1、2.4 导集, 闭集, 闭包,给定一个子集, 拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同, 可以对它们进行分类处理.,定义2.4.1 设 X 是一个拓扑空间, A X,如果点 xX 的每一个邻域 U 中都有 A 中异于x的点, 即 U(A-x) , 则称点 x 是集合 A的一个凝聚点或极限点.集合 A 的所有凝聚点构成的集合称为 A 的导集, 记作 d(A).如果 xA并且 x 不是 A 的凝聚点, 即存在 x 的一个邻域U 使得 U(A-x) , 则称x为A的一个孤立点.,如果点 xX 的每一个邻域 U 中都有 A 中异于x的点, 即 U(A-x) , 则称点 x 是集合 A的一
2、个凝聚点或极限点.集合 A 的所有凝聚点构成的集合称为 A 的导集, 记作 d(A).如果 xA并且 x 不是 A 的凝聚点, 即存在 x 的一个邻域U 使得 U(A-x) , 则称x为A的一个孤立点.,例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集.设 X 是一个离散空间, A 是 X 中的一个任意子集.由于 X 中的每一个单点集都是开集, 因此如果 xX, 则 X 有一个邻域 x, 使得 , 于是 x 不是 A 的聚点.以上论证说明, 集合 A 没有任何一个凝聚点, 从而 A 的导集是空集, 即d(A) .,定理2.4.1 设 X 是一个拓扑空间, A X,(l) d( )= ；(2) A B
3、,则 d(A) d(B); (3) d(AB)d(A)d(B)；4) d(d(A) A d(A),定义2.4.2 设 X 是一个拓扑空间, A X.如果 A的每一个凝聚点都属于 A, 即 d(A) A, 则称 A 是拓扑空间 X 中的一个闭集.例如, 根据例2.4.l 和例2.4.2 中的讨论可见, 离散空间中的任何一个子集都是闭集, 而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集. 定理 2.4.2 设 X 是一个拓扑空间, A X.则 A是一个闭集, 当且仅当 A 的补集 是一个开集.,例2.4.3 实数空间 R 中作为闭集的区间.设a,b R, ab.闭区间a, b是实数空间R中的一个闭集
4、, 因为a, b的补集 =(-,a)(b,)是一个开集.同理, (-,a), b,都是闭集, (-,)R显然更是一个闭集.然而开区间(a,b)却不是闭集, 因为a是(a,b)的一个凝聚点, 但a (a,b).同理区间(a,b), a,b, (-,a)和(b,)都不是闭集.,定理2.4.3 设 X 是一个拓扑空间. 记 F 为所有闭集构成的族.则：(1) X, F(2) 如果 A,BF, 则 .(从而有限并封闭)(3) 如果 在此定理的第(3)条中, 我们特别要求 的原因在于, 当 = 时, 所涉及的交运算没有定义.,总结：(1)有限个开集的交是开集, 任意个开集的并是开集.其余情形不一定.(2
5、)有限个闭集的并是闭集, 任意个闭集的交是闭集.其余情形不一定.定义2.4.3 设 X 是一个拓扑空间,A X.集合 A 与 A 的导集 d(A)的并称为 A 的闭包，记为 或 .定理2.4.4 拓扑空间 X 的子集 A 是闭集的充要条件是 A= .,定理 2.4.5 设 X 是一个拓扑空间,则对于任意 A,BX,有：,定理 2.4.6 拓扑空间 X 的任何一个子集 A 的闭包 都是闭集.证明根据定理2.4.4和定理2.4.5(4)直接推得.定理2.4.7 设 X 是一个拓扑空间, F 是由空间X 中所有的闭某构成的族, 则对于 X 的每一个子集A, 有即集合 A 的闭包等于包含 A 的所有闭
6、集之交.,在度量空间中, 集合的凝聚点, 导集和闭包都可以通过度量来刻画. 定义2.4.5 设(X, )一个度量空间.X 中的点x 到 X 的非空子集 A 的距离 (x, A) 定义为(x, A)inf(x, y)|yA,定理2.4.9 设 A 是度量空间 (X, ) 中的一个非空子集.则(1)x d(A)当且仅当 (x, A-x)=0；(2)x 当且仅当(x, A)0.,定理2.4.10 设X和Y是两个拓扑空间, f:XY.则以下条件等价：(l)f是一个连续映射；(2)Y中的任何一个闭集B的原象 (B)是一个闭集；(3)对于X中的任何一个子集A, A的闭包的象包含于A的象的闭包, 即(4)对于Y中的任何一个子集B, B的闭包的原象包含B的原象的闭包, 即,.,总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种? 证明一个子集是开集,闭集的方法有几种? 如何证明一个点是某个子集的凝聚点?作业:P69 1.2,
