积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设 在 上连续，则 ，使得f,ab(,)ab。)bafxdf证一：由积分第一中值定理（P217） ， 使得 。,b()()bafxfba于是()0.bafxd由于函数 在 上连续，易证（可反证）：Ff,ab(这还是书上例 2 的结论)，使得 ，即 。(,)ab)(0f()ff证二：令 ，则 在 上满足拉格朗日中值定理的条件，故xaFftdFx,ab，使得 ，即结论成立。(,)()()（注：书上在后面讲的微积分基本定理）证三：反证：假设不 ，使得 ，由积分第一中值定理，(,)ab()()bafxdfba知 只能为 或 ，不妨设为 ，即。1(,)()()baxfxfx由于 连续，故 （或 ） ，fab(f（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限 改为 ） x()()().xbaafdfxfba（这个严格不等号不太显然要用书上例 2 结论来说明）矛盾。证四：设 在 上的最大值为 ，最小值为 。若 ，则 ， 可任取。f,abMmMfc若 ，则 ，有 ，故 ，即m1,x1()0fx()0baxd().bafdba同理有 ()().bamfxd由连续函数的介质定理知： ，使得 。,1()().baffxd注：以上方法有的能推广到定理 9.8 的证明，有的不能，再思考吧！
