1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)复数 的共轭复数是21i（A） （B） （C） 35i 35i i（D） i（2）下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的+（ 0， ）函数是（A） (B) （C） (D) 3yx1yx21yx2x（3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040（4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加
2、各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A） （B） （C） 131223（D） 4（5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边x在直线 上，则 =2yxcos22011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（A） （B） （C） 453535（D）（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（7）设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为AB（A） （B） （C）2 （D）323（8） 的展开式中各项系数的和为 2，
3、则该展开式中常51axx数项为（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40（9）由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为yx2yxy（A） （B）4 （C） 103 163（D）6（10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题12:0,3P2:,ab2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学3:10,3Pab4:,其中的真命题是（A） （B） （C） （D）14,P13,P23,P24,（11）设函数 的最小正周期为()sin)cos()0,)2fxx，且 ，则(f（A） 在 单调递减 （B） 在 单调递)fx0,2 ()fx3,4减（C） 在 单调递增 （D
4、） 在 单调递增()fx0,2()fx3,4(12)函数 的图像与函数 的图像所有交点的1y2siny横坐标之和等于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）若变量 满足约束条件 则 的最小值为 ,xy329,6xy2zxy。（14）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在xOyC12,F轴上，离心率为 。过 的直线 L 交 C 于 两点，
5、且 的周x21F,AB2ABV长为 16，那么 的方程为 。C（15）已知矩形 的顶点都在半径为 4 的球 的球面上，且ABDO,则棱锥 的体积为 。6,23ABOC（16）在 中， ，则 的最大值为 。CV60,3 2ABC三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）等比数列 的各项均为正数，且na 21362,9.aa（)求数列 的通项公式；n（）设 求数列 的前 n 项和.31323logl.log,n nbaa1nb(18)(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面A
6、BCD.ABCDP2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。（19） （本小题满分 12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为
7、2,9410,tyt指标值分 组 90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110频数 8 20 42 22 8指标值分 组 90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110频数 4 12 42 32 102011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）（20） （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3
8、上，M 点满足 ， ，M 点的轨迹为曲线 C。/BOAurBAurru（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。（21） （本小题满分 12 分）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方ln()1axbf()yfx(1,)f程为 。230xy（）求 、 的值；ab（）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。x1ln()1xkf请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， ， 分别为 的边 ， 上的DEABCA点，且不
9、与 的顶点重合。已知 的长为 ，ABCEn EDCBA2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学， 的长是关于 的方程 的两个根。ADBx2140xmn（）证明： ， ， ， 四点共圆；CDE（）若 ，且 ，求 ， ， ， 所在圆的半径。90,6mnCBDE(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）2cosinxyM 是 C1上的动点，P 点满足 ,P 点的轨迹为曲线 C22OPMuv()求 C2的方程()在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与 C1的异于极点的交点为 A，与 C2的异于极
10、点的交点为 B，求3.AB(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲设函数 ,其中 。(3fxax0a（）当 时，求不等式 的解集；1()32fx（）若不等式 的解集为 ，求 a 的值。()0fx|12011 年普通高等学校招生全国统一考试2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学新课标卷 （黑龙江、吉林、河南、宁夏、新疆、山西）参考答案一、选择题（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D（7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D(1)复数 21i的共轭复数是（A） 35i （B） 35i （C） i （D） i解析： 21i=
11、()12,ii共轭复数为 C（2）下列函数中，既是偶函数又在 +（ 0， ） 单调递增的函数是（A） 3yx (B) 1yx （C） 21yx (D) 2xy 解析:由图像知选 B（3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040解析：框图表示 1na，且 1a所求 6720选 B2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A） 13 （B） 12 （C） 23 （D） 4解析;每
12、个同学参加的情形都有 3 种，故两个同学参加一组的情形有 9 种，而参加同一组的情形只有 3 种，所求的概率为 p=31选 A（5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 2yx上，则 cos2=解析：由题知 tan,222csin1ta35选 B（A） 45 （B） 35 （C） 35 （D）（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右 图所示，则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选 D2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（7）设直线 L 过
13、双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， AB为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（A） 2 （B） 3 （C） 2 （D）3解析：通径|AB|=2ba得 2ac，选 B（8）51axx的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40解析 1.令 x=1 得 a=1.故原式= 51()2xx。51()2xx的通项 52 21 5)()rrrrrrTCC ，由 5-2r=1 得 r=2,对应的常数项=80，由 5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为 40 ，选
14、D解析 2.用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘，若第 1 个括号提出 x,从余下的 5 个括号中选 2 个提出 x，选 3 个提出 x；若第1 个括号提出 1x，从余下的括号中选 2 个提出 1，选 3 个提出 x.故常数项= 23 35 51()()()()XCCXX=-40+80=40（9）由曲线 y，直线 2yx及 y轴所围成的图形的面积为（A） 103 （B）4 （C） 163 （D）6解析;用定积分求解432400 116(2)()|3sxdxx，选 C（10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学12:0,3
