1、123 映 射学习目标 1.了解映射、一一映射的概念及表示方法(重点)；2.了解像与原像的概念；3.了解映射与函数的区别与联系(重、难点)预习教材 P3233 完成下列问题：知识点一 映射的概念1两个非空集合 A 与 B 间存在着对应关系 f，而且对于 A 中的每一个元素 x， B 中总有唯一的一个元素 y 与它对应，就称这种对应为从 A 到 B 的映射，记作 f： A B2像与原像的概念在映射 f： A B 中， A 中的元素 x 称为原像， B 中的对应元素 y 称为 x 的像，记作f： x y【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)(1)在从集合 A 到集合 B 的映射中，集合 B
2、 中的某一个元素 b 的原像可能不止一个( )(2)集合 A 中的某一个元素 a 的像可能不止一个( )(3)集合 A 中的两个不同元素所对应的像必不相同( )(4)集合 B 中的两个不同元素的原像可能相同( )提示 根据映射的概念可知：(1)中元素必有唯一确定的像，但在像集中一个像可以有不同的原像，故只有(1)正确答案 (1) (2) (3) (4)知识点二 一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足： A 中每一个元素在 B 中都有唯一的像与之对应； A 中的不同元素的像也不同； B 中的每一个元素都有原像【预习评价】1设集合 A1,2,3，集合 B a， b， c，那么从集合 A 到集合
3、B 的一一映射的个数为( )A3 B6 C9 D18解析 A 中有 3 个元素，B 中也有 3 个元素，按定义一一列举可知有 6 个答案 B2设 f： x ax1 为从集合 A 到 B 的映射，若 f(2)3，则 f(3)_解析 由 f(2)3，可知 2a13， a2，2 f(3)3 a13215答案 5知识点三 函数与映射设 A、 B 是两个非空数集， f 是 A 到 B 的一个映射，那么映射 f： A B 就叫作 A 到 B 的函数即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射【预习评价】1从集合 A 到集合 B 的映射 f： A B 与从集合 B 到集合 A 的映射 f： B A
4、是不是相同映射？提示 映射 f： A B 与映射 f： B A 不是相同映射 2映射一定是函数吗？函数一定是映射吗？提示 当集合 A， B 为非空数集时，映射就是函数，否则不是，但函数都是映射题型一 映射的概念【例 1】 判断下列对应是不是映射？(1)A x|0 x3， B y|0 y1， f： y x， x A， y B；13(2)AN， BN *， f： y| x1|， x A， y B；(3)A x|0x1， B y|y1， f： y ， x A， y B；1x(4)AR， B y|yR， y0， f： y| x|， x A， y B解 (1)是映射(2)对于 A 中的元素 1，在 f
5、作用下的像是 0，而 0B，故(2)不是映射(3)是映射(4)对于 A 中的元素 1 和1，在 f 作用下的像都是 1，所以 f 是映射规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合 A 中的任意一个元素在集合 B中都有唯一元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多【训练 1】 下列对应是从集合 M 到集合 N 的映射的是( ) M NR， f： x y ， x M， y N； M NR， f： x y x2， x M， y N； M1x NR， f： x y ， x M， y N；
6、M NR， f： x y x3， x M， y N1|x| xA B C D解析 对于，集合 M 中的元素 0 在 N 中无元素与之对应，所以不是映射对于3， M 中的元素 0 及负实数在 N 中没有元素与之对应，所以不是映射对于， M 中的元素在 N 中都有唯一的元素与之对应，所以是映射故选 D答案 D题型二 求某一映射中的像或原像【例 2】 设 f： A B 是 A 到 B 的一个映射，其中 A B( x， y)|x， yR，f：( x， y)( x y， x y)(1)求 A 中元素(1,2)的像；(2)求 B 中元素(1,2)的原像解 (1) A 中元素(1,2)在 B 中对应的元素为
7、(12，12)，即 A 中元素(1,2)的像为(3,1)(2)设 A 中元素( x， y)与 B 中元素(1,2)对应，则Error!解得Error!所以 B 中元素(1,2)的原像为 (12， 32)规律方法 求某一映射中的像或原像，要准确地利用对应关系，恰当地列出方程或方程组【训练 2】 设集合 A、 B 都是坐标平面上的点集( x， y)|xR， yR，映射f： A B 使集合 A 中的元素( x， y)映射成集合 B 中的元素( x y， x y)，则在 f 作用下，像(2,1)的原像是( )A(3,1) B (32， 12)C. D(1,3)(32， 12)解析 由Error!得Er
8、ror! 故选 B答案 B典例迁移题型三 映射的个数问题【例 3】 已知 A a， b， c， B1,2则从 A 到 B 可以建立多少个不同的映射？解 从 A 到 B 可以建立 8 个映射，如下图所示【迁移 1】 (改变问法)本例条件不变，则从 B 到 A 的映射有多少个？4解 从 B 到 A 可以建立 9 个映射，如图所示 【迁移 2】 (增加条件)本例若增加条件： f(a) f(b) f(c)0.则从 A 到 B 的映射有多少个？解 欲使 f(a) f(b) f(c)0，需 a， b， c 中有两个元素对应1，一个元素对应2，共可建立 3 个映射【迁移 3】 (变换条件)本例条件变为设 A
9、 a， b， c， B1,0,1，若从 A 到 B的映射 f 满足： f(a) f(b) f(c)，求这样的映射 f 的个数解 要确定映射 f，只需确定 A 中的每个元素对应的像即可，即确定 f(a)， f(b)， f(c)的值，由题可知， f(a)， f(b)， f(c)1,0,1，且满足 f(a) f(b) f(c)，列表f(a) f(b) f(c)0 0 01 0 10 1 11 0 10 1 11 1 01 1 0由上表可知，所求的映射有 7 个规律方法 (1)如果集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，那么从集合 A 到集合B 的映射共有 nm个，从 B 到 A 的映
10、射共有 mn个(2)映射带有方向性，从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的课堂达标1设集合 A a， b， B0,1，则从 A 到 B 的映射共有( )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个解析 列举法.Error!Error! Error!Error!共 4 个5答案 C2下列集合 A 到集合 B 的对应中，构成映射的是( )解析 在 A、B 选项中，由于集合 A 中的元素 2 在集合 B 中没有对应的元素，故构不成映射，在 C 选项中，集合 A 中的元素 1 在集合 B 中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项 D 符合映射的定义，故选 D答案 D3设 f： A B 是从
11、集合 A 到 B 的映射， A B( x， y)|xR， yR， f：( x， y)( kx， y b)，若 B 中元素(6,2)在映射 f 下的原像是(3,1)，则 k， b 的值分别为_解析 由题意得Error!得Error!答案 2,14已知集合 A 中元素( x， y)在映射 f 下对应 B 中元素( x y， x y)，则 B 中元素(4，2)在 A 中对应的元素为_解析 由题意得Error!解得Error!答案 (1,3)5已知集合 A a， b，集合 B c， d，则由 A 到 B 的对应中，映射有几个？解 有四个，如图所示 ：课堂小结1对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合 A 和 B 必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达2映射的特征(1)任意性： A 中任意元素 x 在 B 中都有元素 y 与之对应，即 A 中元素不能空着(2)唯一性：从集合 A 到集合 B 的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射(3)方向性： f： A B 与 f： B A，一般是不同的映射63映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合 A， B 均为非空数集时，则从 A 到 B 的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广
