高数下册各章总复习题及答案.doc

1、第八章 多元函数微分法及其应用8.01 在“充分” ， “必要” ， “充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1） y,xf在点 ,可微分是 y,xf在该点连续的充 分条件； y,xf在点 ,连续是 在该点可微分的必 要条件。（2） ),(fz在点 ,的偏导数z及 存在是 ,f在该点可微分的必 要条件；y,x在点 ,可微分是函数在该点的偏导数 xz及 y存的充 分条件。（3） ),(fz的偏导数 xz及 y点 ,存在且连续是 ,f在该点可微分的充 分条件。 （4）函数 y,f的两个二阶混合偏导数 yxz2及2在区域 D 内连续是这两个二阶混合偏导数在 D 内相等的充 分条件。8.02 求

2、函数 2yx1ln4,f的定义域，并求,flim0y21x。解：1)10yx1422，定义域： x4y,1x,D222)由初等函数的连续性知： 43ln021ln4)0,21(f),x(flim20y21 8.03 证明极限420yxli不存在。证明：当点 ,沿用 xk1趋于点 0,时，有220x420xky k1limli1 ，显然它是随着 k的不同而改变的，故：极限420yli不存在。8.04 设0yx,x,f 22求 y,xf 及 ,fy解：1) 当 0y2时，2422y 2322x yxyx,f, 2) 当 0x2时， 0,f,0flim，故： 0,fxy,fli0y，故： ,fy于是

3、：0x,02x,f 23xy,y,f 22y8.05 求下列函数的一阶和二阶导数：（1） 2xlnz；解： 2yxz,y222 11x， 222 yx1yxz2222 yyyz （2） .解：xlnz,xy1y xlny1xlnyxyxz lzy112 y222 8.06 求函数 2当 03.,.,时的全增量和全微分。解：1) 6941203.1.03.1, 2z，67.012,z74,2)2322x yxy2322yz1.90,2z,56.091,2zyx 0286.3.56.12zdy03.y1x,2 8.07 设.0yx,f232；证明：在点 0 处连续且偏导数存在，但不可微分.证明：1

4、) 231230，于是： 0yxlim230y即： 0,fy,xflim0y; 即： ,f在点 ,O连续lix, 0li0yfy即： ,f在 ,O处的偏导数存在，且 ,fx3) 假设 y在点 0处可微，则有：dyfdy0y 又 2320yxfyx *22 2223200yxyxdffyxyx 书中 18 页已证明： 0ylim不存在，故(*) 式在 0y时极限不存在，即： x0yxdf不能表示为 22的高阶无穷小，于是， ,在处不可微分。8.08 设 yu，而 ty,t都是可微函数，求 dtu.解：xlnxdtutxdt y18.09 设 w,vfz具有连续偏导数，而 w,v,u；求 z,。解

5、： wzvzuuwzuvzuz8.10 设 yxe,f，其中 f具有连续的二阶偏导数，求 yxz2.解：2121uxz1y231y21y1y2 23 213yy2 fefefxfexuu 8.11 设 uvz,sin,vcoxu.试求z和 .解：将 两边同时对 ,y 求偏导数 1yvsineyuvcose0xx1u将 vsinexu两边同时对 , 求偏导数 2yvcoseyusie1xxnu联立 2,式得：sinx,vcosxuu vcoeyine于是: xvzuxzuuevsinsusicoecoeinyyu uu 8.12 求螺旋线 bz,sia,cx在点 0,a处的切线法平面方程.解：

6、0,0,az,Tb,acos,n切线方程： ay，即： zyx法平面方程： 0zbx，即： 08.13 在曲面 z上求一点，使这点处的法线垂直于平面 9zy3，并写出这法线的方程.解：曲面 xyz在点 0z,处的法线向量为： 1,xyn0平面 93的法向量为： 1,30当n 0时,曲面 在点 z,yx处的法线垂直于平面,此时, 0, 0 , 0于是,点 ,1即为所求,此时,所求法线方程为: 13z38.13 设 x 轴正向到方向 l的转角为 ，求函数 22yxy,f在点 1,沿方向 l的方向导数。并分别确定转角 ，使这导数有：（1）最大值；（2）最小值；（3）等于 0。解：yxf,y2f, f

