1、第 1 页（共 26 页）2016-2017 学年江西省宜春中学高三（下）3 月月考数学试卷（理科）一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1设全集 U=x|x1，集合 A=x|x2，则 UA=（ ）Ax |1x2 Bx|1x2 Cx|x2 Dx|x 22已知复数 z 满足 zi=2i，i 为虚数单位，则 z=（ ）A2 i B1+2i C1+2i D 12i3已知ABC 中，AB=2 ， AC=4，O 为ABC 的外心，则 等于（ ）A4 B6 C8 D104阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 n 的值为（ ）A6 B8 C10 D125在一个不透明的袋子里，有三
2、个大小相等小球（两黄一红） ，现在分别由 3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为（ ）A B C D无法确定6一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积第 2 页（共 26 页）为（ ）A B C D7已知正项等比数列a n满足 a7=a6+2a5若存在两项 am，a n 使得 ，则 的最小值为（ ）A B C D8将函数 y=sin（x + ）cos（x + ）的图象沿 x 轴向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的取值不可能是（ ）A B C D9设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题
3、是真命题的是（ ）A若 m ，m ，则 B若 m ， ，则 mC若 m， m，则 D若 m，则 m10已知椭圆的焦点是 F1（0， ） ，F 2（0， ） ，离心率 e= ，若点 P 在椭圆上，且 = ，则 F 1PF2 的大小为（ ）A B C D11设函数 f（x ）=xsinx+cosx 的图象在点（t，f（t） ）处切线的斜率为 k，则函数 k=g（t ）的图象大致为（ ）A B C D第 3 页（共 26 页）12若圆 x2+y24x4y10=0 上至少有三个不同点到直线 l：xy+b=0 的距离为 ，则 b 的取值范围是（ ）A 2，2 B10，10 C （ ，1010，+） D
4、（，22，+）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知向量 ， 的夹角为 ，且 |=1， ， |= 14 （x ） 4（x2）的展开式中，x 2 的系数为 15已知等比数列a n的各项均为正数，且满足：a 1a7=4，则数列log 2an的前7 项之和为 16设定义域为 R 的函数 ，若关于 x 的方程 f2（x）+bf（x ）+c=0 有三个不同的实数解 x1，x 2，x 3，则 = 三、解答题：（本题共 5 小题，共 70 分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，已知bcos2 +aco
5、s2 = c（）求证：a，c，b 成等差数列；（）若 C= ，ABC 的面积为 2 ，求 c18如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，ABAD，ABCD ，CD=AD=2AB=2AP第 4 页（共 26 页）（1）求证：平面 PCD平面 PAD；（2）在侧棱 PC 上是否存在点 E，使得 BE平面 PAD，若存在，确定点 E 位置；若不存在，说明理由19甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止设在每局
6、中参赛者胜负的概率均为 ，且各局胜负相互独立求：（1）打满 4 局比赛还未停止的概率；（2）比赛停止时已打局数 的分布列与期望 E（） 令 Ak，B k，C k 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜20如图，射线 OA，OB 所在的直线的方向向量分别为 ，点 P 在AOB 内，PMOA 于 M，PNOB 于 N；（1）若 k=1， ，求|OM|的值；（2）若 P（2，1） ，OMP 的面积为 ，求 k 的值；（3）已知 k 为常数，M ，N 的中点为 T，且 SMON = ，当 P 变化时，求动点 T轨迹方程21已知函数 f（x ）= ax3bex（aR ，b R） ，且 f（x ）在 x=0
