1、2.1积分第一中值定理证明积分第一中值定理:如果函数 ()fx在闭区间 ,ab上连续， ()gx在 ,ab上不变号，并且 ()gx在闭区间 ,ab上是可积的，则在 上至少存在一点 ，使得()(),()bbaafgxdfd成立。证明如下：由于 ()gx在闭区间 ,ab上不变号，我们不妨假设 ()0gx，并且记 ()fx在闭区间 ,ab上的最大值和最小值为 M和 m，即 fM，我们将不等式两边同乘以 ()可以推出，此时对于任意的 ,xab都会有()()()gfgx成立。对上式在闭区间 ,ab上进行积分，可以得到()()()bbaamxdfdMd。此时在 ,M之间必存在数值 ，使得 ，即有()()b
2、baafgxx成立。由于 ()fx在区间 ,上是连续的，则在 ,上必定存在一点 ，使()f成立。此时即可得到 ()()bbaafxgdfgxd，命题得证。2.2积分第一中值定理的推广定理：（推广的第一积分中值定理）若函数 ()fx是闭区间 ,ab上为可积函数，()gx在 ,ab上可积且不变号，那么在开区间 ,ab上至少存在一点 ，使得()()(,)bafxgdfgd成立。推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。证法1：由于函数 ()fx在闭区间 ,ab上是可积的， ()gx在 ,ab上可积且不变号，令 ()xaFtgd， ()()xGgtd，很显然 FG在 上连续。并且 0,()
3、baft， 0,()()batd，()f， () 。由柯西中值定理即可得到 (),(,)FGb，化简，即 ()()abftgdfg，根据上式我们很容易得出 ()(),(,)bbaaftgdfgtdab，命题得证。证法2：由于函数 ()x在 ,上可积且不变号，我们不妨假设 ()0gx。而函数 ()fx在闭区间 ,ab上可积，我们令 inf()|,mxab，sup|M。假设 ()F是 f在闭区间 上的一个原函数，即(),Ff。我们就可以得到下面等式() ()bbbaaamgxdfgxdMgxd（2.2.1）此时由于 ()0x，则会有 ()0，由于存在两种可能性，那么下面我们就要分两种情况以下我们分
4、两种情形来进行讨论：(1).如果 ()bagxd，由等式（2.2.1）可得出 ()0bafxgd，那么对于 (,都有 ()0()b ba afxgdfgxd恒成立。(2).如果 ()0bagxd，将（2.2.1）除以 ()bax可得()bafxgdmM，（2.2.2）我们记 ()bafxgd，（2.2.3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：（）如果（2.2.2）式中的等号不成立，即有()bafxgdmM成立，则此时一定就存在 mM，可以使得 12(),()fxfxM，我们不妨假设 12x，这其中 2,ab。因为 ()Ffx， ,ab，则会有 1122()()()Fxffx 。此时至少存在一点
5、2,，使得 ，即有 12()(),(,),bbaafgdfgdxab成立，从而结论成立。（）如果（2.2.2）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设 M，因为 ()0bagxd，此时一定存在区间 1,(,)ab（其中 1ab），使得1,，恒有 ()gx成立，我们可以将（2.2.3）式进行简化()()bbaagxdfxgd，因为 M，则有 ()0baf（2.2.4）而且我们已知 ()0fxg，则10()()0by afxdMfxd。于是1()0xyMfgxd（2.2.5）在式子（2.2.5）下必定存在 1,)ab，使得 ()fM。如果不存在一个 1,(，使得 f，则在闭区间 1,xy上必定有 ()0fx及 )g成立，从而使得 ()0fxg。如果 1baMdx，由达布定理在 1,ab上有 ()fx:，这与 ()fx矛盾。如果 1()0bafgd，这与（2.2.5）式矛盾。所以存在 ,ab，使(),(,)bafxfxab，定理证毕。
