二元函数的极值及其应用.doc

1、郑州航空工业管理学院毕 业 论 文（设 计）2015 届 数学与应用数学 专业 1111061 班级题 目 二元函数的极值及其应用 姓 名 XXX 学号 XXXXXXX 指导教师 XXX 职称 XXX 二 一 五 年 四 月 三十 日内 容 摘 要二元函数理论是其他学科的基础，其中极值是函数中的重要内容，对极值也有很多研究方法，并且函数极值的理论有很多在生活中都有实际意义。无论是在科学研究，还是在物流，实际规划工程，通常要解决如何使投资量输出最大，产出最多，最高效率优化。这些实际问题都可以转化为一个数学问题来研究，进而转化为函数的极大值、极小值问题的解决。在本文中，首先给出的是二元函数的研究背

2、景及现实意义，之后给出二元函数的非条件极值理论，二元函数条件极值理论，二元函数极值的判定，以及二元函数极值的理论应用举例。通过实例中的极值问题，说明所利用知识在求解二元函数极值问题中的重要应用。关 键 词二元函数 ；无条件极值 ；条件极值 ；判定； 应用the Extreme Value of Binary Function and Its ApplicationXXXXXX By:XXXX Tutor: XXXXXAbstractDual function theory is the foundation of other disciplines, including extreme val

3、ue is an important content in function, the extreme value also has a lot of research methods, and the function extreme value theory has a lot in life has practical significance. Both in scientific research, and in the logistics, the actual planning engineering, often need to solve how to make the in

4、vestment to maximum output, output the most, the highest efficiency optimization.The actual problem can be transformed into a math problem research capabilities, And then into the function of the maximum and minimum value problem to solve. Is first of all, the paper proposes the research background

5、and practical significance of binary function, then give the unconditional extreme value of binary function theory, the conditions of binary function extreme value theory, extreme value of binary function determination, as well as the extreme value of binary function theory application, for example.

6、 Illustrated by an example of extreme value problem, using the knowledge in solving the important application of binary function extremum problems. Key wordsDual function； unconditional extremum； conditional extreme value,；judgement； application 目 录第一章 引言 .1第二章 二元函数无条件极值理论 .22.1 二元函数无条件极值的定义 22.2 二元

7、函数无条件极值存在的必要条件.22.3 二元函数无条件极值存在的充分条件.32.4 二元函数极值的求解方法.4第三章 二元函数条件极值理论63.1 二元函数条件极值的定义.63.2 二元函数条件极值的求解方法.6第 4章 二元函数极值的判定.134.1 一阶偏导数判定极值134.2 二元函数条件极值的简单判别法144.3 极值判定的改进17第 5章 二元函数极值的理论应用举例 195.1 二元函数极值的理论应用195.2 极值的实际应用21总 结24致 谢25参考文献260第一章 引言极值是函数的一个重要特征，而且在解决实际问题中是非常有现实意义的。为了获得生活或经济中的最佳方案，也常常通过用

8、函数极值来解决我们需要解决的问题。函数极值在数学研究中占重要地位，而且应用性非常广泛。无论是在科学研究，还是实际工程，经济管理中，都存在最优化问题，将这些经济和生活问题转化为函数问题具有现实意义。为了使我们所学到的函数极值理论更好的应用在实际生活中，就需要我们更加系统的总结有关函数极值理论知识。通过这些问题的解决，函数极值会为我们的生活提供最合理的解决方案，所以极值理论在我们的现实生活中是不可或缺的，也是很具有现实意义的。函数是很多学科的基础，也有很多人对函数极值进行了更深层次的探究，并且学术性论文中都发表了不少独到见解关于函数极值问题，并不断地对其存在的缺陷进行改进，同时在后来的时间里对此问

