1、线性代数常见证明题型及常用思路仅供参考！证明题题型 1关于 线性相关性的证明中常用的结论1,m（1）设 ，然后根据题设条件，通过解方程0组或其他手段：如果能证明 必全为零，则 线性1,m 1,m无关；如果能得到不全为零的 使得等式成立，则,线性相关。1,m（2） 线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。,（3）如果 ，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。1,nmF（4）如果我们有两个线性无关组， 11,mW且 是同一个线性空间的两个子空间，要证12,tW 12,线性无关。这种情况下，有些时候我们设1mt 。1 11 10,tmt 根据题设条件往往能得到 ，进而由 11,mW的线性无关得到系
2、数全为零。12,tW题型 2. 关于欧氏空间常用结论（1）内积的定义（2）单位正交基的定义（3）设 是单位正交基，1,nB。则11(,)(,)nBnuxvy 5,)nvyx题型 3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论（1）初等变换不改变矩阵的秩（2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩（3）阶梯形的秩（4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()()();min,()()();ax, ()();()();()()()()();0()TTTmnrABrBArr ArBrrrBBArrArBrrABrCCBAAn（5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）例：证明：
3、 。()()()mnrArBnrAB证：()()()0nnnEErABrrABABrr上面第二个等号是用 左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第A二行所得；第三个等号是用 又乘第二个分块矩阵的第一列，然B后加到第二列所得。（6）利用齐次线性方程组解的结构（ ） ，dim()()nNArA此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。（7）利用向量组的秩与维数主要是两个结论：（i）矩阵的秩=列秩=行秩（ii） 的定义dimkerdiImdiker()域 的维数（8）利用行列式秩（9）利用相抵标准形题型 4. 关于可逆矩阵常用结论（1）结论： 可逆 有唯一解 。AXb|0A（2）结论： 可逆 可
4、逆。,()nBMFB（3）结论： 可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。（4）结论： 可逆当且仅当 0 不是它的特征值。A题型 5. 关于矩阵对角化的常用结论（1）结论： 相似于 。A1.BCstABC（2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。（3）特征值与特征向量的定义（4）结论： 是 的特征值 。A|0EA（5）结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。（6）结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第 n-1 次项的系数就是对角线上元素之和。（7）结论： 。(),()()AXhxFhAXh （8）结论：课本 P242 定理 7.8。（9）结论：课本 P242 推论。（10）结论：课本 P243 定理 7.10。（11）结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。题型 6. 关于二次型的常用结论：（1）定义：二次型的矩阵。（2）定义：相合关系。（3）实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。（4）定义：课本 P263 定义 7.12 与 P269 定义 7.12（5）实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。（6）结论：课本 P264 定理 7.17、7.18、7.19（7）结论：课本 P269 定义下面的内容重要建议：最好把课本第七章内容全部记住！
