，半径为 ，所以球的体积为： 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ）LeiziA B C D81469274【答案】A【解析】设球的半径为 R，则棱锥的高为 4，底面边长为 2，R 2=（4R） 2+（ ） 2，R= ，球的表面积为 4（ ） 2= 故选：A一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 侧侧侧311【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积【答案解析】 16
8、3解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面 SAC 与底面垂直，高SO 为 ，如图：Leizi其中 OA=OB=OC=1，SO平面 ABC，其外接球的球心在 SO 上，设球心为 M，OM=x，则213x，得 x= 3，外接球的半径 R= 23，几何体的外接球的表面积S=4 4= .6【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题. 18如图，三棱锥 中， ，它的三视图如下，求该棱锥的ABCP90（）全面积；（）
9、内切球体积；（）外接球表面积【知识点】根据 三视图的定义正确读取三棱锥 中的位置关系和数量关系，几何ABCP体内切球半径、外切球半径的求法.【答案解析】(1) ；(2) ；(3) 214834)2(6489解析 ：解 ： （ 1） 由 三 视 图 可 知 此 三 棱 锥 是 ： 底 面 是 腰 长 为 6的 等 腰 直 角 三 角 形ABC， 顶 点 P在 底 面 上 射 影 是 底 面 直 角 三 角 形 斜 边 中 点 E， 且 高 为 4的 三 棱 锥 。 侧 面PAB、 PAC的 高 都 是 5， 底 面 斜 边 长 ，所以全面积为：62：16264812（2）设内切球球心O,半径r，
10、则由 得PABCOPABOCPBVVV643正视图 63俯视图643侧视图CBLeizi，解得r= ,116482323r6427所以内切球体积为3（3）设外接球球心M，半径R,M在高PE所在直线上，因为 4 ,32所以 ,解得R= ，所以外接球表面积为。2243RR174489【思路点拨】（1）三视图的定义正确读取三棱锥 中的位置关系和数量关系，从ABCP而求得三棱锥的全面积.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径。 （3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径。三棱锥 BCDA的外接球为球，球 的直径是 ，且 都是边长为 的等O
11、D,1边三角形，则三棱锥 的体积是（ ） A B C D 1286182【知识点】棱锥的体积【答案解析】A 解析：因为截面 BOC 与直径 AD 垂直，而 BO=CO= 2，所以三角形BOC 为等腰直角三角形，其面积为 1214，而 AD= ，所以三棱锥的体积为 134，选 ABCDA【思路点拨】求棱锥的体积若直接利用所给的底面求体积不方便时，可通过换底面法或补形法或分割法求体积，本题采取分割法求体积即把一个棱锥分割成两个棱锥的体积的和.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 侧侧侧311【知识点】几何体的三视图的应用、球
12、的表面积Leizi【答案解析】 解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面 SAC 与底面垂直，高163SO 为 ，如图：其中 OA=OB=OC=1，SO平面 ABC，其外接球的球心在 SO 上，设球心为 M，OM=x，则，得 x= ，外接球的半径 R= ，几何体的外接球的表面积213x323S=4 = .46【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题.已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C
13、为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 OABC的体积最大，设球 的半径为 R，此时 231163OBCVR，故 R，则球 O的表面积为 241S，故选 CLeiziBOAC已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为 的正三角形，SCOABC1为球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ ）O2()A26()B36()23()D2【答案】ALeizi直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若, ，则此球的表面积等于 。 解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为 . 一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.Leizi