9、题进行了更透彻的分析和补充。通过本文，我们将更透彻的全面的了解二元函数极值的理论与实际意义。1第二章 二元函数的无条件极值理论2.1 二元函数无条件极值的定义定义一，设函数 在 的某个邻域 内有定义，若该邻f0(,)Pxy0()UP域内的任一点 ，成立不等式 （或 ），(,)xyUff0()ffP则称函数 在 点处取得极小值（或极大值），称点 为函数f0 0,xy的极小值点（或极大值点）。极大值和极小值统称为极值，极大值f点和极小值点统称为极值点。例 2.1.1求 的极值点与极值。32()5)fxx解： 在 上连续，且当 时，有32f ,0x。21 3300xfx当 时知， 是稳定点， 是不可

10、导点。判定是否为极值0fx1点，由下表分析： x,00,11,y不存在 0单调增 单调减 3单调增点 为 的极大值点，极大值为 ； 为 的极小值点，极0xf 0f1xf小值为 。132.2 二元函数无条件极值存在的必要条件定理 1 如果函数 在 点存在偏导数，且在(,)zfxy0(,)Py处取得极值，则在该点处的偏导数必为零，即 且0(,)pxy 0(,)xfy。f定理 1说明，如果二元函数的两个偏导数存在，则可导函数的极2值点必定是它的驻点，然而其逆命题不成立，即：函数的驻点不一定是极值点。例如函数 ， 是它的驻点，但在 点的某邻域内，直线zxy(0,)(0,)上的点有yx2(,)(,)fx

11、f然而 上的点有yx2(,)(0,)fxf所以 点并不是以上函数的极值点。(0,)2.3 二元函数无条件极值存在的充分条件定理 2 设函数 的所有的二阶偏导数都在点 附近连(,)zfxy 0(,)xy续，且有 ， ，记 0(,)xfy0y, ,()xAf0()xyBf0(,)yCfx那么（1）当 时， 在 处取得极值，同时当 时20C(,)fxy0(,) 0A取极小值， 时取得极大值。A（2）当 时， 在 没有极值。2B(,)fxy0(,)（3）当 时， 可能有极值，也可能不存在极值，0C因此需要重新讨论。例 2.3.1求函数 的极值。32, 9fxyxy解：解方程组 2(,)360xyfxy

12、求得驻点为 、 、 、 。(1,0),2(,0)(,)3并且二阶偏导数， ， 。(,)6xfy(,)0xyf(,)6yfxy在点 处， ，又 ，所以函数在 处有极10216ACBA(1,0)小值 ；,5f在点 处， ，所以 不是极值；22()01,2f在点 处， ，所以 不是极值；(3,0)16ACB30在点 处， ，又 ，所以函数在2()A处有极大值 。(,2),3f2.4 二元函数极值的求解方法（1）首先求偏导数 ，(,)0xfy， ， ， ；(,)0yfx(,)xAf,B(,)yCfx（2）其次求解方程组 ，求出驻点；(),0xyf（3）求出不可导点；（4）分别求出在驻点和不可导点处 的

13、值，然后判断,ABC的符号，以及 的符号，据此判断极值点的存在；2ACBA（5）根据定理 2的结论可以知道 是否能取极值，是取极小0(,)fxy值还是取极大值。例 2.4.1求二元函数 的极值。42(,)4fxyxy解：解方程组 解得驻点30yf。3122,0xxy判定驻点是否为极值点： ， ，24xAf 4xyBf4。214yCf在点 处， ，且 ，无法判断是否为(0,),4ABC20AB极值点。但是由于在直线 上， 在 取极小值；而在yx4(,)fyx直线 上， 在 取极大值，所以点 不是函yx42(,)8f 0(,)数 的极值点。(,)f在点 处，由于 ，故得2,) 22,4,3840A

14、BCAB出 是 的极小值。(,8f(,)fxy在点 处，由于 ，故得) 20,0,出 是 的极小值。(2,f(,)fxy5第三章 二元函数条件极值理论3.1二元函数条件极值的定义以上我们所定义的无条件极值，除了其极值点的搜索范围目标函数的定义域外，没有其他条件的限制。但是，在实际生活问题中，我们还会碰到另一类极值问题，它会受到一些约束条件的限制，因此条件极值就是求解带有约束条件的极值问题。例如，要设计一个容量 的矩形孔水箱，那么当水箱的长、宽、V高各等于多少时，其表面积最小？设水箱的长度为 、宽度为 、高度分别为 ，因此表面积为xyz.,2()Szxy根据题意知，上述表面积函数的自变量不仅要符

