1、（1）知识点的梳理1二项式定理：，01() ()nnrnnabCabCabN 2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做 的二项展开式。()nab二项式系数:展开式中各项的系数 .rnC0,12,)项数：共 项，是关于 与 的齐次多项式(1)rab通项：展开式中的第 项 叫做二项式展开式的通项。用rrnr表示。1rnrTCab3注意关键点：项数：展开式中总共有 项。(1)n顺序：注意正确选择 , ,其顺序不能更改。 与 是不同的。ab()nab()na指数： 的指数从 逐项减到 ，是降幂排列。 的指数从 逐项减到 ，是升an00n幂排列。各项的次数和等于 .n系数：注意正确区分二项式系数与项的
2、系数，二项式系数依次是项的系数是 与 的系数（包括二项式系数） 。012,.rnnCCab4常用的结论：令 1,abx012(1) ()n rnnnCxCxN 令 ,012 1)n rnnnx 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，0nC1knC二项式系数和：令 ,则二项式系数的和为1ab，022rnnnnC 变形式 。12 1rnnnC 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 ，则1,ab，023(1)()0nnnnCC从而得到： 024232112r rnnnnn奇数项的系数和与偶数项的系数和：012012100123(), (1
3、)nnnnn nnnnaxCaxCaxaxax 令 则 令 则 024135, ()2(1), nnnaa 得 奇 数 项 的 系 数 和 得 偶 数 项 的 系 数 和二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 是偶数时，则中间一项的二项n式系数 取得最大值。2nC如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数, 同时取得最大值。12nC系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式()nabx中各项系数分别为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。121,nAr12rrAr（2）专题总结专题一题型一：二项式定理的逆用；例： 1232166 .nnnCC解： 与已知的
4、有一些差距，0123(16)66n nnnC232112(6)nnnnnC 012 1(66)(7nnnnn练： 12319 .nnnCC解：设 ，则1231nnnS 01233 1(3)nnnnnCC (1)413nnnS题型二：利用通项公式求 的系数；nx例：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项3241()nx3453x的系数？解：由条件知 ，即 ， ，解得245nC245n290n，由9()10舍 去 或，由题意 ，21021034341()rrrrTxx1023,64rr解 得则含有 的项是第 项 ,系数为 。3763310TCx练：求 展开式中 的系数？291()x
5、9x解： ，令 ,则29182 1831 99()()()2rrrrrrrrTCxCxCx9r3故 的系数为 。9x39()2题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 的展开式中的常数项？210()x解： ，令 ，得 ，所以5202101 1()()rrrrrTCxCx02r8r8910456练：求二项式 的展开式中的常数项？(2)x解： ，令 ，得 ，6 662111(2)()()rrrrrrrTCxCxx 0r3r所以 3460练：若 的二项展开式中第 项为常数项，则2()nx5_.n解： ，令 ，得 .424215(nnTCx206题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项
6、式 展开式中的有理项？93()x解： ，令 ,( )得127193621 9()()rrrrrrTCxCxrZ09r，3或所以当 时， ， ，r746r3449(1)8Tx当 时， ， 。9r2736r39310()TCx题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若 展开式中偶数项系数和为 ，求 .231()nx256n解：设 展开式中各项系数依次设为23()nx 01,na,则有 ， ,则有1令 010,nax令023()2a将-得： 135,na11352,na有题意得， ， 。8262n9练：若 的展开式中，所有的奇数项的系数和为 ，求它的中间项。3521()nx 1024
7、解： ， ，024213211r rnnnnnCC 1204n解得 1所以中间两个项分别为 ， ，6,7n56543121()nTxx6156142Tx题型六：最大系数，最大项；例：已知 ，若展开式中第 项，第 项与第 项的二项式系数成等差数1(2)nx567列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解： 解出 ，当 时，展开式4652,1980,nnC714n或 7n中二项式系数最大的项是 ，45T和 34 5()2,C的 系 数当 时，展开式中二项式系数最大的项是 ，4357()2,T的 系 数 8T。7814C的 系 数练：在 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？2()nab解：二项
8、式的幂指数是偶数 ，则中间一项的二项式系数最大，即 ，2n 21nT也就是第 项。1n练：在 的展开式中，只有第 项的二项式最大，则展开式中的常数项3()2x5是多少？解：只有第 项的二项式最大，则 ，即 ,所以展开式中常数项为第5152n8n七项等于 6281()7C练：写出在 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ab解：因为二项式的幂指数 是奇数，所以中间两项( )的二项式系数相等，74,5第 项且同时取得最大值，从而有 的系数最小， 系数最大。3447TCab437TCab练：若展开式前三项的二项式系数和等于 ，求 的展开式中系数最大91(2)nx的项？解：由 解出 ,假设 项最大，