7、,1,1, 于是,函数 x在点 ,沿方向 l的方向导数为: 42yff sinsicosincol当 4时, 有最大值 2; 45时, lf有最小值 ;3或7时,0fl.8.15 求函数 2zyxu在椭球面1czbax22上点 00zyxM处沿外法线的方向导数.解: 椭球面上点处的法线向量为: 2020,yn, 其方向余弦为:420420czbyaxcos, 420420czbyaxos, 420420czbyaxos0uz0uy0uxzyx ,uu,u 000于是,函数 在点 0处沿n的方向导数为: coscoscoslf 000 uzuyux42042042042020 czbyaxczb

8、yaxzbya (因 00z,yxu在椭圆球面上 )8.16 求平面1543和柱面 1yx2的交线上与 xoy平面距离最短的点.解：平面与柱面的交线到 xoy面上的最短距离为函数4y3x-15=z的条件x2y1下的最小值 ,作 Lagrne函数：51-x3y42令: xLyxxy253041解得条件驻点x=45y,3,最小值z=512。于是点 53,即为所求。8.17 在第一卦限内作椭球面1czbyax22的切平面，使该切面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切面的切点，并求此最小体积。解：设 Mx,yz00为椭球面上在第一象限内的点。椭球面在处的法向量为：nxaybzc202,切平面为：

9、0-a200 即：xybzc0221切平面在三个坐标轴上的截距分别为 02xa， yb， 02zc，该四面体体积为：v2016又因点 ux,yz00在椭球面上 3202020 czbyaxczba,当且仅当 abc20213时等号成立。于是：xyz（当xayc00 ， ， 30z时等号成立） 。于是：v2bc2016, 当b000 ， ， 3时等号成立。故当平面的切点为a3,时,切平面与坐标面所围成的四面体的体积最小,为32abc。第九章 重积分9.01 计算下列二重积分：（1） Dydsinx)(，其中 D 是顶点分别为（0，0） ， （1，0） ， （1，2）和（0，1）的梯形闭区域；解：

10、区域 D: 10+D01xydsin)(dysin)x1(2sinco1sinco23 )1x(di)1x()()(cs0102 (2) D2d)yx(其中 D 是闭区域： x,iy0；解： xsin02d)(3ysi02940xcos2 xcos31dxsini )(d2c0 002| （3） D22dyxR，其中 D 是圆周 Rxyx2所围成的闭区域；解： cos,),(Rr0rD2s022 rddyxy=x+121D xx0 1y=sinx01xx2+y2=Rx0 R xyDD34R1R3cosd)(21sin3diR)r(3210232cosR022/3（4） D2d9y6x3，其中

11、D 是闭区域： 22yx解：区域 D: 00,r D2R0 2232 dr9sinr6corsinris 002002242699ddrrRRR9.02 交换下列二次积分的顺序：（1） )4y(21-0dxf,d解：Dyy(,)(),12440x,x2, 40024)4y(1 2dy),(fd,fd（2） 2y301,解： 31,x)(,x),(D,y23021y010y dx),(fd),(f20x3,yxy0 231D1D12 x-2 0Dyy=2x+4244（3） 2x10dy)f(,d解： Dx(,),1012D2其中 x10 yy2 2(,),D10xd)(fd,f21y0y 22

12、dxf),(,9.03 证明: a0x)m(ax)-m(aa dfee证明: ,Dy)(defxdefxdyamamaD0( ()x)a(0ax)xa(mfe(，证 毕 。9.04 把积分 Ddyxf),(表为极坐标形式的二次积分，其中积分区域 D 是1y2，解： Dxyx(,),21曲线 的极坐标方程： rtgsec曲线 的极坐标方程：区域 D 在极坐标系下有： D123其中:40,tsecr0),(1 4,r),(,43,tgsecr0),(D32 0tgsecdsinr,ofdxy,f43cs)ir,(f43tgsec0rd)sin,or(f9.05 把积分 dxyzf),(化为三次积分