15、合定义域的要求，而且还需要满足条件.xyzV所需要解决的这种带有约束条件的极值，就是条件极值。3.2 二元函数条件极值的求解方法1.代入消元法“代入消元法”是二元函数的一种常用方法。实际是通过消元法将条件极值转化为无条件极值。方法如下：由约束方程 解得(,)0xy或 ，之后代入二元函数 ，转化为一元函数1()xy()x(,)zfxy或zfzf6例 3.2.1求函数 在圆周上 上的最大值和最2(,)fxy21xy小值。解：将 代入函数 可得： 。在221yx2(,)fxy2fx上，比较函数在驻点 以及区间端点 的函数值，1x01,x可知函数在 处取得最大值，在 处取得最小值。01x2.拉格朗日乘

16、法求 在约束条件下 下的极值的拉格朗日乘数法：(,)zfxy(,)0xy（1） 构造拉格朗日函数： ，其中 为待定系,(,)Lfxy数，称为拉格朗日乘数，把条件极值问题转化为三元函数的无条件极值问题。(,)Fxy（2） 由极值存在的必要条件，令 0(,)xxyyLf解此联立方程组，得出可能的极值点 。,x（3） 由实际问题来确定这样的点 是否是极值点，然后计算出要(,)y求的极值。 由于拉格朗日乘数法，引入了新的函数 ，增加了变量 ，从而使问题简化，解题变得更加简单。 同样例 1也可以用此方法来解答。解法如下：首先写出拉格朗日函数 22(,)(1)Lxyyxy。令 。有：20,420LLxy7

17、20,41.xy解得可能的极值点 ，即(0,),或 ，并且 ，通过比较知， 在圆周01xy,12,(0)1fff上的最大值是 最小值是 。2(0,),f(,)f3.拉格朗日乘法与一元函数判定的综合应用法此方法综合了两种求条件极值的方法，使得求二元函数条件极值的应用更加广泛。具体步骤如下：（1） 构造拉格朗日函数： (,)(,)(,)Lxyfxy（2） 由极值存在的必要条件，令 解此联立方程组，得0(,)xyyf到几组解 ，并且12(,)(,).,nxyx都是 在约束条件下 下的12(,).n()zfy(,)0xy驻点。由 得出0xxyyLf 0xxxyyyff由 得(,) xxyxy（3） 于

18、是 而 。,(,)0xyxff(,)(,)xyxFff因此 都是 在约束条件下12().,nz下的驻点，即： ，,0xy(,)(,)0i ix xyxiyiyff 。(,.)in（4） 判别 是否是极值点，设 有连续的一阶，(1,2.)ixy(,)zfxy8二阶偏导数， 对 的一阶，二阶导数存在。yx()xxyyxzfff22()xyyxyxfff由一元函数极值的第二判别法知：当 时， 在约束条件下 下有极大值，0ixyz(,)zfxy(,)0xy且极大值为 。ixyi当 时， 在约束条件下 下有极小值，ixyz(,)zfy(,)xy且极小值为 。ixyi例 3.2.2已知当 ，求 的极值。2

19、4(,)2zfxy解：构造拉格朗日函数： 2(4)Ly解方程组，20(,)4xxyyfL消去 得到几组驻点有， ， ， 。2xyxy2xy2xy ，且根据,0,0xxxfffff， 。0xyxxy31xy将此代入 可得()xxyxxyxzfff22()xyyxyxfff。21()xz因此，在 或 处取得极小值，并且极小值为 ；在2xy2y 49或 处取得极大值，为 。2xy2xy44.换元法换元法也是二元函数求条件极值的一种常用方法。对于约束条件是圆，椭圆等圆锥曲线的约束条件，可用此方法来求解条件极值问题。即引入第三变量 ，将 转化为此变量 ，代入原二元函数，使其转t,xyt化为一元函数，然后

