1、求函数值域的种经典方法函数值域的求法方法有好多,函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域 常用求值域方法（1）、直接观察法例 2、 求函数 x3y的值域。 （）答案：值域是： ,【同步练习 1】函数 的值域. （）21xy解： 0（2） 、配方法例 2、求函数 2,1x,52y的值域。 （）解：将函数配方得： 4)( 2,1x由二次函数的性质可知：当 x=1 时， ymin，当 时， 8ymax故函数的值域是：4，8例 4、设 ，求函数 的值域02x 1()432xfA解： ，1()38xfA， x 当 时，函数取得最小值 ；当 时，函数取得最大值 ， 221x4函数
2、的值域为 84，例 5、求函数 的值域。 （） （配方法、换元法）3xy解： 713421261 xx= ，所以 ，故所求函数值域为 ，+。3427y72（3） 、换元法：（三角换元法）例 1、求 的值域 ()1fxx解：令 ，则 ，0t2(0)t，22215()1)4fxttt所以函数值域为 5，4例 2、求函数 的值域。21xy解：设 ，则sinx。 42sin12cos12sinicoi2 y所以 ，故所求函数值域为 。11y ，（4）、函数有界性法（方程法）例 1、求函数 的值域。3sinx解：因为 ，所以 ，则0i3sinsixyyx13si由于 ，所以 ，解得 。故所函数的值域为-
3、2，- 。1sinx13y212求函数 的值域2y1012 yx1原 函 数 的 值 域 为（5）、数形结合法（函数的图像）：求函数 的值23(0)()xxf， 域解：作图象如图所示， ， ，14 )f(3f ，(0)3f函数的最大值、最小值分别为 和 ，即函数 4 的值域为40，例 1、 求函数 22)8x()(y的值域.解：原函数可化简得： |8x|2|y上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ， )(B间的距离之和。由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， 10|A|8x|y当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， |B|2|故所求函数的值域为： ,10例 3、求函数
4、 5x43x6y22的值域.解：原函数可变形为： 2222 )10()()0()x(y上式可看成 x 轴上的点 ,xP到两定点 ),(B,3A的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， 43)12(3|ymin ，故所求函数的值域为 ,43（6）均值不等式法：利用基本关系 两个正数的均值不等式 在应用时要注意,0)(2xf ab2“一正二定三相等”；利用基本不等式 abc3a,ba)R,(例 1、求函数 的值域)1(22xxy解：原函数可化为 )1(22 xx当且仅当 时取等号，故值域为0x,例 2、 求函数4)xcos1()xsin1(iy22的值域.解：原函数变形为：52xc
5、ottan3se1xcos1in)xco(iny22222当且仅当 即当 4k时 )z(，等号成立故原函数的值域为： ,5（7） 、根判别式法：对于形如 （ ， 不同时为 ）2112axbcya20对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简例 1、求函数 的值域 21xy解：原函数化为关于 的一元二次方程 2(1)10yxy（1）当 时， ， ，解得 ；yxR24 32y （2）当 时， ，而 031，故函数的值域为 32，评注：在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；使用此法须在 或仅有个别值xR（个别值是指使分母为 的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的 值，若在求出的值域中则应除0 y去此 值）不能取的情况下，否则不能使用，如求函数 ， 的值域，则不能使用此y 21xy(3)，方法 （8） 、分离常数法： 例 1、求函数 的值域21xy解： ()12xxx， ， ， ，20x 1x x 021x12x函数的值域为 (0)，求 的值域 .xy解：（利用部分分式法）由 ，可得值域1232xxy 1y（9）、倒数法例 1、求函数 3xy的值域 .20111202时 ，时 ， =0xyxyyxy