13、，其中积分域是由曲面 2z， 2及平面 y=1,z=0 所围成的闭区域D2 xy120 1 x20aDyxy=xaD10y=11yxy=x2D3D21-1xyzo解：区域 在 xOy 面投影为 Dxy它由抛物线 2xy与 1围成fzd(,)2yx0y0 dz),(fd221x9.06 计算下列三重积分：（1） dxyz2,其中 是两个球： 22Rzy和 Rz2yx2（R0）的公共部分。解： 0,3,cosR2r0),r(20,3,r),r(zdxydrdR2023220cosinsrrdrR03220cosin645251813607594873232035ddRcosinsinco（2） d

14、v1zyxz22)ln(,其中 是由球面 1zyx2所围成的闭区域。解：区域 ： 关于坐标面均对称（特别就平面 o）而被积函数fxyz(,)ln()221关于 z 为奇函数0dvzyx（3）2)(，其中 是由 xOy 平面上曲线 x2y绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 x=5 所围成的闭区域。解：区域 ：0,1r0,5x2r 52r1022 dxdvzy)(501053dr)2(2350r41069.07 求平面1czbyax被三坐标面所割出的有限部分的面积。解：由已知得AzxydxDxy122dcabba220222b1222abca9.08 在均匀的半径为的半圆薄片的直径上，要接一个一边与直

15、径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀薄片另一边的长度应是多少？解：建立如图所示直角坐标系 整个均匀薄片所在区域关于 y 轴对称；0x由已知题意，要求整个均匀薄片的重心恰好落在圆心( 坐标原点) y，即 D0d又20xRy1202dRRyxd2020R0320x Ry3y203203 y32020；即所接均匀矩形薄片另一边的长度应是9.09 求由抛物线 2xy及直线 1y所围成的均匀薄片（面密度为常数 ）对于直线 1y的转动惯量。yxz2zxy0D-R Ry0xy0baDxy0 xy12xy-1 1D解：令 1yvxu则Ju,10vyuxIVdv

16、yD12 1222,xD dydxyvuJ10642113 372x58572039.10 设在 xOy 面上有一质量为 M 的匀质半圆形薄片，占有平面区域： 22Ryx，0y的，过圆心 O 垂直于薄片的直线上有一质量为 m 的质点 P， aO求半圆形薄片对质点 P 的引力。解：由 已 知，令 为 面 密 度 ，薄 片 面 积 SR12， 薄 片 质 量 MS建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系 由 区 域 D 的 对 称 性 知 Fx0y ayxdGmF232RdrrM023202sinRararRGmM0222ln42 2lnD232z ayxdaF RardGmMa02322 1r

17、1RGmM22R0232zyxF,其 中 222y aRalnR40y xz Dpa 22RxR-R1aRGmM2F2z第十章 曲线积分与曲面积分10.01 填 空(1) 第二类曲线积分 Rdz+QyPdx化成第一类曲线积分是)dsRcoQs(Pco，其中 为 上点 (x,y)处切 向量 的方向角。(2) 第二类曲面积分zy化成第一类曲面积分是)dscos(Pco，其中 为 上点 (x,yz)处的法 向 量的方向角10.02 计算下列曲线积分：(1) dsyxL2,其中 L为圆周 axy2解：:ax表示为参数方程:=2cosyin()02有 csa,siax y422)cos1(2a=xy2d

18、acos+1adsx0L d4022a20sini(2) zds,其中 为曲线 tcosx， ti， tz， 0t解：:csin()tyzt00xytttt222dstd20 )(d1t0x2+y2=ax0 a xya/2L32)t(0t)2(31/20/3(3)Lxdy)a2(,其中 L为摆线 tsinax， )tcos1(ay上对应 t从 0到的一段弧。解: 20 )ti()tco1()(dsasita22020 22atdcos)tcs(int)intt(4)dzxyd)zy(2，其中 是曲线 32tz,y,tx上由 01到1t2的一段弧。解: ()()tttd2246520132d35