20、进行求解。例 3.2.3已知实数 满足 ，求函数,xy214y的最大值。22(,)4fxy解：设 ，通过换元法将 代入函数 得到关于cos,inxtyt,xy(,)fxy的函数t 22()cs4osinicosinftttttt，2)(c)由于 cosin2si(4tt所以 = 因此二元函数 的最大值为 。()f2(,)fxy425.判别式法判别式法也是用来求解二元函数条件极值的一种方法，即利用一元二次方程的判别式 ，讨论二元函数 的变化范围，从而求24bacf出最大值与最小值。例 3.2.4设 ，且满足 ，求 的最大值与,xyR2460xyyx最小值。10解：令 ，则 ，代入约束方程可得：y

21、Zxyx2()460Zx又由于 ，则有R，解得 。222416()4(1)0bacZ2Z由此解出 ，则 的最大值为 ，最小值为 。yx1126.利用不等式求条件极值不等式包括重要的不等式，柯西不等式，三角函数的有界性，这些不等式在函数的极值问题中起着重要作用。例 3.2.5设四边形的四边长一定，分别为 ，问何时面积最,abcd大。解：设四边形的一组对角为 ，面积为 ，则四边形的面积为,s，且 ，1sinsi2adbc22cocosadb从而，221(,)sisin(cscs)2Fca解方程组 221cossin0cscosFadbb解得 所以当四边形接近圆时面积最大。当 时，有基本不等式 或

22、成立。利0,xy2xy2xy用它可以证明：11（1） 若两正数 的和一定，则当 时，则积 取最大值 ；,xyxyxy2()4xy（2） 若两正数 的积一定，则当 时，则 取最小值 。, 例 3.2.6当 时，求 满足 的最小值。0xyxy22loglxy解：因为 222logllog所以 4xy根据不等式 ，因此 得最小值为 4。4xyxy例 3.2.7 当 时，满足 ，求 得最大值，0,221Zxy并求达到最大值的 。xy解：由于 ，且 为整数，利用基本不221()Zy2,1xy等式，求 满足约束条件 的条件极值。xy，因此满足约束条件222()31()xyZ的最大值为 。2xy3由于取最大

23、值时有 ，则可得出方程组221xy221xy解得 。62xy综上：当 时， 取得最大值为 。62xy21ZxyA3212第四章 二元函数极值的新判别方法我们在判定二元函数极值时，通常所用的方法是求二阶偏导数。但是利用此方法，计算较复杂，在某些条件的运用失效等。那么此方法中所存在的不足，就需要我们去探讨新的方法去改进，弥补不足之处，从而使二元函数极值的判定更方便，简捷，有效。4.1一阶偏导数判定极值利用一阶偏导数可以弥补我们通用方法的两方面的不足，一是不用计算二阶偏导数；二是当 不能判定极值是否存在时，此2ACB方法依然适用，解决极值的判定。具体方法如下：设二元函数 在点 处的 邻域内有连续偏导

24、数，且(,)zfxy0P是邻域内一点，此邻域为 ，则(,)xy 2200(,)(,)()Uxyy有引入函数 ，有000()(),1tfxtytt，(1)fxfxy且在闭区间 上连续，在开区间 内可导，应用拉格朗日中值定,1,理可得，存在一点 且 ，使等式 成立，即为(01)()0113等式： ，00101,()(,)xyfxyffyfx其中 ， 。100()x1()y又由于有 ，因此有如下：，22222210100000xyxyxy即 属于 邻域。又由于 ， ，则代,y1()x1()y入下式 可得到：00101,)xyfxfyfyfx，11,(,xyffxff若对任意 属于 邻域有 ，则有,y

25、00()(,),xyfyfx，即可得 ，由 的任意性可得0(,)fxf0,f在 处取得严格极大值；同理可得当,y,y00()(,)(,xyfyfx时，有 ，即可得 ，由 的任意性0(,),fxyf0,xy可得 在 处取得严格极小值。例 4.1.1设 ，求此函数的极值。2fxy解：解方程组 ，得到驻点 ，则通过以上方法0yf(,)0,xy可得到：对于任意 有 ，由以上(,),x2,0xyffy解法结论可以知道 ，因此 在 处取得严格极0fyf(),f小值。通过此例题我们可以看出，用此方法判定极值避免了计算三个二阶偏导数，而且在 无效时，我们也很轻松地判定了在驻点2ACB处的极值问题。144.2二

