1、 最全的待定系数法求递推数列通项第 1 页 共 12 页用待定系数法求递推数列通项公式初探摘要: 本文通过用待定系数法分析求解 9 个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。关键词:变形 对应系数 待定 递推数列数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、
2、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。一、 型 （ 为常数，且 ）1nnapqp、 0,1pq例题 1.在数列 中， , ,试求其通项公式。1a12na分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在 的两边同时加上 1，整理12na为 ，此时，把 和 看作一个整体，或者换元，令12()nna1nn，那么 ，即 ， ，因此，数列 或bnba2b1 na就是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列n，或者 ，进一步求出 。1anb2na启
3、示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上 1 就构成了新的等比数列 ，那1na不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，已知 ，可变形为 的形式，然后展开括号、移12na12()nna最全的待定系数法求递推数列通项第 2 页 共 12 页项后再与 相比较，利用待定系数法可得 。12na21,这样，对于形如 （其中 为常数，且 ）的递推数列，1nnpaqpq、 0pq先变为 的形式，展开、移项，利用待定系数法有1()n，1pq1p即 1()nnaa则数列 首项为 等比数列nqap1,pq公 比 为 的1111()()nnn qaapp即因此，形如 这一类型的数列，都可以利用
4、待定系数法来求解。1nnq那么，若 变为 , 是关于 非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用q()fn待定系数法呢？二 型(0,1)1apqnrp且例题 2.在数列 中， , ,试求其通项公式。1a231na分析：按照例题 1 的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上 n 的倍数，才能使新的数列有一致的形式。先变为 ，展开比较得1()2()1nna3,即13()234naa进一步1()()nn则数列 是 的等比数列，所以 34na13483482aa首 项 为 公 比 为，12nn2n同样，形如 的递推数列，设 展开、1pqr1()()nnxypaxy最全的待定系数法求递推数列通项第 3 页
5、 共 12 页移项、整理，比较对应系数相等，列出方程 (1)pxqyr解得 21()qxprry即 12 2()11()1n nqqqrapappp 则数列 是以 为首项，以 p 为公比2()n r12()的等比数列。于是就可以进一步求出 的通项。na同理，若 其中 是关于 n 的多项式时，也可以构造新的等比数()1apfnn()f列，利用待定系数法求出其通项。比如当 =时，可设2fqrs21()(1)()n nxyzpaxyz展开根据对应系数分别相等求解方程即可。为 n 的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。()f而如果当 是 n 的指数式，即 时，递推公式又将如何变形
6、呢？()f ()nfqr三 (0,1,)1naprqsprpn型 且例题 3.在数列 中， , ,试求其通项 。n1a32nna na分析 1：由于 与例题 1 的区别在于 2n是指数式，可以用上面的思路进行132变形，在两边同时加上 变为 即n13n13()nnaa则数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列 ，则2na 2n2n最全的待定系数法求递推数列通项第 4 页 共 12 页分析 2：如果将指数式先变为常数，两边同除 12n132nnnaa就回到了我们的类型一。进一步也可求出 。32n例题 4.在数列 中， , ,试求 的通项 。na13154nnanan分析：若按例题 3 的思路
7、2，在两边同时除以 ，虽然产生了 、 ，但是又增1212a加了 ，与原式并没有大的变化。所以只能运用思路 1，在两边同时加上 10 整12n 2n理11523(52)4nnnaa进一步 11()nnn则数列 是首项为 15，公比为 3 的等比数列52na125nnn即 (3)n启示：已知数列 的首项，a1(01,)nnaprqsprqp且1）当 ,即 由例题 3 知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构0s1nnprq造首项和公比已知或可求的等比数列。思路一：在两边同时除以 ，将不含 的项变为常数，即1n1na和1nnprqq为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列 最终求解出1nr
8、aqp的通项。na最全的待定系数法求递推数列通项第 5 页 共 12 页思路二：在两边同时加上 的倍数，最终能变形为nq1()nnaxqpaxq对应系数相等得 ，即()pxrrp即 11()nnnnaqaq求出数列 的通项，进一步求出 的通项。nnrpqn2）当 时，即0s1nnars由例 4 可知只能在选择思路二，两边既要加 的倍数，也要加常数，最终能变形为nq1()nnaxqypxqy比较得 x，y 的方程组()11rxpqxrpqyssy即于是 11 ()n nn nrraqpaqpp求出数列 的通项，进一步求出 的通项。nnsna四： 其中 可以为常数、n 的多项式或指数式）2112(
9、),nnapqafa型 已 知 ()f以 =0 为例。()f例题 5.在数列 中， ,试求 的通项。n1221,3nnnan分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把 看做常数进行处理，可1变为 ，先求出数列 的通项 211()3nnaa1n1()3nn最全的待定系数法求递推数列通项第 6 页 共 12 页然后利用累加法即可进一步求出 的通项 。nan对于形如 的递推数列，可以设 展开，利用21nnapq211()nnaxyax对应系数相等，列方程 xyp于是数列 就是以 为首项，y 为公比的等比数列，不难求出1na21a的通项进一步利用相关即可求出 。1nax na同理， 当 为非零
