1、 1 高等代数(上)：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。第一章 行列式1.1 定义=|2 31 4|=24-31=5 =2 31 4(2 31 4)这是行列式（或写为|D|） 这是矩阵，注意区别这是三元线性方程组111+122+133=1211+222+233=2311+322+333=3=|111213212223313233| =112233+122331+132132 -1123321221331322311.2 逆序数(1,2, ,)1.3 n 阶
2、行列式的代数和=|111212122212|= (1,2, ,)(-1)(1,2, ,)11221.4 行列式性质1、行列式转置值不变： =2、k 可以乘上某行(列) ： 3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： (+)=()+()4、互换两行( 列)：负号 =-5、两行相同( 成比例)：零值 =03 阶行列式 右下斜线为正左下斜线为负代数和n 阶排列，有 n!个逆序数 偶排列，正号奇排列，负号判断逆序数的奇偶性n 阶排列 2 6、某行乘以 k 加到另一行：值不变 += 3 1.5 代数余子式=(-1)+|=11+22+ (=1, 2, , )即展开第 行 (列 )1.6 范德蒙行列式|=|1
3、 1 1 11 2 3 21 22 23 2 -11 -12 -13 -1|= 1j如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)只有当常数项 b 不全为零时，且 s=n 时才可用克莱姆法则系数行列式 (b 在 1 列)该解法适用于 n 阶n 维基本向量组n 阶行列式 4 2.5 线性相关=11+22+线 性相关 充要 有解 充要 可 线 性表出 充要 系数矩 阵 =增广矩 阵 向量 组 等价： (1,2,)互相 线 性表出 (1,2,)11+22+=0 线性相关 线性无关K 有解，且不全 0 K 只有零解 0 0 0(半)负定矩阵： 全 ()02、其规范形的正惯性指数 =3
4、、有可逆矩阵 C，使二次型 =4、二次型的特征值 注：这和第 1 点是同一个概念05、所有的主子式 | 注： 有的书称为顺序主子式，即从 所构成的行列式值M|0 11正定矩阵：即 所有的主子式|0 M|0负定矩阵：即 所有的奇阶主子式| 且偶阶主子式|0半正定矩阵：即 0半负定矩阵：即 0不定矩阵：即 1,2,如果 是线性无关，那么1,2, 10、在 中，部分向量组线性无关，但添加其余向量后线性相关，称极大线性无关组1,2,11、 都可由部分向量组(线性无关)线性表出，后者称极大线性无关组1,2,12、 中，每个 不能被 (即 前面向量组 )线性表出，线性无关( )1,2, 1,2,1 0且
5、213、向量组中，任一极大线性无关组 原向量组 另一个极大线性无关组等价 等价14、线性无关组，其秩 =15、 可由 线性表出，则秩 相等；1,2, 1,2, ()()向量组等价，则秩 相等；秩 相等且 可由 线性表出，则向量组等价。 1,2,8.3 维数、基、坐标n 维线性空间：V 中有 n 个向量线性无关，但当 n+1 个向量时线性相关无限维线性空间：V 中有任意多个线性无关的向量由 线性表出1,2, 线性组合系数 重述一些符号定义：0、a, b, c,表元素1、k, l, m,表系数2、, , ,表向量3、x, y, x,表未知数4、下标 1, 2, 3,表第几个数5、下标 i, j ,
6、k, ,表任一个数6、下标 s, m ,n,表总个数性质推广：1、 ，其加法不计先后2、 是唯一的3、 由 唯一确定- 4、 则 =5、 或 时，充要 =0 = =6、 (-)=-这个证明需要多做题练习掌握注：此定义雷似极大线性无关组 17 零空间：维数 =0V 是 n 维的条件：V 中任意向量都可由 线性表出1,2,=11+22+V 的任意向量坐标为书写简便，定义符号：（自创, 考试勿用）表示 ， 表示 1 2 1 2 基附加说明：对于这种常见的线性表出，已出现多次，它们的性质意义是一样的，只是叫法不同，应该提升到一个规律性的认识。= = V 中任意向量 基 坐标 另组基 另组坐标矩 阵 表