19、1t7105（5） Lxx dy)2cose(d)y2sine(，其中 L 为上半圆周 22ay)x(，0y沿逆时针方向。解: 补直线段 OAa:(),0由格林公式 ,有DxxOALdy2dy)2cose(s)ine(区域 D 的面积a又 LOAOA2Lxx a0OAdy)cose(d)y2sine( x（6） z，其中 是用平面 z截球面 1z2所得的截痕，从 z轴的正向看去，沿逆时针方向Dyx0 2aa(x-a)2+y2=a2LA解: yzx221， 用参数方程表示为:xtyztcosin(:)1202tdcos2tsintcod0 00 dt4cos16dt)(si61t4i821601

20、0.03 计算下列曲面积分：（1）dszyx22，其中 是界于平面 0z及 H之间的原柱面 22Ryx解： 投影到 o平面上的投影为 yzD12 其中Hz0,Ry:Dx1),z0(y:Rx),Hz0(y:yz 22z2 22zdsxdsyx1dszyx121 2222 12122200zyzRddRarctgzDHHxy(arcsin)()2RrtRarctgH()（2）dxy)(z)x(dy)z( 22，其中 为锥面2yxz,hz0的外侧。解：补平面 :1上侧（如上页下图） ，与 构成一封闭曲面： 1的外侧x0zy 1Dxyhx2+y2=h2x0zyRH(10.03 (1)图)(10.03

21、(2)图)由高斯公式得:0dxy)(dzx)(dyz)(1 222 又 11故 1dxy)(dz)x(dyz)( 222 20320420324h02D 2 dsinhdcos1d)sincoh( r)inr(dxy) dxy1coshi1400（3）zdxyyxdz，其中 为半球面22yxRz的上侧解: 补平面 h:1下侧,与 构成一封闭曲面：1的外侧；由高斯公式得: d)1(zdyxdz13区域 的体积 2433R又 xdyzzdxy1 0，11xdyzzdxyR2033（4） 322，其中 为曲面9)1y(62x5z2)0z的上侧。解: 补平面 0z:1下侧, 与曲面 构成一封闭曲面：

22、1的外侧；而xyzyzxzxyzxyz()()()()2232252222352x0zy 1RR x2+y2=R2R2由高斯公式得： 1 322)zyx(dxd0d)z2y(zy25222 又xy1 D32322 dx)0()x(dd yxyD（其中196:D2y）)zx(dd1322 （5）yz，其中 为曲面 zyx22 0y,x的外侧解：方法 1:ddd上 下20123D2D2dr1cosinrdxy1xy2 )(x 5sirdcosin20103 其中： 0231023 dt)sin(tcotr令1520ti5ti1tidsn)ti1( 302 方法 2：补 )zy(,0x:,zx,y:

23、243 由高斯公式得: xydddyxzd4343 15234drsindcosinsincor1040320122 而 xyzxyz34d15210.04 证明： 2yx在整个 xOy 平面的除去 y的负半轴及原点的开区域 G内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数0 xyA(0,1)B(0,y)C(x,y)证明：PxyQy22,x02(),xdy2在整个 oy平面除去 y 的负半轴及原点的开区域 G 内是某个二元函数的全微分。uxd(,)(,)201 BC2AB2yxdyxd)yxln(2 ln1)ln(1l2y10.05 设在半平面 0内有力jirkF3构成力场，其中 k 为常

24、数，2yxr；证明在此力场中场力所作的功与所取路径无关。证明： WPdxQyL(,)(,)kkyxd()()2323又 yxy2525225225yxk33kQ故 P(x,y),Q(x,y)在单连通区域: 半平面 0,有一阶连续偏导数。xPy在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。10.06 求均匀曲面22yxaz的重心的坐标解：曲 面 在 xOy 面投影为 xyD： 22a22y22x a,a22yxxz1又 是关于 yoz 面, xoz 面对称, zdsa21dsz,00又 dsaxyxyxDxy22adxyDa区域 xy的面积 32a z32重心 0,10.07 设 ,u ,v在闭区域

