1、1海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1函数 的定义域为()21xfA0， ） B1， ） C（ ，0 D（ ，12某程序的框图如图所示，若输入的zi（其中i 为虚数单位），则输出的 S 值为A1 B1 Ci Di3若x，y 满足 ，则 的最大值为204xy12zxyA B3 52C D474某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为
2、A B332C D265已知数列 的前n 项和为Sn，则“ 为常数列”是ana“ ”的*,nNA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6在极坐标系中，圆C1 : 与圆C 2: 相交于 A，B两点，则ABcossinA1 B C D 2237已知函数 是偶函数，则下列结论可能成立的是sin(),0()coxafb2A B,4ab2,36abC D3658某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A甲只能承担第四项工作 B乙不能承担第二项工作C
3、丙可以不承担第三项工作 D丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分9已知向量 ，若 ，则t _(1,),9)atbab10在等比数列 中，a 22，且 ，则 的值为_n135413a11在三个数 中，最小的数是_123,.log12已知双曲线C： 的一条渐近线l 的倾斜角为 ，且C 的一个焦点到l 的距离2xyab3为 ，则C 的方程为_ 313如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个（）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_种；（）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_种14已知函数 ，对于实数t ，若存在a0，b 0
4、 ，满足： ，使得()fx ,xtab32，则记ab的最大值为 H（ t ）|()|fxt（）当 2x时，H （0） _()f（）当 且t 时，函数H（t）的值域为_1,三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（本小题满分13 分）如图，在ABC 中，点D在边 AB上，且 记ACD ，BCD 13ADB（）求证： ；sin3ACB（）若 ，求BC 的长,196216（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔
5、医学奖目前，国内青蒿人工种植发展迅速某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 ， ，根据样本数据，21s试估计 与 的大小关系（只需写出结论）；21s（）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为 ，求随机变量 的分布列和数学期望417（本小题满分14 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边
6、形ABCD为正方形，点M ，N分别为线段PB，PC 上的点，MNPB（）求证： BC平面PAB ；（）求证：当点M 不与点 P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（）当PAAB 2，二面角C AN D的大小为 时，求PN 的长318（本小题满分13 分）已知函数f (x) ln x 1 ， 1()lnxg（）求函数 f (x)的最小值；（）求函数g(x)的单调区间；（）求证：直线 yx 不是曲线 y g( x)的切线。19（本小题满分14 分）已知椭圆C ： 的离心率为 ，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，21(0)ab32且AB2（）求椭圆C 的方程；（）设点P
7、是椭圆C上的一个动点，且点 P在 y轴的右侧直线PA，PB与直线x 4分别交于M ， N 两点若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ， F ，求点P 横坐标的取值范围及EF的最大值20（本小题满分13 分）给定正整数n(n3) ，集合 若存在集合A ，B，C，同时满足下1,2nU列条件： U n AB C，且AB BC A C ；集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；集合A ， B ，C 中各元素之和分别记为SA ， SB ，SC ，有SA SB SC ；则称集合 Un为可分集合（）已知U8为可分集合，写出相应的
