1、求数列极限的若干方法摘要：本文主要探讨了求数列极限的六种方法:极限定义法，迫敛性，单调有界定理，定积分的定义，施笃茨定理，以及利用函数极限求数列极限的方法，并对每一类方法进行了总结，这将有利于我们更好的学习后续课程。关键词：极限；迫敛性；定积分 数列极限是数学分析中最重要的概念之一，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。论文总结出了求数列极限的一些常用方法，为并结合实例进行了说明。1. 数列极限概述对于数列 ，若当 无限增大时， 能无限地接近某一个常数 ，就称nanaa此数列为收敛数列，
2、是此数列的极限。例如，对于数列 ，当 时，n1能无限地接近于 0，则称数列 为收敛数列。就是说，当 充分大时，数列n1n1的通项 与常数 之差的绝对值可以任意小。因此有下列数列极限的精确定na义。1.1 数列极限的 定义N-定义 1 设 为数列， 为定数.若对任给的正数 ，总存在正整数 ,使naN得当 时有n，n则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 的极限。naan定理 1 （唯一性） 若数列 收敛，则它只有一个极限。一个收敛数列一n般含有无穷多个数，而它的极限只有一个数。定理 2 （有界性）若数列 收敛，则 为有界数列，即存在正数 ，nanaM使得对一切正整数 有n.Mn1定理 3 （保号性）
3、若 ，则对任何 ，)0(liman )0,)(,0 ）（或 aa存在正数 ,使得当 时有 。Nn或定理 4 （保不等式性）设 与 均为收敛数列.若存在正数 ,使得当nab0N时有 ，则 。0nnbalili定理 5 （迫敛性）设有收敛数列 ， 都以 为极限，数列 满足：nanc存在正数 ，当 时有0N0，nnbca则数列 收敛，且 。ncnlim定理 6 （四则运算法则）若 与 为收敛数列则， n也都是收敛数列，且有nnnbaba,nnn balim)(li ,）（2. 求数列极限的方法求数列极限的方法有很多，除了四则运算法则直接求数列极限以外，还可考虑如下方法。2.1 利用极限定义求数列极限
4、 nalim由定义可以看到，用定义求数列极限的关键是：通常化为一常数与一含有的无穷小之和，从而得到 ，并依次求出 ，用 定义进行求解。nxn N-因此，关键是找出 ，可以看成是关于正整数 n 的函数，我们可以通过求解不N等式 ，找到使 成立，n 所要满足的条件，也就是不等式an an的解集。该解集是自然数 N 的无限子集。对同一个 并不唯一，因此，只需在该解集中找出一个作为 N 即可。这样寻找 N 的问题就转化成求解不等式 的问题了。an2.1.1 基本方法2对一些较为简单的极限问题，可以先设 ，通过用nnaax)(定义得出 N，其步骤如下：-第一步：先找到这个常数 ，使得当 时， 无限地接近
5、于 。ann第二步： ，求出使 成立的 n 所要满足的条件 寻找 N。0n第三步：取出 N。例 1.求 的极限。)21(lim2nn解：对 欲使),0 21221nn,-nn只要 ，即 ，故只需取 ，12n1log2 1log2N则当 时，就有 ，因此 Nnn2。2)11(lim2nn例 2 求数列 的极限，其中 。q）（ q解：若 ，则结论成立。现设 ，记 ，则 。于是由0101qh0h可知nh1）（，nhhqnnn 1)1(0所以 要使 ，只要使 。取 则当 时，,n ,NNn恒有 。0nq综上所述有 。10limqn，32.1.2 适当放大法其步骤如下：第一步：找出这个常数 ，使得当 时
6、， 无限地接近于 ，将annaa作适当放大成 ，即对一切 n，有 成立。an)(ng)(g第二步： ，寻求使 成立时 n 所要满足的条件寻找0)(。）（ N第三步：求出 N。例 3 计算： 的极限。nlim解：由于 有 ，令 ，即 。从而有,1nnz1nz1。221 )()(n czcz 即 ，或 解得 。2nn,)(2nz）（ n于是，对 ，有 （适当放大，对 n 没有限制）。znn1故对 ，要想使 成立，只需 ，解得 。取0n 22。于是，对 ，当 ，有 即12N1,02NNn，1n。limn2.1.3 条件放大法在对 进行放大时，有时需要对 n 加以限制，这就是所谓条件放大法。an具体步
