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类型第1章函数、极限与连续。第2章导数.doc

  • 上传人:weiwoduzun
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  • 上传时间:2018-10-07
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    第1章函数、极限与连续。第2章导数.doc
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    1、第一章 函数、极限与连续习题一 函数一、 是非题1、 与 y=x 相同 ; ()2xy2、y=(2 x+2-x )ln(x+ )是奇数; ()21x3、凡是分段表示的函数都不是初等函数; ()4、y=x 2 (x0)是偶函数; ()5、两个单调增函数之和仍为单调增函数; ()6、实数域上的周期函数的周期有无穷多个; ()7、复合函数 fg(x)的定义域即 g(x)的定义域; ()8、y=f(x)在(a,b) 内处处有定义,则 f(x)在(a,b)内一定有界 ()二、填空题1、 函数 y=f (x)与其反函数 y= (x)的图形关于_对称;2、 若 f(x)的定义域是0,1,则 f(x2+1)的

    2、定义域是 _;3、y= 的反函数为_;1x4、 若 f(x)是以 2 为周期的周期函数,且在闭区间0,2 上 f(x)=2*x-x2 则在闭区间2,4 上,f(x)=_;5、f(x)x+1, (x)= ,则 f( (x)+1)= _, f(x)+1=_;21x6、f(x)=log 2(sinx+2)是由简单函数 和 复合而成;7 、y=x x 是有简单函数和复合而成。三、选择题1、下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是() ;A sin3x B x3+1C x3+x D x3-12、 设 f(x)=4x2+bx+5,若 f(x+1)-f(x)=8x+3,则 b 应为()A 1 B-1C 2

    3、D -23、f(x)=sin(x2-x)是()A 有界函数 B 周期函数C 奇函数 D 偶函数四、计算下列各题:1、求 y= +arcsin 的定义域;x3523x2、已知 f =1+cosx, =sin ,求 f(x);)()(3、设 f(x)=x2,g(x)= ,求g(x),gf(x),ff(x),gg(x);xe4、设 = 求 并作出函数 y= 的图形。)(x.1|,0),2(,1),5()(x五、某运输公司规定吨公里(每吨货物每公里)运价在 a 公里内 k元超过 a 公里部分为八折优惠。每吨货物运价 m 元和路程 S 公里之间的函数关系。习题二 常用的经济函数一、 一家销售某商品的价格

    4、满足关系 P=7-0.2X(万元/ 吨) ,X 为销售量,商品的成本函数为 C=3X+1。若每销售一吨商品,政府要征收 t(万元) ,试将该商家税后利润 L 表示为 X 的函数。二、 某商场生产某种产品年产量为 X 台,每台售价为 250 元,当年产量在 600 台内时,可全部售出,当年产量超过 600 台时,经过广告宣传后又可再多出售 200 台,每台平均广告费为 20 元,生产再多,本年就售不出去了。试建立本年的销售收入 R 与年产量 X 的函数关系。三、设某商品的供给函数为 S(X)=X 2+3X-70,需求函数为 Q=410-X,其中 X 为价格。1、在同一坐标中,画出 S(X) ,Q

    5、(X)的图形;2、求市场均衡价格。四、某种产品每台售假 90 元,成本为 60 元,厂家为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过 100 台以上的,多出的产品实行降假,其中降假比例为每多出 100 台降假 1 元,但最低降假为 75 元/台。1、试求每台的实际售价 P 表示为订购量 X 的函数;2、把利润 L 表示为订购量 X 的函数;3、当一商场订购 1000 台时,厂家可获利多少?习题三 数列的极限一、 是非题1、 在数列 中任意去掉或增加有限项,不影响 的极限; an an()2、 若数列 的极限存在,则 的极限必存在; ()ban3、 若数列 和 都发散,则数列 也发散; ()xnyy

