1、2011 年高考数学模拟试卷 附答案一填空题1 ()2i= _. .2全集 ，若 ，则 _ ,34U1,2,4AB()UAB3抛物线2xy的焦点坐标是 _. .4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_. 5.已知函数 )209(.4)2091(,logl)(32 ffbaxfxx 则若 的值为 .6. 若 1(,)sin,46则 csin的值是 . 7. 已知等比数列 的各项均为正数，若 ，前三项的和为na31a21 ，则 6548阅读如图所示的程序框，若输入的 n是 100，则输出的变量 S的值是_. 9. 设实数 ,xy满足205y ， ， ，则 yxu的取值范围是 10. 已
2、知集合 (,)2|AxyxZ| ， ， ， ，集合2()4Bxy， ， ，在集合 A 中任取一个元素 p，则 p B 的概率是 11. 已知： 为常数，函数 在区间 上的最大值为 ，则实数t2|yxt0,33_.t12. ABCDA1B1C1D1是一个边长为 1 的正方体，过顶点 A 作正方体的截面（该截面与正方体的表面不重合） ，若截面的形状为四边形，则截面面积的取值范围是 . 2222主视图左视图2俯视图第 4 题图2n1n结束输出 SS否 是开始输入 n 0S第 8 题图（第 16 题）13. 已知 且关于 的方程 有实数根，则 的夹角的|2|0,abx2|0axbAab与取值范围是 .
3、 14. 定义域和值域均为 （常数 ）的函数 和 的图像如图所示，a,0fyxg给出下列四个命题：（1）方程 有且仅有三个解；0xgf（2）方程 有且仅有三个解；（3）方程 有且仅有九个解；xf（4）方程 有且仅有一个解。0g那么，其中正确命题的个数是 二，解答题15. 已知 cba,分别是 ABC中角 ,的对边，且 222sinisinisnACBAC（1）求角 的大小； （2）若 3，求 tn的值16. 在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是梯形， AD BC， ABC=90，平面 PAB平面ABCD，平面 PAD平面 ABCD.（1）求证： PA平面 ABCD；（2）若平面 P
4、AB平面 PCD l，问：直线 l 能否与平面 ABCD 平行？请说明理由.DCAPB17. 某企业为打入国际市场，决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）项 目类 别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A 产品 20 m 10 200B 产品 40 8 18 120其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产 A 产品的原材料价格决定，预计 另外，年销售 件 B 产品时需上交 万美元的特别关8,6x20.5x税假设生产出来的产品都能在当年销售出去（）写出该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利
5、润 与生产相应产品的件数 之12,yx间的函数关系并指明其定义域；（）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划 18. 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的焦距为 2，两准线问的距离为 10设 A(5,0)，B(1，0)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 A 作直线与椭圆 C 只有一个公共点 D，求过 B，D 两点，且以 AD 为切线的圆的方程；(3)过点 A 作直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，过点 P 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于另一点 S若 =t （t1） ，求证： =t AP AQ SB BQ19. 已知函数 11()3xpf， 22()3xpf（ 12,Rp为常数）
6、函数 ()fx定义为：对每个给定的实数 ， 1122,()()()ffxff若若（1）求 1()fx对所有实数 x成立的充分必要条件（用 12,p表示） ；（2）设 ,ab是两个实数，满足 ab，且 12,(,)pab若 ()fb，求证：函数()fx在区间 上的单调增区间的长度之和为 （闭区间 ,mn的长度定义为 nm）20. 已知数列 中， 且点 在直线 上。na,1NnaP1, 01yx(1)求数列 的通项公式;(2)若函数 求函数 的最小,2,)(321 nananf 且 )(nf值；(3)设 表示数列 的前 项和。试问：是否存在关于 的整式 ，使得nnSab,nb g对于一切不小于 2
7、 的自然数 恒成立？ 若存在，写gSn11321 n出 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。ng参考答案一填空题1.3+i 2、 3. （1,0 ） 4. 5. 0 6. 154 7. 168 8. 5049 43489. 83,10. 65 11. 0 或-2 12. 2,1 13. . 14. 2 ,3二解答题15. 解：（1）由已知条件得： acba22 所以 2cosB， 又 ,0 ，所以 3 （2） ac3，由正弦定理，得 ACsin3i，且 3B所以有 Asinsin， 整理得： i25co3，从而有：sintaA 16. 证明:因为 ABC=90， AD BC，所以 AD
