第01章02数列极限.doc

1、第 2 节 数列极限2.1 数列定义 有 开始无结束、 无穷无尽的一列数 12,nx 称为一个 数列 。其中每个数都是此数列的一 项 ， x称为 一般项 （ 通项 ） 。关于一般项 nx（1） n随 变而变；（2） 清楚了则整个数列也就清楚了。因此此数列也记为 nx。数列的例子 1,123,1,(,),nCC 定义 2.1 如果存在 MR使得 nxZ则称 nx有上 （ 下 ） 界 。如果 既有上界又有下界，则称 nx有界 。有（上、下）界 数集 n有（上、下）界。定义 如果 1() )nnxZ，则称 nx单调增加 （ 减少 ） 。单调增加单调减少统称 单调 。定义 2.2 不改变顺序从数列 1

2、2,nx 中取出一个数列 12,kn 称为原来数列的子数列。子部分。关于子数列的下标：（1） 12k ；（2） ()knZ。思考题：1. 是否是 的一个子列？（是）123,nxxLnx2.试比较 与 的大小i2.1 数列的极限nx随 变而变，让 ，我们细心地观察有上例子中 nx的变化趋势。当时，对于蓝色部分的某个数列， nx无限地接近某个固定的常数 A；红色部分的数列则不然。如果，当 时 nx无限地接近某个固定的常数 A，我们就说 nx以 为极限，记为 limnA。 是 的简写。关于数列极限的同义语：1、 nx以 为极限，记为 linx。2、当 时 nx无限地接近 。3、无论你要求 与 A多么

3、接近，只要 足够大就保证 nx与 A那么接近。4、无论你要求 n多么小，只要 n足够大就保证 那么小。5、 对于任意给定的 0（不管 多么小） ，存在 0N，只要 就保证enxA。以上 4 句同义语中，只有第 4 句具有我们需要的可计算、可证明性。我们就用第 4 句作为数列极限的定义。定义 2.3 设 AR。如果对于任意给定的 0，存在 0N，只要 n就保证 nxA则称 nx以 为极限 （ 有极限 A） ，记为 limnxA。此时说 收敛 ，否则说发散 。关于定义 2.3：（1） 先给定，后有 。对于不同的 可能 也不同。 N如果存在则存在无穷多个。（2）如果 nxA对于小的 有保证，那么对于

4、大的 也有保证。因此，从“保证”的角度考虑， 0着眼小的。如果小的 nxA有保证，那么大的 N它也有保证。因此，从“保证”的角度考虑， 0取大的。（3）从定义 2.3 看， nx有没有极限以及极限是多少，与 1,Nx 无关，只与nx的尾巴 12,N 有关。（4） ()(,)nAUAN。即有极限 A时 n的尾巴12,N都落进了 的 邻域 中。（5） （解释与课本定义的差异。 ）题目：1、给定 nx和 ，证明 limnx；2（考点） 、给定 nx，计算limnx。（以后讲每一方面的内容后，我都给出一些相关的题目，然后给出它们的解法。希望同学们能一一掌握。 ）证明 limnxA的方法和格式：证、 0

5、，（在草稿中解不等式 nx解出 )(Nn。 ）取 ()N。当 N时，（参考草稿内容正确推出 nA。 ）故 limnxA。（草稿是自己看的、不交老师的！）证明 lin的例子:1、证明 C。证、 ()nxZ。0，取 N。当 时， 0n故 limnC。草稿： 0()nxnZ2、证明 1limn。证、 0，取 N。当 时，1n故 1limn。草稿： 01n3、设 1q。证明 lim0nq。证、 0，取 10logN。当 N时，101010lloglnnq故 lim0nq。草稿： nn1010logllq()nxA（ 复 杂 ） （ 放 大 一 点 点 ） （ 简 单 ）。只要 ()n有保证那么 nxA