7、 处的切线与xy+3=0 垂直第 5 页（共 26 页）（1）若函数 f（x）在 ，1存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围；（2）若 f（x ）有两个极值点 x1，x 2，且 x1x 2，求 a 的取值范围；（3）在第二问的前提下，证明： f（x 1） 1选修 4-1 几何证明选讲22如图，正方形 ABCD 边长为 2，以 D 为圆心、 DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F，连结 CF 并延长交 AB 于点 E（1）求证：AE=EB；（2）求 EFFC 的值选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （其中 为参数） ，以坐标
8、原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =4sin（）若 A，B 为曲线 C1，C 2 的公共点，求直线 AB 的斜率；（）若 A，B 分别为曲线 C1，C 2 上的动点，当|AB |取最大值时，求AOB 的面积选修 4-5 不等式选讲24已知函数 f（x ）=|x |2x+1|（）求 f（x）的值域；（）若 f（x）的最大值时 a，已知 x，y ，z 均为正实数，且 x+y+z=a，求证：第 6 页（共 26 页）+ + 1第 7 页（共 26 页）2016-2017 学年江西省宜春中学高三（下）3 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题
9、：（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1设全集 U=x|x1，集合 A=x|x2，则 UA=（ ）Ax |1x2 Bx|1x2 Cx|x2 Dx|x 2【考点】补集及其运算【分析】由全集 U，以及 A，利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解：全集 U=x|x1 ，集合 A=x|x2， UA=x|1x2，故答案为：A2已知复数 z 满足 zi=2i，i 为虚数单位，则 z=（ ）A2 i B1+2i C1+2i D 12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 zi=2i，得 故选：D3已知ABC 中，AB=2
10、 ， AC=4，O 为ABC 的外心，则 等于（ ）A4 B6 C8 D10【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出【解答】解：结合向量数量积的几何意义及点 O 在线段 AB，AC 上的射影为相应线段的中点，第 8 页（共 26 页）可得 ， ，故选：B，4阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 n 的值为（ ）A6 B8 C10 D12【考点】程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得n=0，S=0不满足条件 S1，执行循环体， n=
11、2，S= ，不满足条件 S1，执行循环体， n=4，S= + ，不满足条件 S1，执行循环体， n=6，S= + + ，不满足条件 S1，执行循环体， n=8，S= + + + = ，满足条件 S1，退出循环，输出 n 的值为 8故选：B第 9 页（共 26 页）5在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红） ，现在分别由 3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为（ ）A B C D无法确定【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】本题是一个计算概率的问题，由题意知已经知道，由于第一名同学没有抽到红球，问题转化为研究两个人抽取红球的情况，根据
12、无放回抽取的概率意义，可得到最后一名同学抽到红球的概率【解答】解：由题意，由于第一名同学没有抽到红球，问题转化为研究两个人抽取红球的情况，由于无放回的抽样是一个等可能抽样，故此两个同学抽到红球的概率是一样的都是 故选：C6一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为（ ）A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积【解答】解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1， ；高为：1；上部是正方体，也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体
