1、第8章,几种离散型变量的 分布及其应用 Distribution and Application of Discrete Data,Binomial distribution Poissin distribution,Content,随机变量有连续型和离散型之分，相应的概率分布就可分为连续型分布和离散型分布。有关连续型分布如正态分布、t分布和F分布等在前面的章节中已作了介绍。本章主要介绍在医学中较为常用的离散型分布，即二项分布、Poisson分布。,第一节 二项分布,二项分布（binomial distribution）是指在只会产生两种可能结果如“阳性”或“阴性”之一的n次独立重复试验（常常
2、称为n重Bernoulli试验）中，当每次试验的“阳性”概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0，1，2，n的一种概率分布。,在医学中类似如这种n重Bernoulli试验的情形较为常见。如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效；在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存；接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非感染等。,若从阳性率（死亡率、感染率等）为的总体中随机抽取大小为n的样本，则出现阳性数为X的概率分布即呈二项分布，记为XB(n，).,二项分布有两个参数：总体率样本含量记作：XB(n，),在n个独立的个体中出现X个阳性的概率可由下式求出：,一、二项分布的适用条件和性质 (一) 二项分布
3、的适用条件 1. 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一，即分别发生两种结果的概率之和恒等于1； 2. 每次试验产生某种结果（如“阳性”）的概率固定不变； 3. 重复试验是相互独立的，即任何一次试验结果的出现不会影响其它试验结果出现的概率。,(二) 二项分布的性质 1. 二项分布的均数与标准差 在n次独立重复试验中，出现“阳性”次数X的 总体均数为总体方差为总体标准差为,若以率表示，则样本率p的 总体均数为总体方差为 总体标准差为,样本率的标准差也称为率的标准误，可用来描述样本率的抽样误差，率的标准误越小，则率的抽样误差就越小。 在一般情形下，总体率往往并不知道。此时若用样本资料计算样本率p=
4、X/n作为的估计值，则 的估计为:,2.二项分布的图形 对于二项分布而言，当=0.5时，分布是对称的，见图；,当 0.5时，分布是偏态的，但随着n的增大，分布趋于对称。当n 时，只要不太靠近0或1，二项分布则接近正态分布。,二、二项分布的应用 (一)总体率的区间估计 1. 查表法 2. 正态近似法,1. 查表法 对于n 50的小样本资料，直接查附表6百分率的95%或99%可信区间表，即可得到其总体率的可信区间。 例6-2 在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，据此资料估计该吻合术妇女受孕率的95%可信区间。,本例n=13，X=6。查附表6，取0
5、.05时，在n=13（横行）与X=6（纵列）的交叉处数值为1975，即该吻合术妇女受孕率的95%可信区间为（19%，75%）。附表6只列出 的部分。当 时，可先按“阴性”数n-X查得总体阴性率的 可信区间QLQU，再用下面的公式转换成所需的阳性率的 可信区间。 PL=1-QU， PU=1-QL,2. 正态近似法 根据数理统计学的中心极限定理可得，当n较大、不接近0也不接近1时，二项分布B(n，)近似正态分布，而相应的样本率p的分布也近似 正态分布。为此，当n较大、p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5时，可利用样本率p的分布近似正态分布来估计总体率的可信区间。,的 可信区间为：如：
6、的95%可信区间为的99%可信区间为,例：在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者100人，发现55人有效，试据此估计该药物治疗有效率的95%可信区间。,(二)样本率与总体率的比较 1.直接法 在诸如疗效评价中，利用二项分布直接计算有关概率，对样本率与总体率的差异进行有无统计学意义的比较。比较时，经常遇到单侧检验，即“优”或“劣”的问题。那么，在总体阳性率为的n次独立重复试验中，下面两种情形的概率计算是不可少的。,（1）出现“阳性”的次数至多为k次的概率为:（2）出现“阳性”的次数至少为k次的概率为,例6-4 据报道，对输卵管结扎了的育龄妇女实施壶腹部-壶
7、腹部吻合术后，受孕率为0.55。今对10名输卵管结扎了的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术，结果有9人受孕。问实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率是否高于壶腹部-壶腹部吻合术？ 显然，这是单侧检验的问题，其假设检验为 H0：=0.55 H1：0.55=0.05,对这10名实施峡部-峡部吻合术的妇女，按0.55的受孕率，若出现至少9人受孕的概率大于0.05，则不拒绝H0；否则，拒绝H0，接受H1。 本例n=10，=0.55，k=9。按公式（6-12）有:,按=0.05水准，拒绝H0，接受H1，即认为实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率要高于壶腹部-壶腹部吻合术。,2.正态近似法 当n较大、p和1-p均不太小，
8、如np和n(1-p)均大于5时，利用样本率的分布近似正态分布的原理，可作样本率p与已知总体率0的比较。检验统计量u值的计算公式为:,例6-6 对某疾病采用常规治疗，其治愈率为45%。现改用新的治疗方法，并随机抽取180名该疾病患者进行了新疗法的治疗，治愈117人。问新治疗方法是否比常规疗法的效果好？本例是单侧检验，记新治疗方法的治愈率为，而0=0.45。其假设检验为 H0：=0.45 H1：0.45=0.05,本例n=180，p=117/180=0.65查u界值表（t界值表中 为 的一行）得单侧 。按 =0.05水准，拒绝H0，接受H1，即新的治疗方法比常规疗法的效果好。,(三)两样本率的比较
9、 两样本率的比较，目的在于对相应的两总体率进行统计推断。 设两样本率分别为p1和p2，当n1与n2均较大，且p1、1-p1及p2、1-p2均不太小，如n1p1、n1(1-p1)及n2p2、n2(1-p2)均大于5时，可利用样本率的分布近似正态分布，以及独立的两个正态变量之差也服从正态分布的性质，采用正态近似法对两总体率作统计推断。,检验统计量u的计算公式为：,例6-7 为研究某职业人群颈椎病发病的性别差异，今随机抽查了该职业人群男性120人和女性110人，发现男性中有36人患有颈椎病，女性中有22人患有颈椎病。试作统计推断。 记该职业人群颈椎病的患病率男性为1，女性为2，其检验假设为 H0：1=2 H1：12=0.05,本例 n1=120，X1=36，p1=X1/n1=36/120=0.30；n2=110，X2=22，p2=X2/n2=22/110=0.20,查u界值表得0.05P0.10。按=0.05水准，不拒绝H0，即尚不能认为该职业人群颈椎病的发病有性 别差异。,