8、 AB.而平面 PAB平面 ABCD， 且平面 PAB平面 ABCD=AB,所以 AD平面 PAB, 所以 AD PA. 同理可得 AB PA. 由于 AB、 AD平面 ABCD， 且 AB AD=C,所以 PA平面 ABCD. （2）解:（方法一）不平行. 证明：假定直线 l平面 ABCD,由于 l平面 PCD， 且平面 PCD平面 ABCD=CD, 所以 l CD. 同理可得 l AB, 所以 AB CD. 这与 AB 和 CD 是直角梯形 ABCD 的两腰相矛盾,故假设错误，所以直线 l 与平面 ABCD 不平行. （方法二）因为梯形 ABCD 中 AD BC,所以直线 AB 与直线 C
9、D 相交，设 ABCD=T. 由 TCD， CD平面 PCD 得 T平面 PCD.同理 T 平面 PAB. 即 T 为平面 PCD 与平面 PAB 的公共点，于是 PT 为平面 PCD 与平面 PAB 的交线.所以直线 l与平面 ABCD 不平行. 17. 解：（ ）由年销售量为 件，按利润的计算公式，有生产 A、B 两产品的年利润x分别为：12,y且10210202xmxxN284.5.14y 2.56,.xx（） ， ， ， 为增函数， 6m0120)(1xmy时，生产 A 产品有最大利润为02,2xNx又（万美元）198又 时，生产 B 产品22.51046,120,.yxxN10x有最
10、大利润为 460（万美元） 现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较： 86.7,0.,215460)21980()()(max2ax1 my 所以：当 时，投资生产 A 产品 200 件可获得最大年利润；6.7m当 时，生产 A 产品与生产 B 产品均可获得最大年利润；当 时，投资生产 B 产品 100 件可获得最大年利润.818. 解：（1）设椭圆的标准方程为21(0)xyab依题意得： 2,10ca，得 1,5ca 24 所以，椭圆的标准方程为2154xy（2）设过点 A的直线方程为： ()ykx，代入椭圆方程2154xy得;22(45)0150kx(*)依题意得： ，即
11、2()4(5)(10)kk 得： 5k，且方程的根为 x 4,D当点 D位于 x轴上方时，过点 与 A垂直的直线与 x轴交于点 E，直线 E的方程是： 45(1)y， 1(,0)5E所求圆即为以线段 DE 为直径的圆，故方程为： 23524)xy同理可得：当点 D位于 x轴下方时，圆的方程为： ()(（3）设 1(,)Pxy， 2(,)Qxy由 AP=t得： 125()xty，代入21254xy123xt（*） 要证 SB=t，即证 12(1)(xty由方程组（*）可知方程组（1）成立,(2)显然成立 SB=tQ19. 解：（1）由 ()fx的定义可知， 1()fx（对所有实数 x）等价于2（
12、对所有实数 ）这又等价于 123xppA，即Oyx(a,f(a)(b,f(b)图 1Oyx(a,f(a) (b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图 2123log23xp对所有实数 x均成立. （*）由于 21212()()()xppxR的最大值为12p，故（*）等价于 123p，即 123logp，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i）当 123log时，由（1）知 1()fx（对所有实数 ,x）则由 fafb及 pb易知 2ab， 再由111,()3px的单调性可知，函数 f在区间 ,ab上的单调增区间的长度为 2b（参见示意图 1）（ii） 13plog时，不妨
13、设 2,p，则 213logp，于是当 x时，有 11()()xxff，从而 ()fx；当 2时，有 31212122log3()ppppxpfA从而 ()fx ；当 12p时， 11()3xpf，及 22()pxf，由方程 123xppx解得 ()fx与 图象交点的横坐标为1203log 显然 1022132()lpxpp，这表明 在 与 之间。由易知101022(),()xff综上可知，在区间 ,ab上， 012(),()axff b （参见示意图 2）故由函数 1()fx及 2f的单调性可知， f在区间 ,上的单调增区间的长度之和为0(p，由于 ()fb，即 123pap，得123log2pab 故由、得 01123()()log2baxpbp20. 解：（1）由点 P 在直线 上，),(1na0yx即 ，na且 ，数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列1n， 同样满足，所以)2()(n ana（2） nnf12124132)( n01( fnf所以 是单调递增，故 的最小值是)(nf 17)(f（3） ，可得 ，nb1Sn312 )2(nSn，)(121nn12S132nSn， n2)(1321 nng)(故存在关于 n 的整式 g（ x）= n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立.