    6、x4、 若 则必有 或 () 0)*(limxvu0limn0linv二、填空题1、 = _;)1(linn2、 _;sinlm3、 _;2(1)li4nn4、 _;lin三、选择题1、已知下列四数列:、x n=2; 、 ; 、 ; 、231nx12()3nnx;13()n则其中收敛的数列为( ) ;A、 B、 C、 D、2、已知下列四数列:、1,-1,1,-1,, , 、0, ,0, ,0, , ,0,1()n12231,n、 , , , ,, , , 、1,2,n, 2341n则其中发散的数列为( ) ;A、 B、 C、 D、3、 则必有 ( )1,nx-7,n为 偶 数为 奇 数0A、

    7、B、 limn 7lim10nxC、 D、,li107nxn为 奇 数为 偶 数 lin不 存 在四、将下列数列的各项画在数轴上,并观察其收敛性1、 ,n=1,2, ;()nnx2、 ,3n为 偶 数为 奇 数 ;3、 ,n=1,2, 1()nnx五、设 x1=0.9, x2=0.99,x3=0.999,x n=0. 9.,个1、用 10 的负方幂表示 x n ;2、试求 的值。limn习题四 函数的极限一、 是非题1、 若 ,则 ; ( )linfxA0fx2、 已知 不存在,但 有可能存在; ( )0limn3、 若 与 都存在,则 必存在; ( )fx0fxlinfx4、 ; ( ) l

    8、imarctn2n5、 ; ( )x二、 填空题1、 li(21)_;nx2、 m3、 licos;nx4、设 ,则,0()fab(0)_,(0)_,ff当 b=_时, 0lim)1.xf三、 选择题1、从 不能推出( ) ;li()1.xfA、 B、 X 0()1fxC、 D、 0()f 0limx2、设 ,则 的值为( ) ;|1,2xf()li()xffA 、0 B、1 C、2 D、不存在四、设函数 试画出 的图形,并求单侧极限 和2,3()0,.xf()fx3lim()xf。3lim()xf五、设 ,回答下列问题:2()xf1、函数 在 x=0 处的左、右极限是否存在?f2、函数 在

    9、x=0 处是否有极限?为什么?()x3、函数 在 x=1 处是否有极限?为什么?f习题五 无穷小与无穷大一、是非题1、非常小的数是无穷小; ( ) 2、零是无穷小; ( )3、无限变小的变量称为无穷小。 ( )4、无限个无穷小的和还是无穷小。 ( )二、填空题1、设 ,当 时,y 是无穷小量,当 时,y 是无穷大量;yx_x2、设 a(x)是无穷小量,E(x)是有界变量,则 a(x)E(x)为 ;3、 的充分必要条件是当 时, 为 ;0lim()xfA0x()fA4、 1sn_;x三、选择题1、当 时,下列变量中是无穷小的是( ) ;A、 B、 C、 D、3sinxxln(1)x2、下列变量在

    10、自变量给定的变化过程中不是无穷大的是( ) ;A、 B、23()1xln()xC、 D、ln(0)x1cos()2nx3、若 则下列极限成立的是( ) ;00im,li(,xxfgA、 B、l()o 0lim()0xfgxC、 D、01li()xfgx0lixf4、以下命题正确的是( ) ;A、无界变量一定是无穷大B、无穷大一定是无界变量 C、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增D、不趋于无穷大的变量必有界5、 ( ) 。10limxA、等于 0 B 等于 C、等于 1 D、不存在 四、下列各题中,指出哪些是无穷小?哪些是无穷大?1、 ; 2()x2、 30;3、 ln|()x4、10.五、

    11、当 时,下列哪个无穷小与无穷小 是同阶无穷小?哪个无穷小与无穷小 是x1x 1x等阶无穷小?哪个无穷小是比无穷小 高阶的无穷小?1、 2、 3、2x1,x1.|x习题六 极限的运算法则一、是非题 1、在某过程中,若 有极限, 无极限,则 无极限; ( ()fx()gx()fxg)2、在某过程中,若 , 均无极限,则 无极限; ( ()f ()f)3、在某过程中,若 有极限, 无极限,则 无极限; ( ()fx()gx()fxg)4、在某过程中,若 均无极限,则 无极限; ( ()f ()f)5、若 则 必不存在; ( 00lim(),li(),xxfAg0()limxfg)6、 ; ( )02

