1、1第三章 指数函数和对数函数章末复习课网络构建核心归纳知识点一 指数函数 y ax(a0， a1)的图像与性质一般地，指数函数 y ax(a0， a1)的图像与性质如下表所示：a1 00时， y1；当 x0时，01性质在(，)上是增函数 在(，)上是减函数注意 (1)对于 a1与 01时， a值越大，图像向上越靠近 y轴，递增速度越快；00， a1)的图像与性质a1 01时， y0；当 01时， y0性质在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数知识点三 对数函数与指数函数的关系对数函数 ylog ax(a0， a1)与指数函数 y ax(a0， a1)互为反函数，其图像关于直线 y x对称(
2、如图)知识点四 幂函数与指数函数的区别幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决要点一 有关指数、对数的运算问题3指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等
3、式和换底公式等换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用【例 1】 (1)化简： ；(1 23ba) 3ab(2)计算：2log 32log 3 log 3825log 53329解 (1)原式 ab aab a 3b(2)原式log 34log 3 log 385 2log53329log 3 52log 53log 399297(49328)【训练 1】 log 3 log 3 _(1681) 34 54 45解析 log 3 log 3 3 log 31 0 (1681) 34 54 45 (23) 278 278答案 278要点二 函数的图像函数图像是高考考查的重点
4、内容，在历年高考中都有涉及考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果【例 2】 函数 y x1 的图像关于直线 y x对称的图像大致是( )(12)4解析 函数 y x1 的图像如图所示，关于 y x对称的图像大致为 A选项对应图(12)像答案 A【训练 2】 函数 y (00时， y ax.又 01，故有 abc B bacC acb D cba解析 因为 2，所以 alog 21，所以 b 1，所以log 120cb答案 C要点四 指数、对数函数图像与性质的综合应用1指数函数与对数函数性质的对比(1)相同点：指数函
5、数与对数函数的图像和性质都与底数 a的取值有关当 a变化时函数的图像与性质也随之改变(2)不同点：指数函数的图像恒过定点(0,1)，而对数函数的图像恒过定点(1,0)；指数函数与对数函数的定义域与值域均不同，但它们的定义域与值域正好互换(3)联系：指数函数 y ax(a0且 a1)与对数函数 ylog ax(a0且 a1)互为反函数；两函数的图像关于直线 y x对称2指数函数与幂函数的区别与联系函数 表达式 相同点 不同点指数函数y ax(a0，且a1)指数是自变量，底数是常数幂函数 y x ( R)右边都是幂的形式底数是自变量，指数是常数【例 4】 已知函数 f(x)log 9(9x1) k
6、x(kR)是偶函数(1)求 k的值(2)若函数 y f(x)的图像与直线 y x b没有交点，求 b的取值范围12(3)设 h(x)log 9 ，若函数 f(x)与 h(x)的图像有且只有一个公共点，求实(a3x43a)数 a的取值范围解 (1)因为 f(x)为偶函数，所以对任意 xR， f( x) f(x)，即 log9(9 x1) kxlog 9(9x1) kx对于任意 xR 恒成立于是 2kxlog 9(9 x1)log 9(9x1)log 9 log 9(9x1) x恒成立，而 x9x 19x不恒为零，所以 k 12(2)由题意知方程 log9(9x1) x x b即方程 log9(9
7、x1) x b无解令 g(x)12 12log 9(9x1) x，则函数 y g(x)的图像与直线 y b无交点因为 g(x)6log 9 log 9 ，所以 g(x)在(，)上是单调减函数因为 1 1，所9x 19x (1 19x) 19x以 g(x)log 9 0.所以 b的取值范围是(，0(119x)(3)由题意知方程 3x a3x a有且只有一个实数根令 3x t0，则关于 t的13x 43方程( a1) t2 at10(记为(*)有且只有一个正根若 a1，则 t ，不合题意，43 34舍去若 a1，则方程(*)的两根异号或有两相等正根方程(*)的两根异号(a1)( 1)1.由 0 a
8、 或3；但 a t2，不合题意，舍去；而34 34a3 t ；综上所述，实数 a的取值范围是3(1，)12【训练 4】 已知偶函数 f(x)在 x0，)上是增函数， f 0，求不等式(12)f(logax)0(a0，且 a1)的解集解 f(x)是偶函数，且 f(x)在0，)上是增函数，又 f 0， f(x)在(12)(，0)上是减函数， f 0(12)故若 f(logax)0，则有 logax 或 logax1时，由 logax 或 logax 或 0 或 logax aaa综上可知，当 a1时， f(logax)0的解集为 ( ，)；当 00的解集为(0， ) .a (aa， )考查方向要点
9、五 体现在指数函数、对数函数中的数学思想方向 1 函数思想函数是描述客观世界变化规律的重要模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描7述本章学习的三种不同类型的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数)刻画了客观世界中三类不同的变化规律，具有不同对应关系的变化现象利用函数的意义解指数、对数方程，利用函数的单调性比较两个数的大小和解有关指数、对数的不等式是本章中运用函数思想解题的重要体现【例 51】 如果 x1是方程 xlg x3 的一个根， x2是方程 x10 x3 的一个根，那么 x1 x2的值是( )A6 B3 C2 D1解析 将已知的两个方程变形，得 lg x3 x,10x3 x令 f(x)
10、lg x， g(x)10 x， h(x)3 x如图所示，记 g(x)与 h(x)的图像的交点为 A(x1， y1)， f(x)与 h(x)的图像的交点为B(x2， y2)，利用函数的性质易知 A， B两点关于直线 y x对称，便有 x1 y2， x2 y1将点 A的坐标代入 h(x)，得 y13 x1再将 y1 x2代入上式，得 x23 x1，即 x1 x23答案 B方向 2 数形结合思想数形结合思想在解决对数函数问题中应用比较广泛特别是在求有关对数方程解的个数或已知解的个数求参数的取值(范围)等问题时，常将已知数量关系转化到图像中，从而使问题直观、易解【例 52】 已知不等式 2xlog a
11、x ，显然 0 log aa ，12 2 28 a ，即 a 212 (12)故实数 a的取值范围为 方向 3 分类讨论思想我们以前就接触过分类讨论的思想方法，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决应特别注意的是，当讨论的对象不止一种时，应分层进行，以避免混乱，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类可另有统一的标准【例 53】 解关于 x的不等式：log a(43 x x)3log a(2x1)loga2(a0， a1)解 原不等式可化为 loga(43 x x2)loga2(2x1)当 a1时，有Error!即Error! 1时，原不等式的解集为 ；(12， 2)当 0a1时，原不等式的解集为(2,4)
