1、 第三节 函数奇偶性（高一秋季班组第五次课 10.05） 1 教学目标1.了解奇偶函数的概念，会判断函数奇偶性；2.奇偶性的应用3.奇偶性与单调性综合2 教学内容1.偶函数：一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 就)(xf x)(xff)(xf叫做偶函数。奇函数：一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 就)(xf x)(xff )(xf叫做奇函数。奇偶性：如果函数 是奇函数或偶函数，那么就说明函数 具有奇偶性。)(xf )(xf正确理解函数奇偶性的定义：定义是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若 是定义域中的一个x数值，那么- 也必然在定义域中
2、，因此，函数 是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定x )(xfy义域在数轴上所示的区 间关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。无奇偶性函数是非奇非偶函数；若一个函数同时满足奇函数 与偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。两个奇偶函数四则运算的性质：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的积是偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。例 1.判别下列函数的奇偶性： f(x)|x1|+|x 1| ; f(x) ; f(x)x ; f(x) ; f(x)x ,x-2,323122思考：f(x)=
3、0 的奇偶性？练习 1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x 2|x| 1 ，x 1,4；(2)f(x) ；1 x2|x 2| 2(3)f(x)(x 1) ； (4)f(x)Error!1 x1 x2奇函数 yf(x)(xR)的图像必过点( C )A(a ， f(a) B( a，f(a) C(a ，f(a) D(a，f( )1a解析 f(a)f(a)，即当 xa 时，函数值 yf(a)，必过点(a ，f(a)3已知 f(x)为奇函数，则 f(x)x 为( A )A奇函数 B偶函数 C既不是奇函数又不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数解析 令 g(x)f(x)x，g(x)f(x) x f(x)xg
4、(x)4设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( A )Af(x)|g(x)| 是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)| g(x)是偶函数 D |f(x)|g(x)是奇函数解析 由 f(x)是偶函数，可得 f(x)f(x)由 g(x)是奇函数，可得 g(x)g(x)由|g(x)|为偶函数， f(x)|g(x)|为偶函数5.设 f(x)ax bx5，已知 f(7)17,求 f(7)的 值。76.已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且 f(x)g(x) ，求 f(x)、g(x)。1x7设 f(x)是偶函数， g(x)为奇函数，又 f
5、(x)g(x) ，则 f(x)_，g(x)_.1x 1答案 ，1x2 1xx2 1解析 f(x)g(x) ， f(x)g( x) .又 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)1x 11 x 1g(x) . ，得 f(x) ，得 g(x)1 x 11x2 1xx2 1.8.已知函数 f(x)，对任意实数 x、y，都有 f(x+y)f(x)f(y)，试判别 f(x)的奇偶性。9.已知 f(x)是奇函数，且在 3，7是增函数且最大值为 4，那么 f(x)在-7，-3上是 函数，且最 值是 。10.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数，其定义域为a-1,2a ，求函数值域。211
6、.设函数 为奇函数，则 (1)xafa12设 f(x)是( ，)上的奇函数，f(x 2) f(x) ，当 0x1 时，f(x) x，则 f(7.5)_.答案 0.513设 f(x)是定义在( ，) 上的奇函数，且 x0 时，f(x)x 21 ，则 f(2)_.答案 5 解析 由 f(x)在(，) 上是奇函数，得 f(x) f(x)，即 f(2)f(2)，而 f(2)22 15.f(2)5.2.奇函数、偶函数的图像的性质：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形（奇函数的图像不一定过原点）；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇
7、函数。由于奇函数的图像关于原点对称，那么我们可以得出结论：如果奇函数 的定义域为 R 时，那么必有)(xf。0)(f如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以 y 轴为对称轴 的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以 y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶 函数。f(x)f(|x|)例 2. 是偶函数，图像与 轴有四个交点，则方程 所有实根之和是（）)(xfx0)(xf（A）4 （B）2 （C）1 （D）0练习 1.若函数 是定义在 R 上的偶函数，在 上是减函数，且 ，则使得 的 x)(xf ,()2(f)(f的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）（2，2）)2,(),2()
8、,(2,(2.设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）fx(0， 1)0f()0fx（A） （B） 来源:Zxxk（C ） （D）1)， ， (， ， (1)， ， (1)0， ，3.设 是定义在 R 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，(xf )xfy2x则 =_5()43()2ff4.已知定义域为 R 的函数 在 上为减函数，且函数 为偶函数，则（ ）x,8)8(xfy（A） （B） （C） （D）)7(6f)9(6f)97(f)10(7ff5.下面四个结论：偶函数的图像一定与 y 轴相交；奇函数的图像一定通过原点； 偶函数的图像关于y 轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函
9、数一定是 f(x)0(xR) 其中正确命题的个数是( a )A1 B 2 C3 D43.函数的奇偶性与单调性之间的关系：一般地，若 为奇函数，则 在 和 上具有相同的单调性；若 为偶函数，则)(xf)(xf,ba,)(xf在 和 上具有相反的单调性 。)(f,ba,若奇函数 f(x)在a ，b上是增函数，且有最大值 M，则 f(x)在 b，a上增函数，且有最小值-M .例 3.定义在 上的奇函数 在整个定义域上是减函数，若 ，求实数 的取)1,()(xf 0)1()(2aff a值范围。练习 1定义在2,2上的偶函数 f(x)在区间0,2上是减函数，若 f(1m)|m|，两边平方，得 m0，求
10、实数 m 的取值范围【解析】 由 f(m)f(m1)0，得 f(m)f(m1)，即 f(m)f(1m)又f(x)在0,2上为减函数且 f(x)在2,2上为奇函数，f(x)在2,2上为减函数Error!解得Error! 1m0，则( A )Af(x 1)f(x 2) Bf( x 1)f(x 2) Cf(x 1)f(2) Cf( 1) f(2) D不确定6已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且有 f(3)f(1)则下列各式中一定成立的是( A )Af(1)f(2) Df(2)f(0)解析 f(x)为偶函数，f(3)f(3)，f(1)f(1) ，又 f(3)f(1)，f(3)f(1)，f(3)f(1)都成立7设 f(x)为定义在 (，) 上的偶函数，且 f(x)在0，) 上为增函数，则 f(2)，f()，f(3)则大小顺序是( a )Af()f(3)f(2)B f()f(2)f(3)Cf() ，即a0.由上述两种情况知 a(，)