9、01279,nnC121rT1()(4)xx，化简得到 ，又 ，11122rrrrAC9.410.r12r，展开式中系数最大的项为 ,有01T201()689Cx练：在 的展开式中系数最大的项是多少？1(2)x解：假设 项最大，1rT102rrrTCx，化简得到110012 ()210,rrrrAr 解 得，又 ， ，展开式中系数最大的项为6.37.k77810536.TCx题型七：含有三项变两项；例：求当 的展开式中 的一次项的系数？25(3)xx解法： ， ，当且仅当2525()32515()(3rrrTCx时， 的展开式中才有 x 的一次项，此时1r1rT，所以 得一次项为2425()r
10、Cx 1452x它的系数为 。14530解法： 2550514501455(3)()2()(2)xxCxCxC故展开式中含 的项为 ，故展开式中 的系数4542x为 240.练：求式子 的常数项？31(2)x解： ，设第 项为常数项，则36()()xx1r，得 , , 662161()()r rrrTCC 0r3.331620题型八：两个二项式相乘；例： 342(12)xx求 展 开 式 中 的 系 数 .解： 333()2,mmx的 展 开 式 的 通 项 是 C444(1) 1,0,123,4,nnnxxn的 展 开 式 的 通 项 是 其 中342,02,2,()mnnmnnx令 则 且
11、 且 且 因 此.021120343434() (1)6xCCC的 展 开 式 中 的 系 数 等 于练： 61034(1)()x求 展 开 式 中 的 常 数 项 .解：436103 3412610604()()mnmnCxCxx 展 开 式 的 通 项 为 ,6,2,2, ,48mnnn 其 中 当 且 仅 当 即 或 或.03468616101024CC时 得 展 开 式 中 的 常 数 项 为练： 2 *31(1)( ,8,_.nx nNn 已 知 的 展 开 式 中 没 有 常 数 项 且 则解： 343()C,nrnrnrxxx展 开 式 的 通 项 为 通 项 分 别 与 前 面
12、 的 三 项 相 乘 可 得44142C, ,28rnrnrnrxx n 展 开 式 中 不 含 常 数 项,83,7,65.n且 且 ， 即 且 且题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例： 206(), ,2,_.xxSxS 在 的 二 项 展 开 式 中 含 的 奇 次 幂 的 项 之 和 为 当 时解： 206123206()axax设 =-206123206xx -352052062061( )()()axaxx 得 206 2062061() x S展 开 式 的 奇 次 幂 项 之 和 为 32062062063081,()()()S 当 时题型十：赋值法；例：设二项式 的展开
13、式的各项系数的和为 ，所有二项式系数的和为31()nxp,若s,则 等于多少？27pn解：若 ，有 ，2301() nxaxax01nPa，0nnSC令 得 ，又 ,即 解得1x4nP27ps427(1)260nnn， .267()n或 舍 去 练：若nx13的展开式中各项系数之和为 ，则展开式的常数项为多少？64解：令 ，则nx13的展开式中各项系数之和为 ，所以 6n，1x 264n则展开式的常数项为 3361()Cx.540练： 209123209 20912(1) (),aaxaxaxR若 则 的 值 为解： 20920912120 0, ,2 ax a令 可 得209120, .a在
14、 令 可 得 因 而练： 54321012345(2) , _.xaxxaa 若 则解： 0012345, ,a令 得 令 得12345.a题型十一：整除性；例：证明： 能被 64 整除2*389()nN证： 211(89nnn011218 8nnnnnCC01128()9nnn 1118nnn由于各项均能被 64 整除 2*389()64nN能 被 整 除1、(x1) 11展开式中 x 的偶次项系数之和是 1、设 f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是 1024/)(21f)(12、 2、n2n10nC3C32、4 n3、 的展开式中的有理项是展开式的第 项 奎 屯王 新 敞新 疆20
15、)51(3、3,9,15,21 4、(2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令 x=1，则所求和为 35 奎 屯王 新 敞新 疆5、求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中 x4的系数 奎 屯王 新 敞新 疆5、 ,要得到含 x4的项，必须第一个因式中的9310)()x(1( 1 与(1-x) 9展开式中的项 作积，第一个因式中的x 3与(1-x) 9展开式中49)(C的项 作积，故 x4的系数是 奎 屯王 新 敞新 疆)x(C91354916、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中
16、x3的系数 奎 屯王 新 敞新 疆6、 = ，原式中)1(x1)(x1 1002 ）（ x)1()(1x3实为这分子中的 x4，则所求系数为 奎 屯王 新 敞新 疆7C7、若 展开式中，x 的系数为 21，问 m、n 为)Nnm()1)()fm何值时，x 2的系数最小？7、由条件得 m+n=21，x 2的项为 ，则 因2n2mC.439)21(2nmnN，故当 n=10 或 11 时上式有最小值，也就是 m=11 和 n=10，或 m=10 和 n=11时，x 2的系数最小 奎 屯王 新 敞新 疆8、自然数 n 为偶数时，求证：1n1n4n321 23C2C8、原式= 1n1n1n5n1n1n
17、2n10n 2.3)()( 9、求 被 9 除的余数 奎 屯王 新 敞新 疆19、 ,)(1881)8(0 1001011 ZkCCkZ,9k-1Z， 被 9 除余 8 奎 屯王 新 敞新 疆110、在(x 2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数 奎 屯王 新 敞新 疆10、 5552 )2x(1)x3( 在(x+1) 5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为 ，在(2+x) 5展开式中，常x5C1数项为 25=32，含 x 的项为 802C45展开式中含 x 的项为 ，此展开式中 x 的系数为 240 奎 屯王 新 敞新 疆x24)3()x(111、求(2x+1) 12展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆11、设 Tr+1的系数最大，则 Tr+1的系数不小于 Tr与 Tr+2的系数，即有 1r2r1r1r2r1r23CC4r,3r展开式中系数最大项为第 5 项，T 5= 4412x7906