6、也有保证。从()解出 N。4、证明 2silm0(1)n。证、 ，取 。当 时，222sinsin10(1)()()n故 ilmn。草稿： 222sinsin10(1)()(), n35、证明 31lim2n。证、 0，取 N。当 时，531224nn故 3limn。草稿： 531224nn思考题：3.下面表述能否作为 的定义？为什么？limnxA=(1)对于某个给定的 ， ，当 时， 恒0eN+$ZNnxAe-+$Znnx使 成立；(4)对于任意给定的 ，数列 中只有有限多项不满足x；nxe-N+$ZnNnxAKe-lin 0N（ 已固定，把 作为 极限的 ） 。于是，0|()2nxAN-2

7、nx12()()nxAy-+-+-=L001() ()()NNnxAxA+-L012 0()()()()2NxAnne-+-+- L0xA（ 已固定，因此 中的分子是常0N012()()()Nxn-+-+-L数）再取正整数 足够大，使当 时，右边第一项也小于0N，这样，当 时，就会有2en,|2nyAe-+=即证明了极限.1limlimnnnxxx L计算 lin是我们的重点题目是考点。做这个题目需要我们慢慢积累一些知识和技巧。我们先讲极限的性质和四则运算法则。2.3 数列极限的性质性质 1（唯一性） 如果 nx有极限则极限是唯一的 。（分析：假设 n有两个不相等的极限 A和 B，取足够小的0

8、使得 (,)(,)UAB， n的尾巴不能同时落在第 1 章 集 合5(,)UA和 (,)B中，矛盾。 ）证、反证法。设 都是 nx的极限。对于 02BA，由于 是 nx的极限，存在 10N使得 13 ()22n nABA即；由于 B是 n的极限，存在 使得 2 ()n nxx即。取 12ma,N，当 N时应有 nABx。矛盾。（在证明中， B是要得出矛盾的最大 。 ）离 散 数 学6性质 2（有界性） 如果 nx有极限则 nx有界 。证、 limnxA存在。对于 1，存在正整数 N使得当 n时有1n，解得 nA。因此，当 时 1xA。取 1a,NMx，就有 ()nMZ故 nx有界。性质 2 的

9、逆否： 如果 nx无界则 nx发散 。例： 发散。 (1)q发散。注意：性质 2 说有极限的数列一定有界。但是，有界的数列不一定有极限。例如： nnx。性质 3（保号性） 如果 lim()0A，则存在 0N使得，当nN时就有 ()2nx证、设 0A。对于 0，存在 0使得，当 n时就有 2nx，解得 32nAx0A时的证明完全类似。（以后我们就会知道， n离 0 有没有一段距离是重要的。 ）第 1 章 集 合7推论 如果存在 0N使得，当 nN时有 ()0nx且 limnx存在，则 lim()nx。证、反证法。假设 lim0nxA。根据性质 3，存在 1N使得，当 1时就有 2。当 1ax,时

10、02nAx，矛盾。注意：尽管 0()nxZ也不能保证 li0nx。例子：1n。性质 4（归并性） limnA的充要条件是 n的任意子数列都有同一个极限 A。证、充分性。设 nx的任意子数列都有同一个极限 A。nx是自己的一个子数列。所以 linx。必要性。设 lin。设 kn是 的随便一个子数列。0，由 limnxA，存在 0N使得当 时有nxA当 k时 k，因此此时 kn故 liknxA。归并性的逆否： 如果 nx有一个子数列发散或有两个极限不等的子数列，则 n发散。归并性的特别： 221limlilimnnxA。以上逆否和特别是以后最常用的。P24 例 2.6 设 (1)nnx。因为 22

11、1lilinnx，所以离 散 数 学8(1)n发散。第 1 章 集 合92.4 数列极限的四则运算法则定理 2.5 设 lim,linnxAyB，则（1） ()ny；（2） lilin，特别 lim()linnCxA；（3）lilimnnxAyB。证、 （1） 0。由于 linx，对于 02，存在0N使得，当 1nN时有 2nAxA即 ；由于limnyB，对于 2，存在 0使得，当 2N时有2nyB即。取 1ma,，当 时有 2nnAx且 ，此时，()()nnByAxyAB即。故lim()lilin B。（2） mnnx因为 lin存在，根据有界性，存在 0M使得对于任意的正整数 都有 nM。