7、示 换 个字母 18 8.4 基变换与坐标变换基变换存在如下关系： 1=111+212+1 2=121+222+2 =11+22+ 矩 阵 表示 1 2 3= 1 2 3111212122212坐标变换存在如下关系：性质总结：1、 ，则 = = -12、 且 ，则 = = = 3、 且 ，由 ，得 = = = 1 = 1第九章 线性变换9.1 定义与性质推广：恒等变换 数乘变换，记作()= 零变换()=二维坐标变换()=求导数变换()=()矩阵变换()=9.2 运算1、 (+)()=()+()2、 (+)(+)=(+)+(+)=(+)+(+)过滤矩阵 另组基基称由基 到另一组基 的过渡矩阵1
8、2 3 1 2 3 = = -1推出 基变换公式简 写 =-1 = 推出 坐标变换公式注意不是 ，不满足交换律另组坐标过渡矩阵坐标详见书 P163-165 例 2详见书 P163-165 例 2(+)=()+()()=()线性变换 加法 向量系数数乘(, , )证明等式左边 右边，=则称等式是一个线性变换当 ,恒等变换 ; ,零变换=1 =0(以原点旋转 度,如图) (,)(,)=+0 19 3、 (+)()=()+()=(+)() 20 9.3 线性变换的矩阵线性变换表示公式，例：(1,2,)=(1,2,) (1,2,3)=(1,22,1+3)1=111+212+12=121+222+1=1
9、1+22+ 矩 阵 表示 12= 1 2 3111212122212简 写 = = 推广 = 1 高等代数的意义：1) 打好基础 增进素质 高等代数的基础理论和方法，不仅是学习代数后继课程的基础，而且也是学习微分方程，计算数学，数学模型，泛函分析，微分几何，微分流形，一般拓扑，概率统计，线性规划等基础数学、计算数学、应用数学、随机数学诸课程的基础因此，理解高等代数的思想，掌握其基础理论和方法，在学习中加强辩证思维、抽象思维和逻辑推理的训练，大家不仅能够打好基础，而且还能增进自身的数学素质，使自己在将来成为一个名符其实的数学工作者2) 联系中数 服务未来 高等代数与中学数学的联系使得它的一些内容
10、对中学数学教学有居高临下的指导作用，中学数学中的某些原型对于克服代数概念抽象、证题难以入手等难点有时也颇有价值，在学习中要注意加强这方面的联系，这对于大部分的同学将来从事中学数学教学工作是十分有益的3) 起飞平台 开拓发展 人人关心数学教育的未来中有这么一句话：“大学数学为许多领域的专业提供坚实的起飞平台 ”在 21 世纪，大学数学不再是纯粹为培养未来数学家而设立的专业，更主要的是为培养各级各类数学教师和高层次人才打基础的掌握大学数学的人，将在计算机、自动控制、系统规划、现代经济管理等诸多领域发挥积极作用，随着知识产业化的进程，高等代数的知识，数学的理论和方法将越来越显示出强大的经济效用和社会
11、效益4) 美化心灵 和谐文明 数学是美的，作为数学各专业基础课的高等代数也是美的，在教学中同学们将感受到简洁、清晰、对称、奇异的代数“画面” ，享受学习进程中的快乐为此，重视标准形等的运用和学习引导，可以加强数学美的效果数学的美是心灵深处的美，它对于培养人们美的情操，开发个人智能，构建现代和谐文明都将发挥积极的作用 总之，学习高等代数有着深刻的基础、应用、素质意义和价值。称 在基 1, 2, 下的矩 阵 线 性 变换 线变 的表示矩 阵 基1 1 11 1 01 0 0= 3 303313 3 3=1 1 11 1 00 0 1 3 3 36626 5 11 2 3 1 2 3 123线性变换 (1,2,3)=(22+3,142,1) 的矩阵表示(同时也是另一组基)基 在基下的矩阵 A(同时也是过渡矩阵)在基下的矩阵 A例：注意转置注：写成 也可以= 这是老师的写法