13、，所以几何体的体积为：31 3+ = ，故选 C第 10 页（共 26 页）7已知正项等比数列a n满足 a7=a6+2a5若存在两项 am，a n 使得 ，则 的最小值为（ ）A B C D【考点】等比数列的性质【分析】根据 a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项 am，a n 使得，写出 m，n 之间的关系，结合基本不等式得到最小值【解答】解：设等比数列的公比为 q（q 0） ，则a 7=a6+2a5，a 5q2=a5q+2a5，q 2q2=0，q=2，存在两项 am，a n 使得 ，a man=16a12，q m+n2=16，m+n=6 = （ m+n） （ ）= （10+ ）m
14、=1，n=5 时， = ；m=2，n=4 时， = 的最小值为 ，故选 B8将函数 y=sin（x + ）cos（x + ）的图象沿 x 轴向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的取值不可能是（ ）第 11 页（共 26 页）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换【分析】化简函数解析式，再利用函数 y=Asin（x+ ）的图象变换，结合题意，可求得 的值【解答】解：y=sin（x+ ）cos（x + ）= sin（2x+） ，将函数 y 的图象向右平移 个单位后得到 f（x ）= sin（2x +） ，f（ x ）为偶函数， +=k+ ，kZ，=k+ ，k Z，故
15、选：C9设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）A若 m ，m ，则 B若 m ， ，则 mC若 m， m，则 D若 m，则 m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中，m 或 m；在 C 中，由面面垂直的判定定理得 ；在 D 中，m与 相交、平行或 m【解答】解：由 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，知：在 A 中，若 m，m ，则 与 相交或平行，故 A 错误；在 B 中，若 m， ，则 m 或 m，故 B 错误；在 C 中，若 m，m，则由面面垂直的判定定理得 ，故 C 正确；在 D 中
16、，若 m， ，则 m与 相交、平行或 m，故 D 错误故选：C第 12 页（共 26 页）10已知椭圆的焦点是 F1（0， ） ，F 2（0， ） ，离心率 e= ，若点 P 在椭圆上，且 = ，则 F 1PF2 的大小为（ ）A B C D【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可设题意的标准方程为： =1（ab0） ，可得：c= ， e= = ，a 2=b2+c2，联立解出可得：椭圆的标准方程为： +x2=1设|PF1|=m，|PF 2|=n，由椭圆定义可得 m+n=4，由 = ，可得mncosF 1PF2= ，利用余弦定理可得：（2c ） 2=m2+n22mncosF 1PF2，联立即可得出
17、【解答】解：由题意可设题意的标准方程为： =1（ab 0） ，则 c= ，离心率 e= = ，a 2=b2+c2，联立解得 a=2，b=1椭圆的标准方程为： +x2=1设|PF 1|=m，|PF 2|=n，则 m+n=4， = ，mncosF 1PF2= ，又（2c） 2= =m2+n22mncosF 1PF2，12=4 22mn2 ，解得 mn= cosF 1PF2= ，cosF 1PF2= ，第 13 页（共 26 页）F 1PF2= 故选：D11设函数 f（x ）=xsinx+cosx 的图象在点（t，f（t） ）处切线的斜率为 k，则函数 k=g（t ）的图象大致为（ ）A B C D
18、【考点】函数的图象【分析】由已知可得 k=g（t）=f （x）=xcosx，分析函数的奇偶性及x（0， ）时，函数图象的位置，利用排除法，可得答案【解答】解：函数 f（x ）=xsinx+cosx 的图象在点（t ，f（t） ）处切线的斜率为k，k=g（t ）=f（x）=sinx+ xcosxsinx=xcosx，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 B，C ，当 x（0， ）时，函数值为正，图象位于第一象限，排除 D，故选：A12若圆 x2+y24x4y10=0 上至少有三个不同点到直线 l：xy+b=0 的距离为 ，则 b 的取值范围是（ ）A 2，2 B10，10 C （ ，1010，+
19、） D （，22，+）【考点】直线与圆的位置关系第 14 页（共 26 页）【分析】先求出圆心和半径，比较半径和 2 ，要求 圆上至少有三个不同的点到直线 l：xy+b=0 的距离为 2 ，则圆心到直线的距离应小于等于 ，用圆心到直线的距离公式，可求得结果【解答】解：圆 x2+y24x4y10=0 整理为（x2）2+（y2）2=18，圆心坐标为（2，2） ，半径为 3 ，要求圆上至少有三个不同的点到直线 l：xy+b=0 的距离为 2 ，则圆心到直线的距离 d= ，2 b2 ，b 的取值范围是2，2，故选 A二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知向量 ， 的夹
