1、例,解, 令,所以,解得参数和的矩估计量为, 设x1, x2, , xn是X1, X2, , Xn的样本值，则,似然函数为,其中,当,时,令,第二个似然方程求不出的估计值，观察,，表明L是的严格递增函数，又,，故,所以当,时L 取到最大值,从而参数和的最大似然估计值分别为,则参数和的最大似然估计量分别为,区 间 估 计,第七章,第三节,二 、正态总体均值与方差的区间估计,一 、置信区间,三 、两个正态总体均值与方差的区间估计,例如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的最大似然估计值为1000条., ,也就是说，希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真
2、参数值.,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的,习惯上把置信水平记作,，这里 是一个,很小的正数.,的，称为置信概率，置信度或置信水平。,一 、置信区间,定义1 设总体,含一待估参数,对于样本,找出统计量,使得,，称区间,为,的置信区间，,为该区间的置信度。,是一个随机区间；,给出该区间,可能性。,区间,的分布函数为,，其中,通常, 采用95%的置信度, 有时也取99% 或 90%.,即置信度为,这时重复,抽样 100次, 则在得到的100个区间中包含,真值,的有95个左右, 不包含,真值的有5个左右。,例如 若,具体的计算方法,，其中只含有一个未知参数,不等式,是的置信度为,的置信区间。,
3、二 、正态总体均值与方差的区间估计,设,为总体,的一个样本,设已知方差,且,一个无偏点估计，,又,对于给定的置信度,查正态分布表，找出,临界值,使得：,由此可找出无穷多组,通常我们取对称,使：,区间,由上 分位点的定义,对于给定的,有,可得,所以的置信水平为1-的置信区间为,简记为,例 若取,查表得,值算得样本均值的观察值,则得到一个置信度为0.95的的置信区间,，若由一个样本,注： 的置信水平1的置信区间不唯一。,上例中同样给定,可以取标准正态分,布上分位点-Z0.04和Z0.01，则也有,则的置信度为0.95的置信区间为,但对称时的区间长度,最短。194页,已知幼儿身高服从正态分布，现从5
4、6岁的幼,儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115, 120,131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假设标准差,置信度为95%; 试求总体均值的置信区间,解 已知,由样本值算得：,查正态分布表得,，由此得置信区间,例1,设总体,问需要抽取容量为多,的长度不大于 0.49 ?,解 设需要抽取容量为n,的样本, 其样本均值为,查表得,于是的置,信水平为0.95的置信区间为,该区间长度,例2,解得,取,而选取样本函数,对于给定的,查 t 分布表，得临界值,使,我们取对称区间,可用样本方差：,即,由 t 分布表可以查出,所以的置信水平为1-的 置信区间为,简记为
5、,用仪器测量温度, 重复测量7次, 测得温度分,别为: 115, 120, 131, 115, 109, 115, 115 ; 设温度,在置信度为95%时, 试求温度的,真值所在范围。,例3,查表得,已知,由样本值算得：,解 设是温度的真值， X 是测量值,得区间：,对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验, 测,得最大飞行速度(单位: 米/秒)为,420.3, 425.8, 423.1, 418.7, 438.3, 434.0, 412.3, 431.5,最大飞行速度服从正态分布. 求飞机最大飞行速度,422.2, 417.2, 425.6,413.5, 441.3, 423.0, 428.2
6、,根据长期经验, 可以认为,的期望值的置信水平为 0.95 的置信区间。,例4,解 以X 表示该飞机的最大飞行速度, 则,查表得,由于总体方差,未知, 因此,的置信水平为0.95,的置信区间为:,由,（均值未知）,设,为总体,的一个样本,我们知道,并且样本函数：,找使概率对称的区间,即,置信区间,即,标准差的一个置信水平为,的置信区间,注意：在密度函数不对称时，如,习惯上仍取对称的分位点，但其置信区间的长度,并不最短。,例5,某自动车床加工零件，抽查16个测得长,加工零件长度的方差。,解 先求,2的估计值,度（毫米）,，怎样估计该车床,查表,所求2的置信度为0.95的置信区间,例6,假设总体,信区间。,的样本为,，求,未知，X,的置信度为95%的置,解, 的置信区间为, 2的置信区间为,所以2的置信区间为,三 、两个正态总体均值与方差的区间估计,设,为总体,的一个样本,为总体,的一个样本, X与Y,相互独立。,且,是,的,一个无偏估计，,因为X与Y 相互独立,所以,所以,的置信水平为1-的置信区间为,所以,的置信水平为1-的置信区间为,所以,的置信水平为1-的置信区间为,本章知识小结,1.重点：矩估计、最大似然估计、无偏性、有效性、单个正态总体参数的区间估计,2. 难点：最大似然函数没有驻点的情况,作业21,210页 14、15、1819、20,