12、0，由于 linxA，对于 01B，存在 10N使得，当1N时有 ；由于 limny，对于 0M，存在 20使得，当 2nN时离 散 数 学10有 nyBM。取 12max,N当 nN时有 1nxAB且 nyM。此时 1nnnnnyAByByxAB故 li()lixA。（3）mlinnxy。0B（放在分母） 。因为 linyB存在，根据保号性，存在1N使得，当 1nN时有 2。，由于 limnyB，对于 20B，存在 20N使得，当2N时有 2n。取 12ax,当 N时有 2ny且 2nyB。此时2nnyBy故 1limny。 11lilimlinnnxAxyyyB性质 5（单调性） 如果存在

13、 NR使得当 N时总有 nxy并且第 1 章 集 合11limnx和 liny都存在，则 limlinnxy。证、记 nzx。 z。根据保号性的推论， li0n。故 lilin。思考题：6.有界数列是否一定收敛？发散数列是否一定无界？（）(1)nx=-10.若某数列存在收敛的子数列，原数列是否收敛？11.若某原数列发散，其子数列是否一定发散？12.若某原数列存在发散的子列，原数列是否发散？13.若数列 ， 均不存在极限， 的极限是否nxynxy存在？ 的极限是否存在？ny14.若数列 ， 一个极限存在，一个极限不存在，的极限是否存在？ 的极限是否存在？xnx15.若 ，则必有 吗？反之如何？l

14、imnxa=lim|a=16.若 收敛，能否断定 ， 也收敛？yny极限的计算记住常用极限： linC，1li li0()kkknaa， li0(1)nq。【例 2.7】 试求下面极限：（1） ； （2） ；lim1n+32456limnn-+-（3） ； （4） 5lin-li(1)解、 （1）li1lili 0nnn。（2）离 散 数 学1232 23 23563564lim4lilim456 4limlim43nnnn n（方法总结：分子分母都除以 的最高次幂。此方法不仅可用来求分式的极限，还可用在其它某些求极限。看下例。 ）3634 35668 710lili 1nnn（3） 1415

15、415limli05nnn（方法总结：分子分母都除以 na，其中 是最大的底数。 ）（4） 110lim1lilim1nnn（方法总结：当有根号差时，先消除根号差。根号和无碍。 ）54323453 323354234533cabababcabab 等等。2.5 数列极限存在的两个判别定理定理 2.6（两边夹准则） 如果存在 NR使得当 nN恒有nnyxz且 limlinnyzA，则 lim。证、 0，第 1 章 集 合13由于 limnyA，存在 10N使得，当 1nN时有nyAy即由于 linz，存在 2使得，当 2时有nnzz即取 12ax,N当 N时有 yA且nAz。此时 nnAyxz即

16、 n故 limnx。离 散 数 学14两边夹准则的用法：要求 limnx。作以下处理n nyz（ 缩 小 一 点 点 ） （ 放 大 一 点 点 ）（ 简 单 ） （ 复 杂 ） （ 简 单 ）求得 limlinyzA。则得 linA。例子（1）求证 li1n。证、记 a。 0()na。22(1)()!nn nnaa(1)20()na2lim0,li1nn，根据两边夹准则， lim0na。lim11nn（2）求证 li(0)na。证、 （i）设 1。则当 时有 na。又 li1nn，根据两边夹法则， li1n。（ii）设 0a。 1limli()linnnaa故 li1(0)na。（由于以后要

17、用，请把 li1,li(0)nn记住一百年。 ）第 1 章 集 合15（3）设 123nnx，求 limnx。解、很明显 3()nZ又 lim33nn，根据两边夹法则， li3nx。定理 2.7（单调有界原理） 如果 n单调增加且有上界，或者单调减少且有下界，则 linx存在（但是此定理没说它是多少） 。证、设 nx单调增加且有上界。则 nXxZ有界从而有上确界 A。 0，由于 不是 X的上界，存在某 NxA。因为 nx单调增加，当 nN时， nA即 nx故 limnx存在。单调减少且有下界情形的证明完全类似（用下确界存在） 。下面用例子说明单调有界原理的用法。【例 2.10】 （ 重根号）