20、角为 ，且 |=1， ， |= 3 【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量的数量积化简求解即可【解答】解：向量 ， 的夹角为 ，且 |=1， ，可得： =7，可得 ，解得 |=3故答案为：314 （x ） 4（x2）的展开式中，x 2 的系数为 16 【考点】二项式系数的性质【分析】 （x ） 4 展开式的通项公式： Tr+1= = x42r，分别令第 15 页（共 26 页）42r=2，42r=1，解得 r，进而得出【解答】解：（x ） 4 展开式的通项公式： Tr+1= = x42r，令 42r=2，解得 r=1；令 42r=1，解得 r= 舍去（x ） 4（x2）的展开式中， x2
21、 的系数为 =16故答案为：1615已知等比数列a n的各项均为正数，且满足：a 1a7=4，则数列log 2an的前7 项之和为 7 【考点】等比数列的性质【分析】由等比数列的性质可得：a 1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出【解答】解：由等比数列的性质可得：a 1a7=a2a6=a3a5=4=4，数列log 2an的前 7 项和=log 2a1+log2a2+log2a7=log2（a 1a2a7）=log 227=7，故答案为：716设定义域为 R 的函数 ，若关于 x 的方程 f2（x）+bf（x ）+c=0 有三个不同的实数解 x1，x 2，x 3，则
22、= 11 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令 f（x）=t，借助函数图象判断方程 f（x）=t 的解的情况，从而得出关于 t 的方程 t2+bt+c=0 在（0，+）上根的分布情况，进而求出 x1，x 2，x 3【解答】解：作出 y=f（x）的函数图象如图所示：第 16 页（共 26 页）令 f（x）=t ，由图象可知当且仅当 t=2 时，方程 f（x ）=t 有 3 解；当 0t2 或 t2 时，方程 f（x）=t 有两解；当 t0 时，方程 f（x）=t 无解关于 x 的方程 f2（x）+bf （x ）+c=0 有三个不同的实数解，关于 t 的方程 t2+bt+c=0 在（0，+）
23、上只有一解 t=2令 f（x）=2 得 x1=1，x 2=1，x 3=3 =（1） 2+12+32=11故答案为：11三、解答题：（本题共 5 小题，共 70 分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，已知bcos2 +acos2 = c（）求证：a，c，b 成等差数列；（）若 C= ，ABC 的面积为 2 ，求 c【考点】数列与三角函数的综合；正弦定理；余弦定理的应用【分析】 （）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可第 17 页（共 26 页）（）利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可【解答
24、】解：（）证明：由正弦定理得：即 ，sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinCsinB+sinA+sin（A+B）=3sinCsinB+sinA+sinC=3sinCsinB+sinA=2sinCa +b=2ca ，c，b 成等差数列（）ab=8c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab=（ a+b） 23ab=4c224c 2=8 得 18如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，ABAD，ABCD ，CD=AD=2AB=2AP（1）求证：平面 PCD平面 PAD；第 18 页（共 26 页）（2）在侧棱 PC 上是否存在点
25、E，使得 BE平面 PAD，若存在，确定点 E 位置；若不存在，说明理由【考点】平面与平面垂直的判定【分析】 （1）根据面面垂直的判断定理即可证明平面 PCD平面 PAD；（2）根据线面平行的性质定理即可得到结论【解答】 （1）证明：PA平面 ABCDPA CD 又ABAD，ABCD ，CDAD 由可得 CD平面 PAD又 CD平面 PCD平面 PCD 平面 PAD（2）解：当点 E 是 PC 的中点时，BE平面 PAD证明如下：设 PD 的中点为 F，连接 EF，AF易得 EF 是PCD 的中位线EF CD，EF= CD由题设可得 ABCD，AF= CDEF AB，EF=AB四边形 ABEF