26、元函数条件极值的简单判别法对于二元函数求条件极值，如果我们能根据约束函数求解出隐函数 ，在将隐函数代入二元函数，便可将二元函数转化为一元函数()gx求极值。但是在解决隐函数时不一定用解析式能表达出来，这样求解起极值就变得麻烦起来，因此我们给出以下更简便的方法来判定条件极值。设二元函数 具备以下条件：(,),fxy（1）函数 的一个稳定点的坐标为 ；(,)fxy0,xy（2）所有二阶偏导数在点 的某邻域连续；0(,)Pxy（3） 。0(,)yx设 ， ， ，令 是 在点xAf(,)xyBf(,)yCfx()gx,)0y某邻域确定的隐函数，则设 ，P 2“002(yGABfgx其中有 、 。00(

27、)(,)xyg“0 03() (,)xyxyxg当 时，二元函数 在条件 下在点 取极小G,f(,)00,Py值。当 时，二元函数 在条件 下在点 取极大0(,)fxy(,)xy0(,)xy值。证明：由（2）知所有二阶偏导数在点 的某邻域连续，已0(,)Pxy知稳定点，那么在稳定点处有，0xxyyf15又知道 ，根据隐函数存在定理，方程 在点0(,)yx(,)0xy的邻域内唯一确定一个具有连续导数的隐函数 ，使得0(,)Px g并且 ， 。yg(,)xg0(,)()xgUP因 在点 的邻域内有连续二阶偏导数，因此有,)y0,Py、 ，()xyg22“ 3(xxyyxg令 ，则有 在 有二阶连续

28、偏导数，则,)Ff()F0)U，又因 ，可知 是 0000(),(,xyffxg 0(,)xyg0,xy的稳定点的坐标，据此也容易知道(,)(,)(,)yf， 0000(,)(,)xyFffxg所以 ，即 是 的稳定点。因0()Fx，由于“ 2“000000,2(,),xyxyyffgfxfgx， ， 在点 处分别求出 ， ，(,)xAy,xyB(,)yC(,)PAB，的值，则有 ，因此根C“ 2“00000() ()yFABxfxG据上有结论知，当 时， ，由于一元函数在充分条件下可G“()判定 在 处取极小值，则二元函数 在条件 下在()x0(,)fxy(,)xy点 取极小值；同理当 时，

29、 ，由于一元函数在充分0,Py0“0F条件下可判定 在 处取极小大值，则二元函数 在条件()Fx0 (,)fxy下在点 取极大值。(,)xy,Py例 4.2.2设函数 在约束条件 下的极值。2fx10xy解：设 ， 。2(,)(,)()xyy(,)10xy16由方程组 201xy解得 ，由于 ，因此 在 的邻域内12xy0(,)yx0xy(,)xy存在隐函数，即为 ，则在点 处有：()gx(,)xy， ，()1xyg22“ 30yyxy且,xxyf， ，(,)2xAf(,)0xyBf(,)2yCfx则根据以上方法有 ，因此， 2“,10yGgfg二元函数 在条件 下在点 取极小值，且极小值为(

30、,)fxy(,)xy0()Px。1,2f4.3极值判定的改进通常我们在用 判定极值时，其中两个混合偏导数是相2ACB等的，而我们对此方法的改进就是不再要求两个混合偏导数相等，能在更弱的条件下进行使用。设函数 在点 的邻域内一阶偏导可微， ，,fxy0(,)Pxy (,)xAfy， ，则(,)()2xyyxfB,yCf（1） 时没有极值点；20AB（2） 时，有极值点，若 或 ，在极值点处取0AC极大值；若 或 时，在极值点处取极小值；C17（3） ，还要进一步讨论是否存在极值。20ACB证明 在某圆形领域内，对于自变量给予改变量 ，且不全为0P ,零。函数 ，有如下结论， 在点 处00(),)

