1、第 1 页（共 17 页）2015 年湖南省株洲市中考数学试卷一.选择题（每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分） （2015 株洲）2 的相反数是（ ）A 2B2 C D2 （3 分） （2015 株洲）已知 =35，那么 的余角等于（ ）A35 B55 C65 D1453 （3 分） （2015 株洲）下列等式中，正确的是（ ）A 3a2a=1Ba2a3=a5 C （2a3） 2=4a6 D （ab）2=a2b24 （3 分） （2015 株洲）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A等腰三角形 B正三角形 C平行四边形 D正方形5 （3 分） （2015 株洲）从
2、 2，3，4，5 中任意选两个数，记作 a 和 b，那么点（a，b）在函数 y= 图象上的概率是（ ）ABCD6 （3 分） （2015 株洲）如图，圆 O 是ABC 的外接圆，A=68 ，则OBC 的大小是（ ）A22 B26 C32 D687 （3 分） （2015 株洲）如图，已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B、D 、F，且 AB=1，CD=3，那么 EF 的长是（ ）第 2 页（共 17 页）ABCD8 （3 分） （2015 株洲）有两个一元二次方程 M：ax 2+bx+c=0；N：cx 2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四个结论中，错误的是（ ）A如果方程
3、 M 有两个相等的实数根，那么方程 N 也有两个相等的实数根B 如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同C 如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根D如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1二.填空题（每小题 3 分，共 24 分）9 （3 分） （2015 株洲）如果手机通话每分钟收费 m 元，那么通话 n 分钟收费 元10 （3 分） （2015 株洲）在平面直角坐标系中，点（ 3，2）关于 y 轴的对称点的坐标是 11 （3 分） （2015 株洲）如图，l m，1=120，A=55 ，则ACB 的大小是 12 （3 分） （
4、2015 株洲）某大学自主招生考试只考数学和物理计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算已知孔明数学得分为 95 分，综合得分为 93 分，那么孔明物理得分是 分13 （3 分） （2015 株洲）因式分解：x 2（x 2）16（x2）= 第 3 页（共 17 页）14 （3 分） （2015 株洲）已知直线 y=2x+（3 a）与 x 轴的交点在 A（2，0） 、B （3，0）之间（包括 A、B 两点） ，则 a 的取值范围是 15 （3 分） （2015 株洲）如图是“赵爽弦图”，ABH 、BCG、 CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是
5、正方形如果 AB=10，EF=2，那么 AH 等于 16 （3 分） （2015 株洲） “皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为 S=a+ 1，孔明只记得公式中的 S 表示多边形的面积，a 和 b 中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是 a 还是 b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图 1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ，并运用这个公式求得图 2 中多边形的面积是 三.解答题（共 7 小题，共 52 分）17 （4 分） （2015 株洲）计算：| 3|+（2015） 02
6、sin3018 （4 分） （2015 株洲）先化简，再求值：（ ） ，其中 x=419 （6 分） （2015 株洲）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买 20 个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品已知乒乓球每个 1.5 元，球拍每个 22 元如果购买金额不超过200 元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？第 4 页（共 17 页）20 （6 分） （2015 株洲）某学校举行一次体育测试，从所有参加测试的中学生中随机的抽取 10 名学生的成绩，制作出如下统计表和条形图，请解答下列问题：（1）孔明同学这次测试的成绩是 87 分，则他的成绩等级是 等；（2）请将条形统计图补充完整
7、；（3）已知该校所有参加这次测试的学生中，有 60 名学生成绩是 A 等，请根据以上抽样结果，估计该校参加这次测试的学生总人数是多少人编号 成绩 等级 编号 成绩 等级 95 A 76 B 78 B 85 A 72 C 82 B 79 B 77 B 92 A 69 C21 （6 分） （2015 株洲）P 表示 n 边形对角线的交点个数（指落在其内部的交点） ，如果这些交点都不重合，那么 P 与 n 的关系式是P= （n 2an+b） （其中 a，b 是常数，n4）（1）填空：通过画图可得：四边形时，P= （填数字） ；五边形时，P= （填数字）（2）请根据四边形和五边形对角线的交点个数，结合