26、 为平行四边形BE AF又 BE平面 PAD，AF 平面 PADBE 平面 PAD19甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止设在每局中参赛者胜负的概率均为 ，且各局胜负相互独立求：第 19 页（共 26 页）（1）打满 4 局比赛还未停止的概率；（2）比赛停止时已打局数 的分布列与期望 E（） 令 Ak，B k，C k 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】 （1）由独立事件
27、同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式能求出打满 4 局比赛还未停止的概率（2） 的所有可能取值为 2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E（） 【解答】解：（1）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满 4 局比赛还未停止的概率为：P（A 1C2B3A4） +P（B 1C2A3B4）= = （2） 的所有可能取值为 2，3，4，5，6，P（=2 ）=P（A 1A2）+P（B 1B2）= + = ，P（=3 ）=P（A 1C2C3）+P（B 1C2C3）= = ，P（=4 ）=P（A 1C2B3B4）+P（B 1C2A3A4）= = ，P（=5
28、 ）=P（A 1C2B3A4A5）+P（B 1C2A3B4B5）= = ，P（=6 ）=P（A 1C2B3A4C5）+P（B 1C2A3B4C5）= = ， 的分布列为： 2 3 4 5 6PE （）= = 第 20 页（共 26 页）20如图，射线 OA，OB 所在的直线的方向向量分别为 ，点 P 在AOB 内，PMOA 于 M，PNOB 于 N；（1）若 k=1， ，求|OM|的值；（2）若 P（2，1） ，OMP 的面积为 ，求 k 的值；（3）已知 k 为常数，M ，N 的中点为 T，且 SMON = ，当 P 变化时，求动点 T轨迹方程【考点】轨迹方程；直线的一般式方程【分析】 （1
29、）求出|OP |，点 P 到直线的距离，利用勾股定理，求|OM |的值；（2）直线 OA 的方程为 kxy=0，求出 P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用OMP 的面积为 ，求 k 的值；（3）设直线 OA 的倾斜角为 ，求出|OM|，|ON|，利用 SMON = ，可得 P 变化时，动点 T 轨迹方程【解答】解：（1）因为 ，所以|OP|= ，因为 OA 的方程为 y=x，即 xy=0，点 P 到直线的距离为 = ，所以|OM|= = ；（2）直线 OA 的方程为 kxy=0，P（2，1）到直线的距离为 d= ，所以|OM|= ，所以OMP 的面积为 = ，第 21 页（
30、共 26 页）所以 ；（3）设 M（ x1，kx 1） ，N（x 2， kx2） ，T （x，y ） ，x 10，x 20，k0，设直线 OA 的倾斜角为 ，则 ，根据题意得代入化简得动点 T 轨迹方程为 21已知函数 f（x ）= ax3bex（aR ，b R） ，且 f（x ）在 x=0 处的切线与xy+3=0 垂直（1）若函数 f（x）在 ，1存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围；（2）若 f（x ）有两个极值点 x1，x 2，且 x1x 2，求 a 的取值范围；（3）在第二问的前提下，证明： f（x 1） 1【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）求
31、出函数的导数，问题转化为 在 上有解，令，故只需 ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可；（2）令 h（x）=f（x） ，则 h（x）=ax 2ex，问题转化为方程 有两个根，设第 22 页（共 26 页）（x）= ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可；（3）求出 f（ x1）= （ 1） ，x 1（0，1 ） ，令 r（t）=e t（ 1） ， （0t1） ，根据函数的单调性证明即可【解答】解：因为 f（x ）=ax 2bex，所以 f（0）= b=1，所以 b=1（1）由前可知，f（x）=ax 2ex根据题意：f（x ）0 在 上有解，即 ax2ex0 在 上有解 即 在 上有解，令 ，