25、D 上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线 L 为的正向边界曲线。证明：（1）dsnuvdxygrauudxyvD （2）LD snv其中 nuv分别是 u 沿 L 的外法线向量 的方向导数,符号 2yx称二维拉普拉斯算子证明：令 为 x 轴正向到方向 n的转角为 x 轴正向到切线方向 的转角则 2又 dsdscoinyiunxuyi根据格林公式：dsdsdsLLcoinuxdyuydxxuyydxudxLDDD222ugradydxdunsDDL（2）由（1）知 nsuxygradxyLD同理 udduDLnTT由上两式作差：()()undsudxyLD；证毕 。10.08 求向量 kzjy

26、ixA通过区域 ： 1x0， ， 1z0的边界曲面流向外侧的通量解：由已知条件得所求通量为： ndsivAd3的体积 310.09 求力 kxjziyF沿有向闭曲线 所作的功，其中 为平面 1zyx被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从 z轴正向看去，沿顺时针方向解：取 为平面 y10,()下侧被 围成, 的单位法向量13n即 31coscos,令 Dxy为 在 xoy 面的投影;由斯托克斯公式有： Wydxzsxzy31xyDd3ds3xy的面积 2第十一章 无穷级数11.01 填 空（1）对级数1nu； 0limn是它收敛的必 要条件，不是它收敛的充 分条件。（2）部分和数列 s有界是正

27、项级数1nu收敛的充 要条件。（3）若级数1nu绝对收敛，则 必定收 敛；若级数1nu条件收敛，则1nu必定发 散。11.02 判别下列级数的收敛性0z111yxDxy（1） n;解： 1nlim1li 级数发散。（2）1n2!;解： 1nlim1nli!li 22; 原级数发散。（3）1nn23cos;解： 0 n2而1n是收敛的; 原级数收敛。（4）1nl;解： lim10; 级数发散。（5）)s,a(n1s解： a1nalim1nliuli snsn 当 a时级数发散; 当 0时级数收敛 ;当 时：原级数为 时 ；发 散 时 ；收 敛 s1ns故原级数 1s0,aa1ns发 散收 敛发

28、散 收 敛11.03 设正项级数1nu和 1nv都收敛，证明级数1n2nvu也收敛。证明： 收 敛 ， ,N,时 ，当 同理 ,10n0,0n2n22nn收敛。又vun， vu收敛。 故 2nvu也收敛11.04 设假设1n收敛，且1limn，问 n是否收敛？试说明理由。解：不一定。如：1uvlim,)n(1v,un2n ， n是收敛的；又如：,)1(n 1n)(1lin)(lim11n 但1nv是发散的。11.05 讨论下列级数的绝对收敛性和条件收敛性。（1） pn)(解：1当 p1 时收敛 故绝对收敛。 当 p0时，属交错级数；而1np发散. 故条件收敛。当 p0 时，很显然原级数发散（2

29、）1n1nsi)(解：1n1n1nsi)( 原级数绝对收敛。（3）1nl)(解：1nlimn1li ; 故 n1l发散但l)(是交错级数 ; 原级数条件收敛。（4）1n1n!解：1)n1(lim!n)1()(limulin1 原级数绝对收敛。11.06 求下列极限：（1）;)k(3nli21k解： )单增小于 e, kkk)3e(1(32故 2k1k)(3收敛于定值 s， 原式0nslim（2） nn312719(84lim解：nnn 32)1(4327931913) 极限值为)(4lim82nn11.07 求下列级数的收敛区间。（1）nnx53解：531lin，1x5x时，级数发散， 时，级

30、数收敛；故收敛区间 5x（2）n1n)(2解：e)1(limli nn2e1x0ex1 ， 故 收 敛 区 间 为时 ， 级 数 的 一 般 项与（3）1nn)(解：时 收 敛 ；1x)1(xlimn10x2;区 间 为时 ， 显 然 发 散 ， 故 级 数 （3）n21n解：2x12xxlin)1n(2 即时，级数显然发散，故收敛区间为 ),(。11.08 求下列级数的和（1）)1n(2nx解：)1t()t1(t)n2()ttt 21)n(21 2)1n(21n)1n(21n )x(xx)2( 2,)x2(4)1(2x2)n(1n （2）11)(nn解：1x,x)(2)(21n1n,arct