8、一组满足条件的集合A ， B ，C ；（）证明：若n 是3 的倍数，则Un不是可分集合；（）若Un为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）5DA BC海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2016.4 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A D C A C B C B二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空
9、 2 分，共 30 分）三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)15解：（） 在 中，由正弦定理,有 2 分ACDsinsiACD在 中，由正弦定理,有 BiinB4 分因为 ,所以 BC6 分因为 , 所以 13 si37 分（）因为 ， ,62由（）得 9 分sin3ACB9 3 10 5 11. 121221yx13 4,614 ,6,)3,46设 ,由余弦定理,2,30ACkB11 分2cosACB代入,得到 , 21943kk解得 ,所以 . 13 分B16 解: (I)由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数2 分3.6.364x则山下试验田 株青蒿的青蒿素产
10、量 估算为10Sg 3 分40S（）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差 和 ，结果为 .21s21s6 分（）依题意，随机变量 可以取 ， 7 分7.248.69.4，, 1(7.2)4P1(.)P, (8)(8.2), 9 分1(.6)P1(9.4)P随机变量 的分布列为11 分随机变量 的期望 .111()7.2.4+8.2+8.69.4=8E13 分17 解: （）证明：在正方形 中， , 1 分ABCDB因为 平面 ， 平面 ， 所以 . 2 分PAPABC7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4p7因为 ，且 ， 平面 ，ABPABPAB所以 平面 4 分C（）证明：因为 平面
11、 ， 平面 , P所以 5 分BP在 中， ， ，BMN所以 . 6 分MNC,在正方形 中， , 所以 ， 7 分ADAD所以 可以确定一个平面，记为 ， 所以 四个点在同一个平面 内 8 分,N（）因为 平面 ， 平面 ，PABCD,ABCD所以 , . 又 ,如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 , B,P,xyzAxyz9 分所以 .(2,0)(,)(2,0)(,2)CDB设平面 的一个法向量为 ，AN,nxyz平面 的一个法向量为 ,()mabc设 , ，PC0,1因为 ，所以 ，(2)(2,)AN又 ，所以 ，即 ，10 分 (0,)AD0nD2()0xyz取 ,
12、得到 , 11 分1z1()n因为 ，(0,2)AP(20)C所以 ，即 ， mcab z yxNMDCBAP8取 得, 到 , 12 分1a(1,0)m因为二面 大小为 , 所以 , CAND31|cos,|cos32mn所以 21|cos,|()mn解得 , 所以 14 分123PN18 解: （）函数 的定义域为 ， 1 分()fx(0,)2 分21()fx当 变化时， ， 的变化情况如下表：()fxf0,1(1,)()fx极小值4 分函数 在 上的极小值为 ， ()f,)01()ln0fa所以 的最小值为 5 分x（）解：函数 的定义域为 ， 6 分()g(0,1)7 分2221lnl
13、n() lnxxfxg由（）得， ，所以8 分()0f()0g所以 的单调增区间是 ，无单调减区间 . 9 分()x,1（）证明：假设直线 是曲线 的切线. 10 分yx()设切点为 ，则 ，即 11 分0(,)x0()1g021lnx9又 ，则 . 12 分001,lnxy01lnx所以 , 得 ，与 矛盾 00lx0()g0()1gx所以假设不成立，直线 不是曲线 的切线 13 分yx19 解：（）由题意可得， ， 1 分1b， 2 分32cea得 ， 3 分214解 ， 4 分a椭圆 的标准方程为 . 5 分C214xy（）设 ， ， ， 00(,)P(,)A(0,1)B所以 ，直线 的
14、方程为 ， 6 分01Aykx0yx同理：直线 的方程为 ， PB01yx直线 与直线 的交点为 ， 7 分A4x04(),1M直线 与直线 的交点为 ，PB0(),yNx线段 的中点 ， 8 分 MN04(,)yx所以圆的方程为 ， 9 分222004()()(1)x令 ，则 ， 10 分0y220016(4)()4yx10因为 ，所以 ， 11 分2014xy2014yx所以 ，208()5因为这个圆与 轴相交,该方程有两个不同的实数解，x所以 ，解得 . 12 分08508(,25设交点坐标 ，则 （ ）12(,),x1208|5xx02所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为 2. 14 分