32、故只需所以 ，所以，当 时，g（x）0，所以 g（x）在上单调递减，所以 g（x ） min=g（1）=e，所以 ae（2）令 h（x）=f（x） ，则 h（x）=ax 2ex，所以 h（x）=2axe x由题可知，h（x）=0 有两个根 x1，x 2，即 2axex=0 有两个根 x1，x 2，又 x=0 显然不是该方程的根，所以方程 有两个根， 设 （x）= ，则 （x ）= ，当 x0 时， （x ）0， （x ）单调递减；当 0x1 时， （x ） 0， （x ）单调递减；当 x1 时，（x）0， （x ）单调递增故要使方程 2a= 有两个根，只需 2a （1）=e，即 a ，所以 a
33、 的取值范围是（ ，+） ，第 23 页（共 26 页）（3）由（2）得：0x 11x 2且由 h（x 1）=0，得 2ax1 =0，所以 a= ，x 1（0，1）所以 f（x 1）=h（x 1）=a = （ 1） ，x 1（0，1） ，令 r（t）=e t（ 1） ， （0t1 ） ，则 r（t）=e t（ ）0，r（t）在（ 0， 1）上单调递减，所以 r（1）r（t ）r（ 0） ，即 f（x 1）1选修 4-1 几何证明选讲22如图，正方形 ABCD 边长为 2，以 D 为圆心、 DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F，连结 CF 并延长交 AB 于点 E（1）求证
34、：AE=EB；（2）求 EFFC 的值【考点】与圆有关的比例线段【分析】 （1）由题意得 EA 为圆 D 的切线，由切割线定理，得EA2=EFEC，EB 2=EFEC，由此能证明 AE=EB（2）连结 BF，得 BFEC，在 RTEBC 中， ，由射影定理得EFFC=BF2，由此能求出结果【解答】 （1）证明：由以 D 为圆心 DA 为半径作圆，而 ABCD 为正方形，EA 为圆 D 的切线依据切割线定理，得 EA2=EFEC另外圆 O 以 BC 为直径，EB 是圆 O 的切线，第 24 页（共 26 页）同样依据切割线定理得 EB2=EFEC故 AE=EB（2）解：连结 BF，BC 为圆 O
35、 直径，BFEC在 RTEBC 中，有 又在 RtBCE 中，由射影定理得 EFFC=BF2= 选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （其中 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =4sin（）若 A，B 为曲线 C1，C 2 的公共点，求直线 AB 的斜率；（）若 A，B 分别为曲线 C1，C 2 上的动点，当|AB |取最大值时，求AOB 的面积【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】 （）消去参数 得曲线 C1 的普通方程，将曲线 C2 化为直角坐标方程，两式作
36、差得直线 AB 的方程，则直线 AB 的斜率可求；（）由 C1 方程可知曲线是以 C1（1，0）为圆心，半径为 1 的圆，由 C2 方程可知曲线是以 C2（0，2 ）为圆心，半径为 2 的圆，又|AB|AC 1|+|C1C2|+|BC2|，可知当|AB|取最大值时，圆心 C1，C 2 在直线 AB上，进一步求出直线 AB（即直线 C1C2）的方程，再求出 O 到直线 AB 的距离，第 25 页（共 26 页）则AOB 的面积可求【解答】解：（）消去参数 得曲线 C1 的普通方程 C1：x 2+y22x=0（1）将曲线 C2：=4sin 化为直角坐标方程得 x2+y24y=0 （2）由（1）（2
37、）得 4y2x=0，即为直线 AB 的方程，故直线 AB 的斜率为 ；（）由 C1：（x1） 2+y2=1 知曲线 C1 是以 C1（1， 0）为圆心，半径为 1 的圆，由 C2：x 2+（y2） 2=4 知曲线 C2：是以 C2（0，2 ）为圆心，半径为 2 的圆|AB|AC 1|+|C1C2|+|BC2|，当|AB|取最大值时，圆心 C1，C 2 在直线 AB 上，直线 AB（即直线 C1C2）的方程为：2x+y=2 O 到直线 AB 的距离为 ，又此时|AB|=|C 1C2|+1+2=3+ ，AOB 的面积为 选修 4-5 不等式选讲24已知函数 f（x ）=|x |2x+1|（）求 f（x）的值域；（）若 f（x）的最大值时 a，已知 x，y ，z 均为正实数，且 x+y+z=a，求证：+ + 1【考点】不等式的证明【分析】 （）作出函数的图象，即可求 f（x ）的值域；（）利用柯西不等式，即可证明结论第 26 页（共 26 页）【解答】 （）解：函数 f（x ）=|x |2x+1|= ，函数的图象如图所示，则函数的值域为（，1；（）证明：由题意 x， y，z 均为正实数，x +y+z=1，由柯西不等式可得（x+y+z） （ + + ）（y +z+z） 2=1， + + 1
