1、 1 / 122012 年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷学校 姓名 准考证号 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的1 9的相反数是A B 19C 9D92 首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于 2012 年 6 月 1 日闭幕,本届京交会期间签订的项目成交总金额达 60 110 000 000 美元,将 60 110 000 000 用科学记数法表示应为A 96.01B 960.1C 106.D 10.63 正十边形的每个外角等于A 8B 3C 45D 604 右图是某个几何体的三视图,该几何体是A长方体B正方体C圆柱
2、D三棱柱5 班主任王老师将 6 份奖品分别放在 6 个完全相同的不透明礼盒中,准备将它们奖给小英等 6 位获“爱集体标兵”称号的同学这些奖品中 3 份是学习文具,2 份是科普读物,1 份是科技馆通票小英同学从中随机取一份奖品,恰好取到科普读物的概率是A B 13C 1D 236 如图,直线 A, CD交于点 O,射线 M平分 AO,若 76B,则BOM等于A 38B 104C 142D7 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用电量,如下表所示:用电量(度) 120 140 160 180 200户数 2 3 6 7 2则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是A1
3、80,160 B160 ,180 C160,160 D180,1802 / 128 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步,他从点 A出发,沿箭头所示方向经过点 B跑到点C,共用时 30 秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为 t(单位:秒) ,他与教练的距离为 y(单位:米) ,表示 y与 t的函数关系的图象大致如图 2 所示,则这个固定位置可能是图 1 中的A点 MB点 NC点 PD点 Q二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)9 分解因式: 269mn 10若关于 x的方程 0x有两个相等的实数根,则 m的值是 11如图,小明同学用自制的直角三角形纸板 D
4、EF测量树的高度 AB,他调整自己的位置,设法使斜边 保持水平,并且边 DE与点 在同一直线上已知纸板的两条直角边40cm, 20cF,测得边 离地面的高度1.5C, 8,则树高 AB m12在平面直角坐标系 xOy中,我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点 04,点 是x轴正半轴上的整点,记 AB 内部(不包括边界)的整点个数为 m当 3时,点 的横坐标的所有可能值是 ;当点 的横坐标为4n( 为正整数)时, (用含 n的代数式表示 )三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)13计算: 103182sin48.14解不等式组: .x,3 / 1215已知 023ab ,求代数式
5、254ab的值16已知:如图,点 EAC, , 在同一条直线上,ABCD,求证: .17如图,在平面直角坐标系 xOy中,函数 40yx的图象与一次函数ykx的图象的交点为 2Am, .(1)求一次函数的解析式;(2)设一次函数 ykx的图象与 y轴交于点 B,若 P是 x轴上一点,且满足 PB 的面积是 4,直接写出点 的坐标18列方程或方程组解应用题:据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的 2 倍少 4 毫克,若一年滞尘 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘
6、550 毫克所需的国槐树叶的片数相同,求一片国槐树叶一年的平均滞尘量四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)19如图,在四边形 ABCD中,对角线 ACBD, 交于点 E,904302BEE, , , ,2E求 的长和四边形 的面积20已知:如图, AB是 O 的直径, C是 O 上一点, DBC 于点D,过点 C作 的切线,交 D 的延长线于点 E,连结 (1)求证: E与 相切;(2)连结 并延长交 于点 F,若 9B, 2sin3A,求4 / 12BF的长21近年来,北京市大力发展轨道交通,轨道运营里程大幅增加,2011 年北京市又调整修订了 2010 至 2020 年轨道交通线网
7、的发展规划以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分请根据以上信息解答下列问题:(1)补全条形统计图并在图中标明相应数据;(2)按照 2011 年规划方案,预计 2020 年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米?(3)要按时完成截至 2015 年的轨道交通规划任务,从 2011 到 2015 这 4 年中,平均每年需新增运营里程多少千米?22操作与探究:(1)对数轴上的点 P进行如下操作:先把点 P表示的数乘以 13,再把所得数对应的点向右平移 1 个单位,得到点 的对应点 .点 AB, 在数轴上,对线段 AB上的 每个点进行上述操作后得到线段 AB,其中点,的对应点
8、分别为 , 如图 1,若点 A表示的数是 3,则点 表示的数是 ;若点 表示的数是 2,则点 表示的数是 ;已知线段 上的点 E经过上述操作后得到的对应点 E与点 重合,则点 E表示的数是 ;北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表(截至 2010 年底)开通时间 开通线路 运营里程 (千米)1971 1 号线 311984 2 号线 232003 13 号线 41八通线 192007 5 号线 2820088 号线 510 号线 25机场线 282009 4 号线 282010房山线 22大兴线 22亦庄线 23昌平线 2115 号线 205 / 12(2)如图 2,在平面直角坐标系 xOy中