15、方法二：（）设 ， ， ，00(,)2)Pxy(,1)A(0,)B所以 ，直线 的方程为 ， 6 分01PAyk0yx同理：直线 的方程为 ，B01yx直线 与直线 的交点为 ， 7 分PA4x04(),1M直线 与直线 的交点为 ，B0(),yNx若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交，则 ， 9 分04(1)yx04(1)y即20006()()(),x即 10 分2001()81.yx因为 ，所以 , 11 分 2042014yx11代入得到 ，解得 . 12 分085x08(,25x该圆的直径为 ，00 04(1)41)8|+(|=|yyx圆心到 x 轴的距离为 ，00 0)()4| |2
16、yx该圆在 x 轴上截得的弦长为 ；2200048(1)()5,(2)xx所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为 2. 14 分 方法三：（）设 ， ， ， 00(,)2)Pxy(,1)A(0,)B所以 ，直线 的方程为 ， 6 分01Ak0yx同理：直线 的方程为 ，PB01yx直线 与直线 的交点为 ， 7 分A4x04(),1M直线 与直线 的交点为 ，PB0(),yNx所以 ， 8 分0004(1)4(1)8|=|+|=2|yMNx圆心到 x 轴的距离为 ， 9 分0 00()()4| 1|2yyxx若该圆与 轴相交，则 ， 10 分04|1|x|即 ，22004(1)()yx12因为 ，
17、所以 , 11 分2014xy2014yx所以 ，解得 12 分085x08(,5该圆在 x 轴上截得的弦长为 ；2200048(1)()52=yxx所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为 2. 14 分方法四： 记 (20)D， , (4)H， ，设 0(,) (4,) (,)PxyMmNn由已知可得 1AB，所以 P的直线方程为 01yx， .6 分B的直线方程为 0，令 4x，分别可得 04(1)ymx，0()n， .8 分所以04(1),yMx04(1)yNx，若以 N为直径的圆与 轴相交于 ,EF，因为 EH， 所以 2HM， .9 分2004(1)4(1)yyMxx 2200168()
18、.10 分因为 204xy，所以2014yx, .11 分13代入得到 2EH2085x所以 0(,x， .12 分所以 08252EFx所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为 2. 14 分x方法五：设直线 OP与 4交于点 T 因为 /MNy 轴，所以有,APOBPONMT所以ABT，所以 T，所以 是 N的中点. .6 分又设 00(,)2)Pxy, 所以直线 OP方程为0yx, .7 分令 4,得 0, 所以04()yTx，.8 分 而 01rTNx.9 分若以 M为直径的圆与 x轴相交于 ,EF则004|1ydrx.10 分所以22016()因为 204xy，所以0214yx,代入得到
19、.11 分所以2058，所以 085或 0因为点 0x，所以2x.12 分 14而222004(1)()yEFrdx085所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为 2. 14 分x20 解：（I）依照题意，可以取 5,7A， 4,8B， 1,236C 3 分（II）假设存在 n是 的倍数且 是可分集合.3nU设 k，则依照题意 ,6k，故 CS26，而这 n个数的和为 (1)n，故21()3CnkS23k, 矛盾，所以 是 3 的倍数时， 一定不是可分集合 7 分nU() 35. 8 分因为所有元素和为 (1)2，又 BS中元素是偶数，所以 (1)32BnS=6m( 为正整数)所以 ()nm，因为
20、为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数,n由（）知道， 不是 3 的倍数，所以一定有 是 的倍数. 3当 为奇数时， 为偶数，而 (1)2m，1所以一定有 既是 的倍数，又是 的倍数，所以 ,n412nk所以 . 10 分*2,kN定义集合 ，即集合 由集合 中所有不是 3 的倍数的奇数组成，157DDnU定义集合 ，即集合 由集合 中所有不是 3 的倍数的偶数组成，,480,.EE根据集合 的性质知道，集合 ，ABC,AB此时集合 中的元素之和都是 ，而 ，, 24k 21()4CnSk此时 中所有 的倍数的和为 ，nU3 2(31)(46k,224()kk224)k显然必须从集合 中各取出一些元素，这些元素的和都是 ，,DE15所以从集合 中必须取偶数个元素放到集合 中，所以 ,1,57,.D C26k所以 ，此时3kn而令集合 ，,9235,1A集合 ，810468,4B集合 ，3,7035,2C检验可知，此时 是可分集合, 所以 的最小值为 . 13 分5Un