    12、22213.1lilili.li0x nnn7、 =0; ( )0snlisxx:8、 ( )220 0lim(3)3lim;x9、若 存在,且 则 ( )0li()xfg0li(),xg0li();xf10、若 与 都存在,则 必存在。 ( )0lixf0lixf 0lixg二、计算下列极限1、 2、213lim;x21lim;x3、 、 4、2li;x 2li;x5、 6、322li;()x 31li();xx7、 8、2lim1);xx2.(1lim;xn9、 10、30305()(li ;x 2siliarct.1xx三、已知 ,求常数 a 与 b 的值。21li1xab习题七 两个重

    13、要极限一、是非题1、 ( )sinlm1;x2、 ( )i().x二、计算下列极限1、 2、0sin3lm;ta2xx20lim(13);xx3、 4、li(0);n0lisni);x5、 6、30tsixx().2x三、已知 ,求 C.lim()2xc四、证明:当 时, 21tan2,cos.xx:习题八 函数的连续性一、是非题1、若 在点 处均不连续,则 在 处亦不连续; ( (),fxg0x()fxg0x)2、若 在点 处连续, 在点 处不连续,则 在点()f0()g0()f0x处必不连续; ( )3、若 与 在点 处均不连续,则积 在点 处亦不()fxg0x()fxg0x连续; ( )

    14、4、 在 处不连续; ( |yx)5、 与 处连续当且仅当 在 处既左连续又右连续; ( ()f0()fx0)6、设 在 上连续,则 在 内必有界; ( ()yfx,ab()f,ab)7、设 在 上连续,且无零点,则 在 上恒为正()f,()fx,或恒为负; ( )8、 ,所以 在 上恒为 为正或恒为负; ( 3tan104:tan0x3(,)4)二、填空题1、 是函数 的 类 型间断点;0xsin|x_2、 地函数 的 类 型刘断点;1x3、设 若定义 则 在 处连续;()ln(),f(0)_,f()fx04、若函数 在 处连续,则 a 等于 ;ta,()2xf _5、已知 ,则 的定义域为

    15、 ,连续区间为 ;()sgnfx()fx_6、 的连续区间是 ;1l()f7、 在 上的最大值为 ,最小值为 。arctnx0,_三、选择题1、函数 在 内间断点的个数为 ( )1si()xfx(,)A、0 B、1 C、2 D、32、 是函数 在 处连续的 ( )()(0)faf()fxaA、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件3、方程 在区间 内 ( )31x(,1)A、无实根 B、有唯一实根 C、有两个实根 D、有三个实根四、要使 连续,常数 a,b 各应取何值?()f1sin,0()si,.xfabx五、指出下列函数的间断点,并指明是哪一类型间断点。1、 2、2();1fx

    16、1()xf3、 4、,();2fx,()1)sin,1.fxx六、求下列极限1、 2、limn(|);xx413lim;2x3、 4、0log(13)i;axx01li;2x七、证明方程 在 内至少有一个实根。42x1(0,)第一章 复习题一、填空题1、设 则1,|,()0.xf()_;fx2、设 则 的定义域为 ;,|2,()13.f(1)f_3、函数 在 连续;ln()fxx_4、 ;20silim(x5、 1)_;xk6、设 在 处连续,且 ,则(f()3fx21lim()_;1xfx7、当 时,无穷小量 与 等价,则 k= ;x1k2_8、 是函数 的 间断点。0()sinfx_二、选

    17、择题1、 的反函数是( ) ;2.(,0yxA、 B、1)1,0)yxC、 D、,yx2、当 时,下列函数中有极限的是( ) ;A、 B、 C、 D、sin1x21xarctnx3、 在点 不连续是因为( ) ;0,()fx0A、 不存在 B、 不存在()f(0)fC、 D、0(f (0)f4、设 ,则 是 的( )21()cotfxarx()fxA、可去间断点 B、跳跃间断点C、无穷间断点 C、连续点5、设 则 是 存在的( )cs1,0().fxkk0lim()xfA、充分但非必要条件 B、必要但非充分条件C、充分必要条件 D、无关条件6、当 时, 和 都是无穷小。当 时,下列变量中可能不