8、关系式，求 a 和 b 的值 （注：本题中的多边形均指凸多边形）22 （8 分） （2015 株洲）如图，在 RtABC 中，C=90，BD 是ABC 的一条角平分线点 O、E、F 分别在 BD、BC 、AC 上，且四边形 OECF 是正方形（1）求证：点 O 在BAC 的平分线上；（2）若 AC=5，BC=12 ，求 OE 的长23 （8 分） （2015 株洲）已知 AB 是圆 O 的切线，切点为 B，直线 AO 交圆 O 于 C、D 两点，CD=2，DAB=30 ，动点 P 在直线 AB 上运动，PC 交圆 O 于另一点 Q第 5 页（共 17 页）（1）当点 P 运动到使 Q、C 两点
9、重合时（如图 1） ，求 AP 的长；（2）点 P 在运动过程中，有几个位置（几种情况）使CQD 的面积为 ？（直接写出答案）（3）当CQD 的面积为 ，且 Q 位于以 CD 为直径的上半圆，CQQD 时（如图 2） ，求AP 的长24、 （本题满分 10 分）已知抛物线的表达式为 26yxc（1）若抛物线与 x轴有交点，求 c的取值范围；（2）设抛物线与 轴两个交点的横坐标分别为 1、 2，若 216x，求 c的值；（3）若 P、Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB 都垂直于 轴，垂足分别为A、B，且OPA 与OQB 全等，求证： 4cyxxABOQP第 6 页（共 17 页）2
10、015 年湖南省株洲市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分）考点： 相反数菁优网版权所有分析： 根据相反数的定义即可求解解答： 解：2 的相反数等于2故选 A点评： 本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键2 （3 分）考点： 余角和补角菁优网版权所有分析： 根据余角的定义：如果两个角的和等于 90（直角） ，就说这两个角互为余角计算解答： 解：=35，它的余角等于 9035=55 Bn 故选 B点评： 本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键3 （3 分）考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平
11、方公式菁优网版权所有分析： 结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等运算，然后选择正确选项解答： 解：A、3a2a=a ，原式计算错误，故本选项错误；B、a 2a3=a5，原式计算正确，故本选项正确；C、 （2a 3） 2=4a6，原式计算错误，故本选项错误；D、 （ab） 2=a22ab+b2，原式计算错误，故本选项错误故选 B点评： 本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算法则是解答本题关键4 （3 分）考点： 中心对称图形；轴对称图形菁优网版权所有第 7 页（共 17 页）分析： 根据轴对称图形与中心对称
12、图形的概念求解解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形故正确故选 D点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合5 （3 分）考点： 列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a，b）在函数 y=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案解答： 解：画树
13、状图得：共有 12 种等可能的结果，点（a，b）在函数 y= 图象上的有（3，4） ， （4，3） ；点（ a，b）在函数 y= 图象上的概率是： = 故选 D点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比6 （3 分）考点： 圆周角定理菁优网版权所有分析： 先根据圆周角定理求出BOC 的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论解答： 解：A 与BOC 是同弧所对的圆周角与圆心角，A=68 ，BOC=2A=136OB=OC，OBC= =22故选 A点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一
14、半是解答此题的关键第 8 页（共 17 页）7 （3 分）考点： 相似三角形的判定与性质菁优网版权所有分析： 易证DEFDAB，BEFBCD，根据相似三角形的性质可得 = ， = ，从而可得 + = + =1然后把 AB=1，CD=3 代入即可求出 EF 的值解答： 解： AB、CD、EF 都与 BD 垂直，ABCDEF，DEFDAB，BEF BCD， = ， = ， + = + = =1AB=1，CD=3， + =1，EF= 故选 C点评： 本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现 + =1 是解决本题的关键8 （3 分）考点： 根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系菁优网版权所有