31、,(1,)tfxtytfxy0P是极大值或极小值点的充要条件为对于任意一组不全为零的改变量，一元函数 在 处取得极大或极小值。并00(),),(,)tfxtyt0t且： ， 00(,)x yftfxt从而有： ，再求二阶偏导得： 0(),)xyf“ 2 20 000000)(,(,)(,)x x xy xytftytfttfttftt 因此， 。“2()ABC根据二次型理论知：（1） 当 时，二次型 正20 22ABABCC定或者负定。当 时正定， ，则此“22(0)0时 在 处取得极小值。同理，当00(),),(1,tfxtytt时取得极大值。A（2） 当 时，二次型 不20CB 22ABA

32、BCC定号，因此在 的邻域内，既有使得 ，0P“22(0)0也有 的，因此在此点处不是极值点。“22()0AC（3） 当 时，发生的可能性很多，没有定论。CB18第五章 二元函数极值的应用二元函数极值无论在科学研究，还是实际工作生活中都有重要的应用；并且数学研究中的重要内容之一就是函数极值问题，且其应用广泛，研究方法也很多。因此，在学科研究中，几何极值的应用，极值在最小二乘法中的典型应用，都说明了极值的重要性；在实际工程，运筹规划，经济管理中，解决投入量，效益等最优化问题，都是运用极值来解决的。在本章中我们将通过一系列例题来更加清楚地了解它的应用。5.1二元函数极值的理论应用（1） 几何应用例

33、 5.1.1有曲线段 ，在此曲线段上求出一个使法21(,0)xyab线与原点距离最大的点。解：曲线上点 的法向量为 ，切向量为(,)xy2,Nbxay19；原点到法线的距离 。2,Taybx242()abxyrTdA于是解决极值问题 ，使 。将问题转化42maxyb21(,0)xab为 ，使 。令42in()abxy22,(0)，则由 ，4222()Lxay4230xaLbx解出 。由此得所求点为 ，现4230xbay32b 33,ab将此点带入 中求出最大距离为 。242()axyrTdbA 3d（2） 极值在最小二乘法中的应用在大学教材中，最小二乘法通常适用于二元函数极值为例，在求解最小二

34、乘法时，有总偏差最小，并且 取得最小21(,)()niiiSabyaxb值，由二元函数取极值的必要条件可以得出：，整理关于 得到方程组得12()0naiiibiiiSxby,ab由此可知运用二元函数求极值的必要条件，便可1010211iiii iaxxyb进行求解。下面我们运用例题来分析：例 5.1.2某企业的业务收入与广告费支出具有相关关系，该企业1998-2008年的业务收入和广告费支出的资料如下表所示：（万元）年份 98 99 2000 01 02 03 04 05 06 0720广告支出 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27业务收入 7 12 17 20 23 26 2

35、9 32 35 40利用表中数据，建立业务收入 依赖于广告费 的经验公式。yx解：通过建立坐标系，将数据在坐标系中标出，观察可知成散点图，图形成直线趋势，以此可建立线性方程的经验公式。设业务收入 依赖于广告费用 的经验公式为 ， 待定。yxyaxb,为此计算标准方程组，即，1010211iiii iaxbxy其中的有关系数如下表，i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ix4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 157iy7 12 17 20 23 26 29 32 35 40 2412ix16 49 91 144 196 289 400 484 625 729 3013iy

36、28 84 153 240 322 442 580 704 875 1080 4508将表中数据代入方程组 得 ，解1010211iiii iaxbxy301574082ab此方程组得 ，得到线性关系为 。1.3247,.3528ab 1,3.5ya5.2极值的实际应用（1）在我们的生活中，常常会碰到要买两种商品，但是由于钱数固定，又要想买到令人满意的组合，这就涉及到了要如何分配定量的钱的问题，也就是为使分配方案达到最佳，从而求最值的问题。21例 5.2.1设小孙有 200元钱，他决定来购买两种商品：电脑磁盘还有磁带，他要买电脑磁盘 张，买磁带 盒，现在我们设效用函数xy为 。现定价每张电脑磁