    18、是无穷小0x(0)0x的是:( )A、 B、 C、 D、:7、当 时,若 与 是等价无穷小,则 K=( )x21sinkA、2 B、 C、1 D、38、当 时,下列函数中为 X 的高价无穷小的是( ) 。0A、 B、 C、 D、1cosx2xsinxx三、求下列函数的极限1、 ; 2、423limx21i()lm;x3、 4、21lim();xx30sinlm;()x5、 6、0li;sin3xx2lisi);xx7、 8、12|lim;xx0ln(1)im;ta5x9、 10、sinl;xa1sil.4()x四、设 (a0),当 a 取何值时, 在 处连续。co,02(),xfa ()fx0

    19、五、已知当 时, 与 是等价无穷小,求 a.0x123()xcosx六、设 (常数) ,求 a,b3214limxab七、求 的间断点,并对间断点分类。1()xf八、证明下列方程在(0,1)之间均有一实根。1、 2、 3、 53;x;xarctn1.x九、设 在a,b上连续,且 ,证明在(a,b)内至少有一点 使()f (),afb.第一章 自测题一、填空题1、若 则 = ;2(),xf()fx_2、设 单调减少, 且 与 可以相互复合,则 与世,g()fxg()fgx的大小关系是 ;()gfx3、20lim(1sin)_;xx4、 则li,()xf0()li_;xf5、 的间断点是 ,其中可

    20、去间断点是 ,跳跃断点是2|(1)f _。_二、选项择题1、当 时, 是( ) ;n1sinA、无穷大量 B、无穷小量 C、无界变量 D、有界变量2、当 时,函数 的极限为( )x12x3、方程 的实根个数是( ) ;30()pA、一个 B、二个 C、三个 D、零个4、当 时, 是 的( ) ;x2(1cos)xinA、高阶无穷小 B、同阶无穷小,但不等价C、低阶无穷小 D、等价无穷小5、设 则 a 和值为( ) ;95520()lim8,1xaxA、1 B、2 C、 D、A、B、C 均不对58三、求下列函数的极限值:1、 2、322lim();1xx201sinlm;x3、 4、5li;()

    21、n 2cot0li();xx5、 0sili.xx四、设 求23,1(),fx011lim(),li(),li().xxxfff五、设 讨论 在 x=0 处的连续性。ln(1),0().|si|,xfxx()fx六、证明方程 至少有一个小于 3 的正根。2in1七、设 在a,b上连续,且无零点,又存在一点 使 证明:()fx 0(,)xab0(),fx在a,b上恒为负。第二章 导数与微分习题九 导数概念一、是非题1、 ; ( ) 00()()fxf2、曲线 在点 处有切线,则 一定存在; ( )y0,()xf0()fx3、若 ,则 ; ( )()fxgg4、周期函数的导数仍为周期函数; ( )

    22、5、偶函数的导数为奇函数,奇函数 的导数为偶函数; ( )6、 在 处连续,则 一定存在。 ( )()yfx0()fx二、填空题1、设 在 处可导,则()f000()lim_,xffx0()lim_;hxfh2、 若 存在且 ,则)f0f0()li;xf3、 已知 则 = ;2,(xf()f_4、 当物体的温度高于周围介质的温度时,物体 就不断冷却若物体 的温度 T 与时间 t 的函数关系为 T=T(t) ,则该物体在时刻 t 的冷却速度为 ;_5、 在曲线 上取横坐标 ,及 网点,作过这两点的割线,则曲线xy10x2在点 处的切线 平行于这条割线;_6、 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成

    23、本是 元,则其边际成本为 .()fx_三、选择题1、函数 的 存在等价于( )()f0)fA、 存在1lim(nxfB、 存在00()hfC、 存在0()lixfxD、 存在0(3)f2、若函数 在点 处可导,则| |在点 处( )f0x()fx0A、可导 B、不可导 C、连续但未必可导 D、不连续3、设 是常数,函数 若 存在,必有( )1cos,1()0,.xf()fA、 1 B、-1= 0 C、0= 1 D、 =1四、求 的 及3yx()1.y五、设 在 x=a 处连续, ,求()()(fxax().fa六、已知2,1,.xfab1、确定 a,b 使 f(x)在实数域内处处可导;2、将上

