1、初二数学-面积法解题【本讲教育信息】【讲解内容】怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题【教学目标】1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。【 重点、难点】：重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。难点：灵活运用所学知识证明面积问题。【教学过程】（一）证明面积问题常用的理论依据1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。5. 三角形的面积等于等底等高的
2、平行四边形的面积的一半。6.三 角 形 的 中 位 线 截 三 角 形 所 得 的 三 角 形 的 面 积 等 于 原 三 角 形 面 积 的 。147三 角 形 三 边 中 点 的 连 线 所 成 的 三 角 形 的 面 积 等 于 原 三 角 形 面 积 的 。8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。4. 还可以利用面积解决其它问题。【典型例题】（一）怎样证明面
3、积问题1. 分解法例 1. 从ABC 的各顶点作三条平行线 AD、 BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证： DEF 的面积2ABC 的面积。 F E A B D C 分析：从图形上观察，DEF 可分为三部分，其中是ADE，它与ADB 同底等高 ， 故 SADE 二 是 ， 和 上 面 一 样 ，FSADFC三是AEF，只要再证出它与ABC 的面积相等即可由 SCFE S CFB故可得出 SAEF S ABC证明：AD/BE/CFADB 和ADE 同底等高S ADB S ADE同理可证：S ADC S ADFS ABC S ADE +SADF又S CEF S CBFS ABC S A
4、EFS AEF +SADE +SADF 2S ABCS DEF 2SABC2. 作平行线法例 2. 已知：在梯形 ABCD 中，DC/AB，M 为腰 BC 上的中点求 证 ： SADMABCD12分析：由 M 为腰 BC 的中点可想到过 M 作底的平行线 MN，则 MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为 hD C N M A B SShSAMDNMACD12证明：过 M 作 MN/ABM 为腰 BC 的中点MN 是梯形的中位线设梯形的高为 hNCAB2则 SABD又 SMNhMAND12ADBC12（二）用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问
5、题常用到下列性质：性质 1：等底等高的三角形面积相等性质 2：同底等高的三角形面积相等性质 3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半性质 4：等高的两个三角形的面积比等于底之比性质 5：等底的两个三角形的面积比等于高之比1. 证线段之积相等例 3. 设 AD、BE 和 CF 是ABC 的三条高，求证：ADBCBEACCF ABA F E B D C 分析：从结论可看出，AD、BE 、CF 分别是 BC、AC、AB 三边上的高，故可联想到可用面积法。证明：AD、BE、CF 是ABC 的三条高SADCEFABC22B2. 证等积问题例 4. 过平行四边形 ABCD 的顶点 A 引直线，
6、和 BC、DC 或其延长线分别交于 E、F，求证：S ABF S ADE A D B E C F 分析：因为 AB/DF，所以ABF 与ABC 是同底 AB 和等高的两个三角形，所以这两个三角形的面积相等。证明：连结 ACCF/ABSSABFCABCD12平 行 四 边 形又CE/ADADEAB平 行 四 边 形SBF3. 证线段之和例 5. 已知ABC 中，ABAC，P 为底边 BC 上任一点，PEAB，PF AC，BH AC，求证：PE+PFBHA H F E B P C 分析：已知有垂线，就可看作三角形的高，连结 AP，则SSAFABCPC12又 由 ， 所 以 EB()又 HABC12
7、故 PE+PF BH证明：连结 AP，则SSABCPACABAC，PE AB，PFACEPFACEPF1212()又BHACSABHBC1212P()PE+PF BH4. 证角平分线例 6. 在平行四边形 ABCD 的两边 AD、CD 上各取一点 F、E，使 AECF，连 AE、CF交于 P，求证：BP 平分APC。 D E C F P A B 分析：要证 BP 平分APC，我们可以考虑，只要能证出 B 点到 PA、PC 的距离相等即可，也就是ABE 和BFC 的高相等即可，又由已知 AEFC 可联想到三角形的面积，因此只要证出 SABE S BCF 即可由平行四边形 ABCD 可得 SABE
8、 S ABC ，S BFC S ABC所以 SABE S BFC ，因此问题便得解。证明：连结 AC、BE、BF四边形 ABCD 是平行四边形S ABE S ABCSBFC S ABCS ABE S BFC又AECF而ABE 和BFC 的底分别是 AE、CFABE 和BFC 的高也相等即 B 到 PA、PC 的距离相等B 点在APC 的平分线上PB 平分APC【模拟试题】 （答题时间：25 分钟）1. 在平行四边形 ABCD 中，E、F 点分别为 BC、CD 的中点，连结 AF、AE ，求证：S ABES ADF D F C E A B 2. 在梯形 ABCD 中，DC/AB，M 为腰 BC
9、上的中点，求证： SSADMCABMD C M A B 3. RtABC 中， ACB90，a、b 为两直角边，斜边 AB 上的高为 h，求证：122abh C b a h A D B 4. 已知：E、F 为四边形 ABCD 的边 AB 的三等分点，G、H 为边 DC 的三等分点，求证：SGHABCD13 D A G E F H B C 5. 在ABC 中，D 是 AB 的中点，E 在 AC 上，且CEA13，CD 和 BE 交于 G，求ABC 和四边形 ADGE 的面积比。 A D G E B C 【试题答案】1. 证明：连结 AC，则 SABCD又E、F 分别为 BC、CD 的中点SAB1
10、2DFCABEF2. 证明：过 M 作 MN/DC/AB D C N M A B M 为腰 BC 上的中点DCM 和ABM 的高相等，设为 h1SDCDCAhDCABM1221 1()又DMN 与AMN 的高也为 h1SN1211hM()MN 为梯形的中位线NABCD12()SSDMM3. 证明：在 RtABC 中，ACB90，CDABabhABC2222()两边同时除以 得：122abh4. 证明：连结 FD、FG 、FCD A G E F H B M C 则由已知可得SFGHDFC13作 DM/AB，设它们之间的距离为 h，G 到 DM 的距离为 a，则由已知可得 H、C 到DM 的距离分别为 2a、3aEhaFG2()SAFBhaADBC123()EF312()Fha3ESFG即SEFGADBC1()+得： H35. 证明：作 DF/AC 交 BE 于 F A D G E F B C 可得DFGCEGSAECEGDF1423SBCBC而SADGEAAA15ABC 和四边形 ADGE 的面积比是 12：5
