1、选修 2-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:18384718501第 3 章 空间向量与立体几何1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 奎 屯王 新 敞新 疆同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图） 。; ;OBAabBAOab()PaR运算律：加法交换律： 加法结合律： )()(cc数乘分配律： 3. 共线向量。（1）如果表示空间
2、向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， 平行于 ，记作 。abba/当我们说向量 、 共线（或 / ）时，表示 、 的有向线段所在的直b线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ ） ， / 存在实数0ab ，使 。a4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量 不共线， 与向量 共面的条件,abp,ab是存在实数 使 。,xypayb5. 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，,c p存在一个唯一的有
3、序实数组 ，使 。,xzpxaybz若三向量 不共面，我们把 叫做空间的一个基底， 叫做基,abc,abc向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设 是不共面的四点，则对空间任一点 ，都存在唯一的三,OABCP选修 2-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:18384718502个有序实数 ，使 。,xyzOPxAyBzOC6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点 O，作， （两个向量的起点一定要相同） ，则叫做向量 与 的夹角，记作 ，且 。7. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中
4、的坐标：在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组OxyzA，使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系(,)xyzkiA(,)xyz中的坐标，记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标。O(,) z (2) 右手直角坐标系：右手握住 z 轴，当右手的四指从正向 x 轴以 90角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向；（ 3） 若 空 间 的 一 个 基 底 的 三 个 基 向 量 互 相 垂 直 ， 且 长 为 ， 这 个 基 底 叫 单 位1选修 2-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:183847
5、18503正 交 基 底 ， 用 表 示 。,ijk（4）空间向量的直角坐标运算律：若 ， ，则123(,)a123(,)b，,ba， ， 123,123(,)(aR，或123/,()ababR 321ba。0若 ， ，则 。1(,)Axyz2(,)Bxyz2121(,)ABxyz一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（5）模长公式：若 ， ，123(,)a123(,)b则 ，21|a 23| b（6）夹角公式： 。1222313cos|ab（7）两点间的距离公式：若 ， ，1(,)Axyz(,)Bxyz则 ，222211| ()ABx或 ,211(
6、)()dyz（8）空间线段 的中点 的坐标：,),221yxPx ),(zyxM2,2111zyx（9）球面方程： 22Rzyx8. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，,abO作 ，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ；且规定,OAaBbAOBab，显然有 ；若 ，则称 与 互相垂直，0,a,2记作： 。（2）向量的模：设 ，则有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，OAa记作： 。|a（3）向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量,ab|cos,b,积，记作 ，即 。b|cos（4）空间向量数量积的性质：选修 2-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒
7、来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:18384718504 。 。 = ，|cos,aeae0ba2|a2)(2)(（5）空间向量数量积运算律： 。()()b （交换律） 。a （分配律） 。cac9、空间向量在立体几何证明中的应用： ),(),(321321bCDaAB（1）证明 ，即证明 ，也就是证明 或/ABCD 321,baba32b（2）证明 ，即证明 ，也就是证明0 0321（3）证明 （平面） （或在面内） ，即证明 垂直于平面的法向量或证明/ABAB与平面内的基底共面；（4）证明 ，即证明 平行于平面的法向量或证明 垂直于平面内的AB两条相交的直线所
8、对应的向量；（5）证明两平面 （或两面重合） ，即证明两平面的法向量平行或一个面的/法向量垂直于另一个平面；（6）证明两平面 ，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一个面内。10. 运用向量的坐标运算解题的步骤：（1）建坐标系，求相关点的坐标（2）求相关向量的坐标（3）运用向量运算解题11. 用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题：（1） 两条直线的夹角：设直线 的方向向量分别为 ，,lm,ab两直线 , 所成的角为 ( ), =02 cosab,cos选修 2-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:18384718505（2
9、） 直线与平面的夹角：设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，lau直线 与平面 所成的角为 ( ), = ；l02 sina,cos（3） 二面角： 01 方向向量法： 2 法向量法：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；选修 2-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:18384718506同进同出，二面角等于法向量夹角的补角12. 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题.（1）点与直线的距离： ),cos(sinaAPAPd先 求（2）点到平面的距离： d= .|PAn如图 A 空间一点 P 到平面 的距离为
10、 d,已知平面 的一个法向量为 ,且,n与 不共线,Pn分析:过 P 作 PO 于 O,连结 OA. 则 d=| |= O|cos.AO , . ,ncosAPO=|cos |. d=| |cos |= .P,|（3）异面直线间的距离： nABCDd已知 a,b 是异面直线,CD 为 a,b 的公垂线, 的 方 向 向 量 ，是 直 线 A，B 分别在直线 a,b 上 nABCDd选修 2-1 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:18384718507（4）其它距离问题：1 平行线的距离(转化为点到直线的距离）2 直线与平面的距离（转化为
11、点到平面的距离）3 平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）13.补充：（1） 三余弦定理设 AC 是 内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 ， AB 与 AC 所成的角为 2，AO 与 AC 所成的角为 则12coscos.（2）三射线定理若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1,2,与二面角的棱所成的角是 ，则有222112sinsinisincos;1|80()(当且仅当 90时等号成立).（3）点 Q到直线 l距离22(|)(|hab(点 P在直线 l上，直线 l的方向向量 a=PA，向量 b=P).（4）异面直线上两点距
12、离公式 22cosdhmn. ,EAF.22s（ ）.(两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段 A的长度为 h.在直线a、b 上分别取两点 E、F， m, n,Ed).（5）三个向量和的平方公式22() 2ccbca2|os,|os,2|cos,abca （6）长度为 l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 123l、 、 ，夹角分别为 123、 、 ,则有2213ll2213cscs122213sinisin.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.（7）面积射影定理 cosS.(平面多边形及其射影的面积分别是 S、 ，它们所在平面所成锐二面角的为 ).选修 2-1 宝
13、剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:18384718508（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是 l,侧面积和体积分别是 S斜 棱 柱 侧 和 V斜 棱 柱 ,它的直截面的周长和面积分别是 1c和 S,则 1Sl斜 棱 柱 侧 . V斜 棱 柱 .（9）欧拉定理(欧拉公式) 2FE(简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F).1 =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n的多边形，则面数 F 与棱数 E 的关系： nF212 若每个顶点引出的棱数为 m，则顶点数 V 与棱数 E 的关系：. mV21(10) 球的组合体1 球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.2 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.3 球与正四面体的组合体: 棱长为 a的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .a126a46