    24、一问中求出 a,b 的值代入 f(x),求 f(x)的导数。七、求曲线 在点(1,-2 )处的切线方程和法线方程。43yx八、已知函数 证明:,0()0,.xf1、 在 x=0 处连续;()fx2、 在 x=0 处的左导数存在,而右导数不存在;3、 在 x=0 处不可导。()fx习题十 导数的四则运算 反函数的导数一、填空题1、 2、 其中 为实常数;2_;_,x3、 4、x ;5、 6、ln; (log),0|1;axa7、 8、(si)_xcs_;9、 10、ta; (t)x11、 12、(sin)rx cos;ar13、 14、ta_;(t)_x二、选择题1、在函数 f(x)和 g(x)

    25、的定义域上的一点 ,下列说法正确的是( ) ;0xA、若 f(x),g(x)中至少一个不可导,则 不可导()fgB、若 f(x),g(x)均不可导,则 f(x)+g(x)不可导C、若 f(x),g(x)只有其一不可导,则 f(x)g(x)必不可导D、当 f(x),g(x)均不可导时, f(x)g(x)有可能可导2、直线 L 与 x 轴平行且与曲线 相切,则切点为( ) 。xyA、 (1,1) B、 (-1,1) C、 (0。1) D、 (0,-1 )三、求下列函数的导数1、 2、2(cos);yxx;xy3、 4、(3;3sin;xa5、 6、 .2loglnyx cotry四、 求 及 .1

    26、l,dyx1|x五、以初速 上抛的物体,其上升高度 与时间 的关系为 ,求0vst 201svtg1、该物体的速度 ;()t2、该物体达到最高点的时间。六、设某产品的需求函数 为价格,为销售量。20,5Qp、求收益()对销售量的变化率;、问当销售量分别为 15 和 20 时,哪一点处收益变化得快?习题十一 复合函数的求导法则一、填空题、 2、2(cos)_;x2()(cos_;x、 。 (其中圆括号中的下标表示对求导变量)2()x二、求下列函数的导数、 、1cos;y1ln();yx、 、 ln()x2、 、;y2si;yx、 、arcsin;oxinco(ta3).三、在下列各题中,设 为可

    27、导函数,求()fudyx、 22(sini;yfx、 ();f、 .yfx四、以 为可导函数,且 求 和 。()u5(3),fx(3)f(fx习题十二 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数一、是非题、若 确定隐函数 ,则 故321yx()yx23120,dyx( 2;d) 、设 则 ( cos,in.xyt(sin)co;dyttx)、由导数公式 可得 ( 1(). 1().xx)二、设 由方程 所确定,试()yx350xy0|.xdy三、设隐函数 由方程 确定,求 。ln()xy四、利用对数求导法求导数、 、sin1;xyxln.x五、求由参数方程所确定的函数的导数、 求 、 求 2,t

    28、y;dyxlsin,ty;dyx习题十三 高阶导数一、填空题、 则2ln,yx1nxy_、 ,1(6)、 ,则0xy()ny、 ,则si2()_二、选择题、已知 ( );3)ln,yxy则A、 B、 、 D、21X1X21X32X、 ,则 ( );naxye)ny、 、 C、 D、!axne!naxe三、计算下列各题:、 ,求 ; 、 ,求 ;23cosyxny lnxy(1)n、 ,求 , (0).e()四、求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数 及 。lnyx()yx2dyx02x五、求由参数方程 所确定的函数 的二阶导数 。21arctnxy()2六、已知 ,求 。21(2)sixne (