18、证明数22nx=+Ln列 的极限存在并求此极限nx解、0、 121,()nnxZ。显然()nZ。1、 （1） 21x。（2）归纳地设 nx。则 12nnnnxx。根据数学归纳法， 1()Z，即 单调增加。2、 （1） x。（2）归纳地设 2n。则 12nnx。离 散 数 学16根据数学归纳法， 2()nxZ，即 nx有上界 2。根据单调有界原理， lim存在。3、设 linA。对 1nn两边取极限得 A。解之得 12,。由于 0()xZ，根据保号性的推论，0。因此 li2n方法总结：由上例可见，做这种题目分如下四步：0、 写出 nx的递推式；1、 用归纳法证明 n的单调性；2、 用归纳法证明

19、x的有界性；由 1、2、 limnx存在。3、 设 A。对递推式两边求极限得关于 A的方程，解之得极限 。注意：1、2、是不能省略的，因为在证明 limnx存在之前不能设linx。在上例解的 2、中怎么知道 2 是 nx的上界？秘密是：在草稿上提前做了 3、 （单调增加数列的极限就是它的上界！） 。一个重要极限： 1limnne下面证明 lin存在。证、记 1nx。按二项式展开得第 1 章 集 合17211()(1)!21 211!2 n nnnnxxnnn 可见 1()nxZ，即 nx单调增加。由上式又有221 11()!1 2 limn4. 设数列 有界,又 ,证明 .nxliyli0nx

20、y=证、由于 有界，存在 M使得对于任意 Z都有 nxM。0，由于 limny，对于 0，存在 0N使得，当 N时就第 1 章 集 合19有 0nyM。此时nnnxyyM故 limn。*5. 设 ，且 ，求证： ，(1,)nxay=Llim()0nyx-=limnxa=.liny=6. 利用单调有界原理，证明 存在，并求出它：lin(1) ， ， ； *(2) 1x12nx-2,3=L(0)ncx=！（2）证、当 c时， 1!1nnn nnc因此 nx当 c时单调减少。很明显， x有下界 0。故 limnx存在。设 limnA。对 1ncx两边求极限得 lim01nA即 li0nx。7. 利用

21、极限存在准则证明：*(1) ; (2) .22211limnnnpp+=Llim1n=8. 利用 ，求下列极限：()lie=(1) ； (2) ； (3)1linn- 1limnn-+lim2+（1）解、 1li1li1linnnn e离 散 数 学20（2）解、11122limlimlinnnn ne（一般地，只要当 时 ()fn就有()1lifnne。limli=limlilikkkknnnnnxxx 个 个。 ）*9. 利用 Cauchy 定准则证明：(1) ，则 收敛22113na+Lna(2) ，则 发散5b=-bB 类1. 试用数列极限的“ ”定义证明：Ne-*(1) (2) ，其

22、中!limn limnx1,nnx+-+Z！2. 求下列极限：(1) ; *(2)211li354nn+-L2211li3n n-L(3) *(4) .2lim lim（3）解、 2 21 1lim21lili1linnnn e 一般地，只要 lim()nf，就有()11lim()1() ()lili1(ngnfgfg fnffne（千万不能()() ()liligngnnff！）第 1 章 集 合213. 证明数列 存在极限，并求这个极限.122,+L*4. 若 为 个正数，证明：1maL1212li max,nnma+=L5. 设 ，证明：lin=(1) ；li(2) 若 ，则 .0,nali1na=*6. 证明：若 ，且 ，则 .liml+lim0na=7. 利用单调有界原理求下列数列的极限.(1) 设 ， ， （ ） ，求 0x12nnx+=linx*(2) 设 ，求 .3(),(0,1)n=Kli*8. 设 1122,2nnaa+=(1) 求 的表达式； (2)求 和 .1nnb- 1nkb=limna*9. 对数列 ，若 ，则 .xlimx=12limnxx+L