15、分析： 利用根的判别式判断 A；利用根与系数的关系判断 B；利用一元二次方程的解的定义判断 C 与 D解答： 解：A、如果方程 M 有两个相等的实数根，那么 =b24ac=0，所以方程 N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同，那么=b24ac0， 0，所以 a 与 c 符号相同， 0，所以方程 N 的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果 5 是方程 M 的一个根，那么 25a+5b+c=0，两边同时除以 25，得c+ b+a=0，所以 是方程 N 的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程 M 和方程 N 有
16、一个相同的根，那么 ax2+bx+c=cx2+bx+a， （a c）x 2=ac，由ac，得 x2=1，x= 1，结论错误，符合题意；故选 D第 9 页（共 17 页）点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根； 0方程没有实数根也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义二.填空题（每小题 3 分，共 24 分）9 （3 分）考点： 列代数式菁优网版权所有分析： 通话时间通话单价 =通话费用解答： 解：依题意得 通话 n 分钟收费为：mn 故答案是：mn点评： 本题考查了列代数式解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关
17、系10 （3 分）考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标菁优网版权所有分析： 根据关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案解答： 解：在平面直角坐标系中，点（3，2）关于 y 轴的对称点的坐标是（3，2） ，故答案为：（3，2） 点评： 本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数11 （3 分）考点： 平行线的性质菁优网版权所有专题： 计算题分析： 先根据平行线的性质得2=1=12
18、0，然后根据三角形外角性质计算ACB 的大小解答： 解： lm，2=1=120，2=ACB+A，ACB=12055=65故答案为 65点评： 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等12 （3 分）考点： 加权平均数菁优网版权所有第 10 页（共 17 页）分析： 先计算孔明数学得分的折算后的分值，然后用综合得分数学得分的折算后的得分，计算出的结果除以 40%即可解答： 解：（939560%） 40%=（9357 ）40%=3640%=90故答案为：90点评： 此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权
19、平均数13 （3 分）考点： 提公因式法与公式法的综合运用菁优网版权所有专题： 计算题分析： 原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可解答： 解：原式=（x2） （x 216）=（x2） （x+4） （x4） 故答案为：（x2） （x+4） （x4） 点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键14 （3 分）考点： 一次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有分析： 根据题意得到 x 的取值范围是 2x3，则通过解关于 x 的方程 2x+（3a）=0 求得 x 的值，由x 的取值范围来求 a 的取值范围解答： 解： 直线 y=2x+（3a ）与 x 轴的交
20、点在 A（2，0） 、B（ 3，0）之间（包括 A、B 两点） ，2x3，令 y=0，则 2x+（3a）=0，解得 x= ，则 2 3，解得 7a9第 11 页（共 17 页）故答案是：7a9点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征根据一次函数解析式与一元一次方程的关系解得x 的值是解题的突破口15 （3 分）考点： 勾股定理的证明菁优网版权所有分析： 根据面积的差得出 a+b 的值，再利用 ab=2，解得 a，b 的值代入即可解答： 解： AB=10，EF=2 ，大正方形的面积是 100，小正方形的面积是 4，四个直角三角形面积和为 1004=96，设 AE 为 a，DE 为 b，即 4
21、 ab=96，2ab=96，a 2+b2=100，（ a+b） 2=a2+b2+2ab=100+96=196，a+b=14，ab=2，解得：a=8，b=6，AE=8，DE=6 ，AH=82=6故答案为：6点评： 此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得 ab 的值16 （3 分）考点： 规律型：图形的变化类菁优网版权所有分析： 分别找到图 1 中图形内的格点数和图形上的格点数后与公式比较后即可发现表示图上的格点数的字母，图 2 中代入有关数据即可求得图形的面积解答： 解：如图 1，三角形内由 1 个格点，边上有 8 个格点，面积为 4，即 4=1+ 1；矩形内由 2 个
22、格点，边上有 10 个格点，面积为 6，即 6=2+ 1；公式中表示多边形内部整点个数的字母是 a；图 2 中，a=15，b=7，故 S=15+ 1=17.5故答案为：a，17.5点评： 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图形外格点的数目，难度不大三.解答题（共 7 小题，共 52 分）17 （4 分）第 12 页（共 17 页）考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值菁优网版权所有专题： 计算题分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果解答： 解：原式=3+12 =3+11=3点