10、多项式或者是指数式时，也可结合前21()nnpqff面的思路进行处理。问题的关键在于先变形 211()(nnaxyaxfn然后把 看做一个整体就变为了前面的类型。1nax五： 型， 为正项数列1(0,1)rnnppRr且 ， na例题 6.在数列 中， ，试求其通项 。a211,na分析：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数相同，由于 ，所以可联想到对数的相关性质，对0n两边取对数，即21na221lgl()lglg2nnnnaa就是前面的类型一了，即1ll(l)nn112g2g)lna变形得 1n对于类似 的递推数列，由于两边次数不一致
11、，1(0,1)rnnppRr且 ，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得1lgllgrnnnaap最全的待定系数法求递推数列通项第 7 页 共 12 页然后就是前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列 为已1lglnpar知首项和公比的等比数列了。求出 最终就可以得出 的通项。1lglnparn同样，如果将 中的 p 换为指数式 时，同样1(0,1)rnnapR且 ， nq可以利用相同的方法。即： 1(,)rnqaqr 且 ，两边取对数 lgl)lglrnaq变为类型二 1()nxyxy即可进一步得出 的通项。na以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解，接下来再看看
12、比较复杂的分式型递推数列。六： 1(0)nnrasprq型例题 7.在数列 中， ，试求其通项 。n11,32nnana分析：这是一个分式型数列，如果去分母变为 后就无法进行处理1120nn了。两边同时取倒数1323nnna就是前面的类型一了。 1nna所以数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，不难求出13na1342na例题 8.在数列 中， ，试求其通项 。na11,3nana最全的待定系数法求递推数列通项第 8 页 共 12 页分析：此题比例题 7 的区别多了常数项，两边取倒1432nna左右两边 与 并不一致。但可以对照例题 7 的思路，取倒数之后分母会具有1na2一致的结构，根据
13、等式和分式的性质，我们可在两边同时加上某一常数，整理： 1 2(31)23nnn xxaax 此时如果 ，那么递推式左边和右边分母就一致了。解方程得 12,3x因此 123nnaa1142nna（ ）此时可选择其中一个递推式按照例题 7 的方式进行处理，这里选择 ，11432nna（ ）两边取倒11321344nn naa（ ）回到了类型一 1()55nna根据类型一的方法易求出：14()6nn现在我们将两式相比：1223341nnaa最全的待定系数法求递推数列通项第 9 页 共 12 页则数列 是我已知首项和公比的等比数列，进一步化简求出 。231na na通过以上两个例题可知，形如 这一类
14、型的递推数列，对学生1(0)nnraspq的综合能力要求较高。1、如果右边分子缺常数项，即 ，那么直接对两边取倒数即可得：0s1nnqpar此时，若 ，那就是我们熟悉的等差数列，若 ，那就是前面的类型一用1qr 1r待定系数法求解。2、若 ，就需要先变形，使左边和右边分子结构一致。两边同时加上某一个常数(0s)x1()nnsxqrxpara然后令 ，解出 的值。sqxrpx而另一种思路是直接设 变形之后为1nnraspq1()nnyx然后展开，根据对应项系数相等得二元方程组()yxprqs求出 。,xy两种思路都是解 的一元二次方程，设其解为 。x12,x1 21 1()()n nn nyay
15、aaxpqpq和最全的待定系数法求递推数列通项第 10 页 共 12 页若 时，那就只能利用例题 7 的方法，两边取倒数，部分分式整理即可转变12x为类型一。11111 1()()()()nnn npaqxpqxpaxyxyayay 最终求出 。当 时，可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解，但是此时计算量颇12x大，于是直接将两式相比得：11122nnaxaxy所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列。进一步求出 。12nax12ax12yna七：221(0,40)nrasprrqsq型例题 9.在数列 中， ，试求其通项 。n2113,na na分析：本题属于分式非线性递推式，与类型五又
16、有相似之处，所以我们可以结合类型五、六的思路，进行变换：两边同时加上某个常数，设最终变为：21()nnax与原式比较，对应系数相等，得23x解方程得 12,即有：21(3)nnna最全的待定系数法求递推数列通项第 11 页 共 12 页对单个式子进行处理，无从下手，两式相比得213nna然后，两边取对数得：2133lgllg11nnnaaa则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列。3lg1na1ll5123lglnna进一步解得 112254nn显然，按照例题 9 的思路，形如 这一类型的参数1(0)nrasprq必须满足一定的条件，所得方程应有两个不相等的实根。pqrs、 、 、现在来探讨
17、应该满足哪些条件？设 ，即：221()nnnaraxxpqpq 22()nns所以 222nnnnraxpqraxr对应系数相等得 ,0s方程 要满足20rxqs24r设方程的两根为 则有12,x211()nnraxpq212()nn最全的待定系数法求递推数列通项第 12 页 共 12 页两式相比得 2112nnax两边取对数得 1122lglgnnaxx数列 是首项为 ，公比为 的等比数列。12lgnax1la求出 的通项再整理一下就得出了 的通项，问题就得以解决了。12lnxna本文主要是通过例题的分析讲解，并进行归纳总结概括而形成的，是我在平时的学习中，通过平时自己的一些积累和参考其他作者的思路，对用待定系数法求解递推数列的初步探讨和认识。例题的深度层层深入，前面的类型是后面的基础，特别是第一种类型，是学习其他几种类型的充分依据，其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进行求解。参考文献1李春雷 用不动点法探究递推数列的通项公式J.中学数学研究 2006.05 期2用待定系数法求解递推数列的通项公式J.中学数学研究 2007.07 期3例析待定系数法求解递推数列的通项公式J.中学数学研究 2009.07 期
