1、第3章 对偶规划,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,教学目标与要求,【教学目标】通过对本章的学习，理解对偶定义和性质及影子价格的含义；了解对偶单纯形法；会根据最终单纯形表对于资源项、目标系数变动进行敏感性分析。【知识结构】,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,本章主要内容,3.1 线性规划的对偶模型3.1.1 对偶问题3.1.2 线性规划对偶模型3.1.3 对偶问题的基本性质3.2 对偶单纯形法简介3.3 影子价格3.4 灵敏度分析3.4.1 价值系数的变化分析3.4.2 右端常数的变化分析3.4.3 增加一个新变量的分析3.4.4 增加新的约束条件的分析3.5 如何看计算机求解
2、报告本章小结,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,导入案例出租还是自己组织生产？,第2章导入案例中的数学模型,任何一个线性规划问题都存在一个伴生的线性规划问题，我们称之为“对偶”。本章将讨论对偶问题模型的建立、影子价格及敏感性分析。,现在换个角度讨论这个问题。假若由于某种原因，该企业打算放弃生产产品的项目，而将所有设备出租，收取租金。那么，在考虑到设备出租市场竞争条件下，如何确定三种设备单位台时的租金，才能使企业不至于蚀本。问题：1. 如何建立该问题的数学模型？ 3. 用什么方法对该问题模型求解？,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.1.1 对偶问题,原始规划,设：两种设备单位
3、台时租金分别为 y1,y2,由于承租方是理智的，会把租金压至最低。故出租方在满足上述二约束情况下，至少出租总收入（目标函数）为,约束一：生产甲产品的利润不大于放弃生产而出租的租金收入,约束二：生产乙产品的利润不大于放弃生产而出租的租金收入,对偶规划,称（2）为（1）的对偶，也称（1）为（2）的对偶。,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.1.2 对偶问题的数学模型,（1）对称形式对偶问题 原问题 对偶问题,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.1.2 对偶问题的数学模型,（2）非对称形式对偶问题,【例3.1】 写出下列线性规划的对偶规划。,对偶模型：,管理运筹学课件,2018年
4、3月5日星期一,3.1.3 对偶问题的基本性质,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.2 对偶单纯形法简介,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.2 对偶单纯形法简介,标准化（若乘-1）,计算检验数,所有0?,所有akj0?,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.2 对偶单纯形法简介,【例3.2】用对偶单纯形法解,解 标准化,初始单纯形表,第1次迭代,第2次迭代,最优值20,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.2 对偶单纯形法简介,【例3.3】用对偶单纯形法解,无可行解,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.3 影子价格,导入案例原问题的解如图.,对偶
5、问题的解,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.3 影子价格,原问题,bi代表第i种资源拥有量 yi 代表第i种资源的估价，该估价并非市价格，而是在生产中的单位贡献所做的估价,称为影子价格。其含义：（1）资源的市场价格由供求关系决定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况。（2）影子价格是一种边际价格。（3）资源的影子价格实际上又是一种机会成本。（4）当影子价格为0时，表明该种资源未得到充分利用；当影子价格不为0时，表明该种资源已耗费完毕。（5）在一个大公司内部，可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏。,对偶问题,管理运筹学课件,2018
6、年3月5日星期一,3.4 灵敏度分析,线性规划的各个参数A，C，b往往是根据统计数据测算的，不可能完全准确，而且随着实际情况变化。灵敏度分析是指各参数变化对最优解的影响。,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.4.1 价值系数cj的变化分析,由式3-7 可知，cj变化仅影响检验数。敏感性分析是求检验数符号不变（最优基不变）时cj的允许变化范围。【例3.4】 由下述模型的最终单纯形表求最优基不变的c2允许变化范围。,令c2=4+c，有：,若保持检验数非正，要求：,即c2的允许变化范围：2.5, 5,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.4.2 右端项bi的变化分析,设 由式3-8
7、，若 则最优基保持不变. 【例3.5】 由例3.4最终单纯形表求最优基不变的b3允许变化范围。,即b3的允许变化范围：40, 50,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.4.3 增加一个新变量的分析,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.4.3 增加一个新变量的分析,在操作上：由 若大于0应安排生产。 【例3.6】 在例3.4 中增加一个新产品是否可行。其消耗系数列向量p6=（3/2，1，1/2）及价值系数c6=3.,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.4.4 增加一个新的约束分析,增加一个新的约束后，线性规划的可行域只会变小，不会变大，最优值只能变差，不会变的更好。
8、因此如果原最优解X*满足新的约束条件，则X*仍然是最优解；否则继续进行迭代。【例3.7】 在例3.4中增加一个新的约束引入松弛变量 添加到最终单纯形表中。,将基向量变成单位向量。,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,3.5 如何看计算机求解报告,【例3.8】,Global optimal solution found.Objective value:35.00000Total solver iterations: 2VariableValueReduced CostX( 1) 5.0000000.000000X( 2) 0.000000 2.000000X( 3)5.000000 0.0
9、00000RowSlack or Surplus Dual Price135.000001.00000020.0000000.200000030.0000000.6000000Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX( 1) 3.000000 1.8000000.6000000X( 2) 1.0000002.000000INFINITYX( 3) 4.0000001.0000
10、001.500000 Righthand Side RangesRow CurrentAllowableAllowableRHSIncrease Decrease255.0000025.0000015.000003 40.0000015.0000012.50000,最优值,迭代次数,松弛或剩余变量（Slack or Surplus） 反映了资源的利用情况。若松弛变量为0，表示该资源已耗费完毕，若大于0，表示尚有剩余。本例2个约束的松弛变量（第2、3行）均为0，表示两种资源均已耗费完毕。而第1行是生产一个单位产品所消耗的各项资源的影子价格的总和，称为产品的隐含成本。,影子价格（Dual Pric
11、e）的含义见节3.3。当松弛变量为0时，影子价格大于0。,目标系数当前值,保持最优基不变时允许增量,保持最优基不变时允许减量,管理运筹学课件,2018年3月5日星期一,本章小结,本章主要内容包括线性规划对偶问题；线性规划原模型与对偶模型之间的结构关系；基于线性规划对偶问题的资源影子价格的含义；各参数变化的敏感性分析；对偶单纯形法。 原始规划的解与对偶规划的解之间有一些重要的关系，这些基本性质统称为对偶定理，包括对称性定理，弱对偶定理，最优性准则定理，主对偶定理。对偶变量表示一个单位第i种资源的估价，这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出的贡献而作的估价，为区别起见，称为影子价格（Shadow price），线性规划的灵敏度分析就是研究参数变化时对最优解的影响。具体来说，主要讨论下列两类问题：一是在最优解（或最优基）不变的前提下，确定参数的变化范围；二是当参数或系数矩阵的结构发生变化时，如何确定最优解的变化（即参数线性规划）。从理论解度，线性规划灵敏度分析的方法是利用最优单纯形表；从应用角度，要会生成并解读计算机额灵敏度分析的输出信息。,