23、评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18 （4 分）考点： 分式的化简求值菁优网版权所有分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可解答： 解：原式= =x+2，当 x=4 时，原式=6 点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键19 （6 分）考点： 一元一次不等式的应用菁优网版权所有分析： 设购买球拍 x 个，根据乒乓球每个 1.5 元，球拍每个 22 元，购买的金额不超过 200元，列出不等式，求解即可解答： 解：设购买球拍 x 个，依题意得：1.520+22x200，解之得：x7 ，由于 x 取整数
24、，故 x 的最大值为 7，答：孔明应该买 7 个球拍点评： 此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解20 （6 分）考点： 条形统计图；用样本估计总体；统计表菁优网版权所有分析： （1）根据题意确定各个等级的范围，得到答案；（2）根据频数将条形统计图补充完整；（3）计算 A 等的百分比，估计该校参加这次测试的学生总人数解答： 解：（1）由统计图可知 A 等是 85x100，孔明同学的成绩等级是 A 等；（2）如图：（3）60 =200，该校参加这次测试的学生总人数是 200 人第 13 页（共 17 页）点评： 本题考查的是统计表、条形图和用样本估计总
25、体，从统计表中获取正确的信息并进行分析计算是具体点关键21 （6 分）考点： 二元一次方程组的应用；多边形的对角线菁优网版权所有分析： （1）根据题意画出图形，进而得出四边形和五边形中 P 的值；（2）利用（1）中所求，得出二元一次方程组进而求出即可解答： 解：（1）如图所示：四边形时，P=1；五边形时，P=5；故答案为：1，5；（2）由（1）得： ，整理得： ，解得： 点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确关于 a，b 的等量关系是解题关键22 （8 分）考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有分析： （1）过点 O 作 OMAB，由角
26、平分线的性质得 OE=OM，由正方形的性质得 OE=OF，易得 OE=OF，由角平分线的判定定理得点 O 在 BAC 的平分线上；（2）由勾股定理得 AB 的长，利用方程思想解得结果第 14 页（共 17 页）解答： （1）证明：过点 O 作 OMAB，BD 是ABC 的一条角平分线，OE=OM，四边形 OECF 是正方形，OE=OF，OF=OM，AO 是 BAC 的角平分线，即点 O 在BAC 的平分线上；（2）解：在 RtABC 中， AC=5，BC=12，AB= = =13，设 OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AD=z， ，解得： ，OE=2点评： 本题主要考查了正方形的性质，以及
27、角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性质，运用方程思想是解本题的关键23 （8 分）考点： 圆的综合题；解一元二次方程-公式法；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有专题： 综合题分析： （1）如图 1，利用切线的性质可得ACP=90，只需求出 AC，然后在 RtACP 中运用三角函数就可解决问题；（2）易得点 Q 到 CD 的距离为 ，结合图形 2，即可解决问题；（3）过点 Q 作 QNCD 于 N，过点 P 作 PMCD 于 M，连接 QD，如图 3，易证CNQQND，根据相似三角形的性质可求出 CN易证PMC QNC，根据相似三角形的性质可得 PM 与 CM 之间的关系
28、，由 MAP=30即可得到 PM 与 AM 之间的关系，然后根据AC=AM+CM 就可得到 PM 的值，即可得到 AP 的值解答： 解：（1）AB 与O 相切于点 B，ABO=90 DAB=30， OB= CD= 2=1，第 15 页（共 17 页）AO=2OB=2，AC=AOCO=2 1=1当 Q、C 两点重合时，CP 与O 相切于点 C，如图 1，则有ACP=90 ，cosCAP= = = ，解得 AP= ；（2）有 4 个位置使CQD 的面积为 提示：设点 Q 到 CD 的距离为 h，SCQD= CDh= 2h= ，h= 由于 h= 1，结合图 2 可得：有 4 个位置使CQD 的面积为
29、 ；（3）过点 Q 作 QNCD 于 N，过点 P 作 PMCD 于 M，如图 3SCQD= CDQN= 2QN= ，QN= CD 是O 的直径，QNCD，CQD=QND=QNC=90，CQN=90NQD=NDQ，QNCDNQ， = ，QN2=CNDN，设 CN=x，则有 =x（2x） ，整理得 4x28x+1=0，解得：x 1= ，x 2= CQQD，x= ， =2+ QNCD，PM CD，PMC=QNC=90第 16 页（共 17 页）MCP=NCQ，PMCQNC， = =2+ ，MC=（2+ ）MP在 RtAMP 中，tanMAP= =tan30= ，AM= MPAC=AM+MC= MP+（2+ ）MP=1，MP= ，AP=2MP= 点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角函数、特殊角的三角函数值、切线的性质、解一元二次方程等知识，把求 AP 的值转化为解ABC 是解决第（3）小题的关键24.第 17 页（共 17 页）