    29、)ny习题十四 函数的微分微分在近似计算中的应用一、填空题、设 在 处 ,则 , ;3yx02.01xy_dy_、 ;2d_、设 ,则 ;cotxyardy_dx、 ;d_1、设 ,则 ;sin2xyedy_(sin2)dx、设 ,则 ;ie_(sin)dx、欲使计算圆面积所产生的相对误差不超过,测量圆半径时允许的相对误差不超过 。_二、选择题、设 ,则 ( );2cosyxdy、 、2cosxd、 、2sinxd2sinxd、设 是可微函数,是的可微函数则()yf ;y、 、Ux()fU、 、()fddx、用微分近似计算公式求得 的近似值为( )0.5、。 、。 、。 D、1 *4、当|充分

    30、小, 时,函数 的变量 y 与微分 dy 的关系是( ()fx()yfx)A、y=dy B、ydy C、ydy D、ydy三、已知 求2cosx223,.ddx四、求下列函数的微分:1、 2、 ;xy2xy3、 确定隐函数2sin1xy().五、计算 的近似值。3.0六、一个外直径为 10cm 的球壳厚度为 ,试求球壳体积的近似值。18cm第二章 复习题一、填空题1、设 则12()ln,xfx()_;f2、当 时, 是 h 的高阶无穷小。则0h()fh(2)_;f3、设 则l,xye;dy4、设 则()ncotf()_;4f5、曲线 在 x=1 处的切线方程是 ;lxye_6、设 则 f(x)

    31、在 x=0 处的导数为 ;,0(),tanf7、设 cos,_;xye8、设 其中 f(u)为二阶可导函数,则1(),f 2_;dyx二、选择题1、设 则sin,yx();2fA、-1 B、1 C、 D、 22、已知 0(3)(),lim);hfffA、 B、 C、1 D、-1323、设 则()ln),fxx();fA、1 B、-1 C、0 D、A、B、 C 三选项均不对5、设函数 则下列结论不正确的是( ) 。21,(),xkefxA、K 为任意时, 存在0lim()xfB、K 为-1 或 1 时,f(x)在 x=0 处连续C、K 为-1 时,f(x)在 x=0 处可导D、K 为 1 时,f

    32、(x)在 x=0 处可导三、求下列函数的导数42(3);cos;4lni(1).xyey四、设 求2)l,fxx().f五、设 求2ln(arct,1f().dfx六、设由 确定 y 是 x 的函数,求2siyxe.y七、设 求(),xf().f八、求由参数方程 确定的函数 的 。21ln3ln,tty()yx2,dy九、已知 求 y3lnsi,yx十、设 且 有二阶连续导数,求 f(x).2()()fx十一、设函数 其中 m 为自然数,试讨论:1sin,0(),mfx1、m 为何值时,f(x)在 x=0 连续;2、m 为何值时,f(x)在 x=0 可导;3、m 为何值时, 在 x=0 连续;

    33、()fx十二、确定 a 的值使曲线 与 相切。2yalnx第二章 自测题一、填空题1、设 则3ln(1),yx_;dy2、设方程 确定隐函数 ,则2()yx_;3、曲线 在点 处的切线方程为 ;23()xyxe2(1,e4、设 则102sinlog;y5、设 则sin,()0xf(0)_;f二、选择题1、设 f(x)可导函数,则 ;0(1)(.2xfxlinA、 B、 C、 D、()fxf1f(1)f2、设 则l,y3();yA、 B、 x C、 D、nx2x2x3、设 ,则()yf();yA、 B、 C、 D、xf()f()f4、若两个函数 在区间 内各点的导数相等,则该二函数在区间(),fxg(,)ab(,)ab内( ) ;A、 B、相等()fxgC、 仅相差一个常数 D、均为常数5、已知一质点作变速直线运动的位移函数 为时间,则在时刻 处的23,tSe2t速度和加速度分别为( )A、 B、4412,6e441,C、 D、 26e三、计算下列各题1、 求 y23cosyx2、 求 y;10(5)3、 求 ylnsiyx4、 求 y;1,6=05、已知 求2,tey0|.tdyx四、设 求21,(),fx().f五、若 求cos0,y2.dyx六、设函数 在 处可导,求常数 a 与 b 的值。in,()2afxb0七、设 证明: 。xye14xyy

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