37、盘 8元，每盒磁带 10元，为了(,)lnUxyy达到最满意的效果，问他应该如何支配这 200元钱？解：这是一个求附有约束条件的极值问题，求最佳方案，即求在附有约束条件 下的极值点问题。(,)lnUxyy8102xy现在我们根据拉格朗日乘数法，定义拉格朗日函数为：，(,)ln(0)Lxyyxy所以 18012xyL解得 由于原问题显然存在最大值，且驻点惟一，故0012.5,xy为最大值点。根据 的实际意义，取 如果买(.,)(,)xy0012.5,xy12张电脑磁盘和 10盒磁带的话，会使小孙达到最满意的效果。（2）在投资生产中，目的就是为了获得最大投资利润，在此给出例题分析极值在获得最大利润

38、及最大产量中的应用。并且对于二元经济函数的优化问题，要分清是无条件极值问题还是条件极值问题。若是条件极值问题，要分清目标函数和约束条件，用拉格朗日乘数法分析处理。例 5.2.2设某工厂要生产甲，乙两种产品，产量为 千只，现yx,有利润函数为 15248,2yxyyxL22假如现在有原料 15000 （不必须用完），生产每千只两种产品kg要消耗原材料 2000 .求：（1）使利润最大时的产量 和最大利润；yx,（2）如果现有总的原料为 12000 ，求最大利润时产品的产量。kg分析（1）中原料 15000 并不要求用完，因此可以先看作无条件极值来进行求解，如果达到最优的产量对应原材料耗费超过 1

39、5000，则可改为在约束条件下 的条件极值问题。kg 15020）（ yx（2）类似的由（1）结果判断最优解对应的原料不足 12000 ，则仍kg为无条件极值，否则为条件极值问题。解（1）由题意，令 ，得2804xyL3又 ，所以 ,因此 既2,0,8xxyyLL 02162 ACB， 3,4是极大值点，也是最大值点。而此时所用原料为，504034所以 即为所求，即甲产品为 4千只，乙产品为 3千只时获得利润3,4最大，且最大利润为 。7,L（2）当原材料为 12000 时，最优解产量所用原材料已超出现kg在所有得总量。故此时应求 在约束条件 下的最大值。yx, 12yx设 令 )6(548)

40、6(, 2 yxyxLF ，084xyF23得 。由实际意义我们可以知道， 为最值点，所以甲乙8.23yx 8.2,3两种产品各生产 3200只和 2800只时利润最大，最大利润为单位。.36.,L总结通过对二元函数的极值及其应用的研究，我们了解到极值在函数中具有很重要的作用，以及其在理论与实际中的广泛应用。通过学习我们也了解到，二元函数的理论也是其他学科的基础，与其他学科有一定的联系。例如，二元函数的极值在几何学中应用，在经济领域的应用等；这使我们深刻的意识到二元函数极值及其应用的重要性。无论是在学科研究还是在实际生活中，其应用都是十分广泛的，并且都具有现实意义。通过我们对求解极值的方法探究

41、，并进一步深入到最大最小值的问题，从而广泛应用推广。这使得我们对二元函数极值的应用会更加得当，并在生活中更加充分的应用。通过本文我们会更深刻的了解到数学在人类的工作生活中是必不可少的应用工具，并且给予了我们很大的帮助。24致谢在这几个月的时间里，在老师耐心的指导和同学的热情帮助下，我完成了这篇论文。论文准备结束，我首先要感谢我的论文指导老师XXX老师，正是由于史老师的耐心帮助和不厌其烦地指导，我才能在这段时间内顺利完成论文的初稿与定稿。同时也要感谢我系的所有老师以及同组的同学，在我写论文期间给予了我很大的帮助，尤其在某些问题的难点研究以及论文构思和排版。由于对数学更深层次研究的水平有限，所以自己所写的论文仍有很多不足与缺陷。但是在准备此论文的过程中，让我对这部分知识得到了更深的理解。在这里我恳请各位老师和同学批评与指正，并再次真诚的感谢我的指导老师以及我系全体老师。