9、,对正方形 ABCD及其内部的每个点进行如下操作:把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a,将得到的点先向右平移 m个单位,再向上平移 n个单位(0mn,) ,得到正方形 ABC及其内部的点,其中点AB的对应点分别为 ,。已知正方形 AB内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点 F与点 重合,求点 F的坐标。五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)23已知二次函数 23(1)()2ytxtx在 0x和 时的函数值相等。(1) 求二次函数的解析式;(2) 若一次函数 6ykx的图象与二次函数的图象都经过点 (3)Am,求 和 k的值;(3)
10、 设二次函数的图象与 轴交于点 BC,(点B在点 C的左侧) ,将二次函数的图象在点,间的部分(含点 和点 )向左 平移(0)n个单位后得到的图象记为 G,同时将(2)中得到的直线 6ykx向上平移 n个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象 G有公共点时, 的取值范围。24在 ABC 中, BAC, M是 A的中点, P是线段 BM上的动点,将线段 P绕点 顺时针旋转 2得到线段 PQ。(1) 若 且点 与点 重合 (如图 1) ,线段 C的延长线交射线 于点 D,请补全图形,并写出 DB的度数;(2) 在图 2 中,点 P不与点 BM,重合,线段 CQ的延长线与射线 BM交于点 D,猜
11、想 CDB的大小(用 含 的代数式表示) ,并加以证明;6 / 12(3) 对于适当大小的 ,当点 P在线段 BM上运动到某一位置(不与点 B, M重合)时,能使得线段 CQ的延长线与射线 交于点 D,且 PQ,请直接写出的范围。25在平面直角坐标系 xOy中,对于任意两点 1()xy,与 22()xy,的“非常距离” ,给出如下定义:若 1212|x ,则点 1P与点 2的“非常距离” 为 12|;若 |y,则点 与点 的“非常距离”为 |y.例如:点 1()P,点 2(35),因为 |3|5|,所以点 1P与点 2的“非常距离”为 |25|,也就是图 1 中线段 1PQ与线段 2长度的较大
12、值(点 Q为垂直于y轴的直线 1Q与垂直于 x轴的直线 2的交点) 。(1)已知点 (0)2A, B为 y轴上的一个动点,若点 与 点 的 “非常距离”为 2, 写出一个满足条件的点 B的坐标;直接写出点 与点 的“非常距离”的最小值;(2)已知 C是直线 34yx上的一个动点,如图 2,点 D的坐标是(0,1) ,求点 C与点 D的“非常距离”的最小值及相应的点 的坐标;如图 3, E是以原点 O为圆心,1 为半径的圆上的一个动点,求点 C与点 E的“非常距离”的最小值及相应的点 和点 C的坐标。7 / 128 / 12来源:学+科+ 网2012 年北京中考数学试题答案2012.6.25一选
13、择题(每题 4 分)1 2 3 4 5 6 7 8D C B D B C A D二填空题(每题 4 分)9 10 11 122(3)mn1 5.5 (3,0)或(4,0)6n3三解答题(每题 5 分)13、解:原式13 822714、解:由 3x3 且 x5,得 x515、解:原式 ab5106()(+)-2abk16、BACBCD (SAS) 所以,BCED17、 (1)由 2kk2,k2,所以,y=2x-2(2) 由面积可求得 PC2,所以,P(3,0)或(1,0)18、设一片国槐树叶一年平均滞尘量为 x 毫克,则一片银杏树叶 一年平均滞尘量为(2x4)毫克由题意得: 0524x整理,得:
14、x=22检验:将 x=22 带入 x(2x-4)中,不等零,则 x=22 为此方程的根。答:一片国槐树叶一年平均滞尘量为 22 毫克.四解答题(每题 5 分)19.证明:过 D 作 DF AC 于 F如图,因为 ,4CE、 均为等腰直角三角形ABDE= , EF=DF=1,2CD=2DF=2, CF= ,3又 BE=2 , AB=AE=2,9 / 12= =12(3+ )3=ABCDDSS四 1()2ABF:3(+3)220.证明:(1)连接 OC,则 OC CE,90OE由于 为等腰三角形,则 ,BCCODB由垂径定理,得:CD=BD,DDE=DEE则 CB90O即 BE 与 相切;来源:学
15、科网(2)过 D 作 DG AB 于 G则 ABFOB=9, ,2sin3COD=OB =6,OG=OD =4,siODG由勾股定理,得:DG= ,25AG=9+4=13, ABF:BF= 来源:学科网 ZXXKBF183651321.(1) 228,图略;(2)1000 千米;(3)82.75 千米。22. 0; ; ; F(1,4)5五解答题(23 题 7 分,24 题 7 分,25 题 8 分)23.【解析】 由题意可知依二次函数图象的对称轴为 1x则 。21t10 / 12 32t yx1 因二次函数图象必经过 点A 236m又一次函数 的图象经过 点6ykx ,34 由题意可知,点
16、间的部分图象的解析式为 ,BC, 132yx13x 则向左平移后得到的图象 的解析式为 32yxn1nn 此时平移后的解析式为 46yxn由图象可知,平移后的直线与图象 有公共点,C则两个临界的交点为 与10, 30,则 0416n2n36 26n 来源:Zxxk.ComA(-3,-6 )此为两个函数的切点坐标为(-n-1,0)坐标为(3-n,0)11 / 12【评价】前两问都比较简单,第三问有一定难度,考察学生对于函数图象平移的理解,以及对于直线与抛物线位置关系的运用。此题的关键在于临界点 讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标,带入直线解析式即可得到 n 的取值范围。24、 【解析】 , 3
17、0CDB 连接 ,易证PCA, P APCD又 Q ,2PCADB, QA 180P 360QAD 18182ADC 202B 9 且, PQD 21802PADCCB点 不与点 重合BM, A 2180 456【评价】此题并没有考察常见的动点问题,而是将动点问题和几何变换结合在一起,应用一个点构造 2 倍角。需要同学们注意图形运动过程中的不变量,此题可以用倒角(上述答案的方法)或是构造辅助圆的方法解决。25、 【解析】 或02, , 112 / 12 设 坐标C034x,当此时距离为此时 . 2087x878157C,35E, 34505x9,最小值 1。从第二题第一问的作图中可以发现,过 C 点向 x、y 轴作垂线,当 CP 和 CQ 长度相等的时候“非常距离” 最短,理由是,如果向下(如左图)或向上(如右图)移动C 点到达 C点,其与点 D 的“非常距离”都会增大。故而 C、D 为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。发现这一点对于同学们更好的理解题意十分重要。C C QQCCQQP PP PD DO