15、Pab2:,3:10,3Pab4:,其中的真命题是（A） 14,P （B） 13,P （C） 23,P （D）24,解析： 2cos2cos1abab得， 1cos2，0,3。由 2 2得1cos2,3。 选 A（11）设函数 ()sin)cos()0,)2fxx的最小正周期为，且 (f，则（A） )fx在 0,2单调递减 （B） ()fx在 3,4单调递减（C） ()fx在 0,2单调递增 （D） ()fx在 3,4单调递增解析： sin()4f，所以 2，又 f(x)为偶函数，,42kkz， ()sin()2cosfxxx，选2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学A(12)函数
16、1yx的图像与函数 2sin(4)yx的图像所有交点的横坐标之和等于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8解析：图像法求解。 1yx的对称中心是（1,0）也是sin()yx的中心， 24他们的图像在 x=1 的左侧有 4个交点，则 x=1 右侧必有 4 个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为 1,2345678,xx，则 182736452xxx，所以选D二、填空题（13）-6 （14） （15） 2168xy83（16） 27（13）若变量 ,xy满足约束条件 329,6xy则 2zxy的最小值为 。解析：画出区域图知，当直线 2zxy过 39x的交点(4,-5)时， min6z（14）
17、在平面直角坐标系 Oy中，椭圆 C的中心为原 点，焦点 12,F在 x轴上，离心率为 2。过 1F的直线 L 交 C 于 ,AB两点，且2ABV的周长为 16，那么 的方程为 。2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学解析：由2416ca得 a=4.c=2,从而 b=8,2168xy为所求。（15）已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4 的球 O的球面上，且6,23AB,则棱锥 O的体积为 。解析：设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM= 21(3)63,OM= 224()， 16238OABCDV.（16）在 中， 0,，则 ABC的最大值为 。解析： 012AC, 0(,
18、12),sinsiniBBA0i()3cosinCAA；2AC3cos5i28s27()，故最大值是7三、解答题（17）解：（）设数列a n的公比为 q，由 得 所以 。2369a3249a219q由条件可知 a0,故 。13由 得 ，所以 。123a12aq13a故数列a n的通项式为 an= 。（ ） 31323nlogl.logb(12.)n2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学故 121()()nbn12 12.()().()231n nn所以数列 的前 n 项和为nb(18)解：（）因为 , 由余弦定理得 60,2DABAD 3BDA从而 BD2+AD2= AB2，故 BD
19、 AD又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD,所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD（）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为轴的正半轴建立空间直角坐标系 D- ，则 , ,x xyz10A30B，, 。1,30C,1P(,),(0,31),(,)ABBCuvuvuv设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z） ，则 0,nABPur即 30xyz因此可取 n=(,1)设平面 PBC 的法向量为 m，则 m0,PBCur可取 m=（0，-1， ） 3427cos,n yxABCDPz2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学故二面角 A-PB-C 的余弦值
20、为 27（19）解（）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为 ，所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为28=0.310.3。由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为，所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.423210.4（）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为 0.04，,054,0.42，因此90,120,P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,即 X 的分布列为X -2 2 4P 0.04 0.54 0.42X 的数学期望值 EX=-20.04+20.54+40.42=2.
21、68(20）解：()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).MAurMBurABur再由题意可知（ + ） =0, 即（-x,-4-2y） (x,-2)r=0.所以曲线 C 的方程式为 y= x -2.142()设 P(x ,y )为曲线 C：y= x -2 上一点，因为 y = x,所以0 12的斜率为 xl12因此直线 的方程为 ，即 。l001()2yx200xyx2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学则 O 点到 的距离 .又 ，所以l20|4yxd201yx20202014(),xx当
22、=0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2.20xl（21）解：（） 221(ln)xbf x由于直线 的斜率为 ，且过点 ，230xy(1,)故 即(1),2f1,2ba解得 ， 。1ab（）由（）知 ，所以ln1f()x。22l (1)lnkkxfx考虑函数 ，则()2lnh(1)x(0)。2)(kxx(i)设 ，由 知，当 时， 。而0k221)()h1x()0hx，故(1)h当 时， ，可得 ；0,x()0hx21()0hx当 x （1，+ ）时，h（x）021从而当 x0,且 x 1 时，f（x）-（ + ）0，即 f（x）lnxk2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科
23、数学+ .1lnxk（ii）设 00,故 (x）0,而hh（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）0，可得 h（x）0,而 h（1）=0，故当hx （1，+ ）时，h（x）0，可得 h（x）0从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（ ln+k）0，即 f（x）1lnx+k.当 （即 ）224(1)01k，21kxk221 1,kxx又 ，所以 x（1， ）时， （k-1） （x 2 +1）+2x0,故1202,而 h（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）0，可得()hx21h（x）0,故 ,而()0hxh（1）=0，故当 x （ ，1）时，h（x）0,故120x2,而 h（1）=0，
24、取 ， ，可得 ,与()h2()10h21()0hx题设矛盾】 。综合得，k 的取值范围为（- ，0（22）解： HFGEDC BA2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I）连接 DE，根据题意在ADE 和ACB 中， ADAB=mn=AEAC, 即 .又DAE=CAB,从而ADEACB ABECD因此ADE=ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。（）m=4, n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.取 CE 的中点 G,DB 的中点 F，分别过 G,F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH.因为 C
25、，B，D，E 四点共圆，所以C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.由于A=90 0，故 GHAB, HFAC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.21故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2（23）解：（I）设 P(x,y),则由条件知 M( ).由于 M 点在 C1上，所以2,YX即 2cosinxy4cosinxy从而 的参数方程为2C（ 为参数）4cosinxy（）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为1 4sin2C。8sin2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学射线 与 的交点 的极径为 ，31CA14sin3射线 与 的交点 的极径为 。2B28所以 .1|3AB（24）解：（）当 时， 可化为a()2fx。|1|2x由此可得 或 。31x故不等式 的解集为()f或 。|x( ) 由 得 ()0f30xa此不等式化为不等式组或30xa30xa即 或4ax2因为 ，所以不等式组的解集为0|ax由题设可得 = ，故2a1a