31、g（3）)(x解：1t,)1(nt1t,t 211n x,)x()()x(2n（4） n()1解： 1n1 1x,)l(,xx,)l(1)n()(1n 11.09 求下列各项级数的和：（1） n2!解：Rx,e!nRx,e11 e2!nx,)(x ,)1(,!1n2 n12（2）()!12n解： 0n0n1n2 )!12()1siRx,(xsi2sinco)!12()!1n2()1sico !(: 0n0n0nn从 而同 理11.10 将下列函数展开成 x 的幂级数：（1） ln()x2解：12又 n2221 t!)21()3(t!)3(t)t()x(xx!n1)(8x24 1)06)1xln

32、( 1n532 （2） 解：t,t10n1n2t)t(x,41)2x()2(n11.11 设 )(f是周期为 的函数,它在 ,上的表达式为,0xe)(f， 将 x展开成 Feurier 级数。解： 0xn ndcose1ndcos1a)1()i(e2n0x2 1n221nn12 0x20n xsico)(e2e)(xsie)()x(f )e1cossidsb11.12 将函数 xh01)x(f分别展开成正弦级数和余弦级数.解：将 作奇延拓,则 n)hcos1(2nxdsisin)(bhh0n 1nxco2)x(f同理 偶延拓,则 h2dx1a,nhsi2dcs1a h0hn1nxosi2h)x

33、(f第十二章 微分方程12.01 求以 1ycx2为通解的微分方程。 （其中 c为任意常数）解：两边对 求导得： 0 yc由2故： 两边平方得： 22y1 整理后得： y12.02 求以 x2x1ec为通解的微分方程。 （其中 21c,为任意常数）解：两边对 求导得： xx21eec 两边再对 求导得： y由 yecx1故： 32整理后得： 012.03 求下列微分方程的通解。（1） xy解：这是一个齐次方程，令 ux，则xu2dxu整理后得： d2由 xdu1u1ud2 两边积分，得： clnxln故其通解为： cyx （c 为常数）（2） laly解：令 u，则1xlnaudxn整理后得：

34、l1ad两边积分，得： cll故其通解为： xncy（3） xyln2d解：作变换 yln2（1）这是一个非齐次的一阶线性微分方程，作对应于（1）的齐次微分方程yxd（2）用分离变量法求（2）的通解为： 2cy用常数变易法，作： 2 （3）得：32ycdyx（4）将（3） ， （4）代入（1）得 yln2c 332 得 ylnc两边积分得：y21l故其通解为：cx（c 为常数）（4）0yd3解：这是一个 Bernoulli 方程，两边同除 3y，得：323xyd作变换 2yz，则x2zdxz（1）这是一个非齐次的一阶线性微分方程解（1）的齐次线性方程2的通解为：2xce作常数变易法： xecz

35、 （2）得：dx22x（3）将（2） ， （3）代入（1）得：2x3e)(解得： c1ec2x故方程的通解为： 2xyz2既 0 y2x2（c 为常数）（5）dyxd2解：这不是一个全微分方程，但把方程分成两部分为0dyxdyxydx22在前一个括号内，有2在后一个括号内，有dyxdyxarctnd22故两个括号内的为两个全微分方程故其通解为 121y.U.x即 cartny2（c 为常数）（6） 0解：设 p，则 dp故原方程化为 1y2，即 yd1p2解得： cp2，即 cdx即 1yd2得： 2ccarsh即 1x（ .1为常数）（7） siny52 （1）解：作二阶齐次微分方程为：0y52 （2）其特征方程为： rr有两个共轭复根： i1 i21r2故方程（2）的通解为： xsncoey1x由于 xsin是 i2e的虚部则方程（1）的特解为ix25 （3）的解的虚部由 i2不是（2）的特征根，作（3）的特解 ix2eBAy)C.(ix2i （4）x24将（4）代入（3）得： 1iii4