7、骤如下：第一步：找出一个常数 ，使得当 时， 无限地接近于 ，将anaa作条件放大成 ，即当 时，有 。an )(g1N)(g第二步： ，寻求使 成立 n 所要满足的条件寻找 。0)( 2N第三步： 取 。21,maxN例 4 已知 ，计算 的极限。linann21li解：因为 ，所以 当 时，. ,0N1.an于是，当 时，有1N4naaana n)()()(-2121 an nNN 1121,)(1nmmN其中 .,ax121aN又因为 于是对于上述的 ，存在 ，当 时， 。,0li1n022nnm1取 则当 时，有,max21N,221ana所以 = 。nn21li小结：运用放大法证明数
8、列极限时，应注意以下问题：第一，放大一定要“适当”，不能随意地放得过大。第二，放大后的 ，只要保证是无穷小量（当 时）即可，因此 并)(gn)(ng不是唯一的，从而 N 也不是唯一的。小结：这是证明极限的最一般的方法，由 起步，可以借助不等式，an逐次放大不等式的方法，找到相应的 。用定义证明一个数是某一个数列的极N限可以说是万能的，但这要求事先估计数列的极限是多少，并且证明过程又是非常麻烦的。2.2 利用迫敛性定理求数列的极限定理 7：设 是三个数列。若存在正数 ,当 时有 nncba, 0N0n，且 。nncbatbtnlim,lilim则对于无限项和的极限，不能运用极限四则运算来求解，就
9、考虑用迫敛性定理。例 5 求极限 )121(li 22 nnn 解：设5则有 222222211,11n nnbnnab cn 于是11,122 222 nbnn nn 有由而 故由迫敛性的lim,n 1)2(lim22 n由此可见：当数列中的一般项为 项的和时，在这种情况下，我们就可以放大、缩小 ；取 中最大的分母做 的分母，最小的分母做 的分母，nynnxnz而 ， 的其余部分和 完全相同，如果 时，则可由迫nxzy aznnlimli敛性求得。对于无穷项和的极限时，不能拆成极限的和。例 6 求数列 的极限。nlim解：令 ),10,(1nn则 22)1()( nnn 于是 从而 ,120
10、n 1nn由于 所以 。 ,)(limn limn小结：这实际上就是运用了数列极限的迫敛性，适当的对数列放缩，利用已知的数列极限，以及不等式的性质进行求解，根据所求数列 的结构，将nb适当放大、适当缩小。设放大后得 ，缩小后得 ，即有 。值得nb ncnac注意的是 与 应该都收敛于同一个极限。nac利用迫敛性定理求数列极限的推广应用6定理 8 若级数 与 收敛，且成立不等式1na1nb ),21(nbuan。11nnbua例 7 判断 的敛散性。12iniI解：级数的前 项和 nniis1则 nnsnnnnn 222122 11 而 siinii 1212又因为 11lmli innni i
11、由定积分的定义，得110012li2|lnli xnxd因此 收敛。1iniI由此可见：这是把数列极限的迫敛性推广到数项级数的范围，给求数项级数带来了很大的方便。小结：迫敛性是极限的一个重要性质，它既可以用来判断极限的存在，又可以用它来求出极限。通过对迫敛性定理的一些应用，发现它可以更好更快地求出一些极限。迫敛性在解决一些实际问题时，常常要进行技巧较高的放缩，然后再利用相关知识求解。2.3 利用单调有界定理求数列极限定理 9：在实数系中，有界的单调数列必有极限。7说明：运用这个定理求数列极限时，先判定数列是单调有界的，从而数列极限存在，可设其极限为 ；建立数列相邻两项之间的关系；在关系式两端取
12、A极限，得出关于 的方程，若能解出 ，问题得解。对于一般的数列可以求出通项的数列，然后我们可以用数学归纳法进行求解。例 8 证明数列 收敛，并求)0(, aaa它的极限。证明： 令 nnn sss 1,则 有用数学归纳法证明，数列 严格增加有上界。显然，当 ns 21s时 ， 有设 即则,1ksn , 211 kkkkk ssaa有数列 严格增加。显然，当 时，有.1设 则 ,ask 11 asskk即数列 有上界（上界是 ）。na根据单调有界定理，数列 收敛，设 .nstsnlim已知 ，有nnsas21）（即 得 ,lim)(lins,2tat),41(2a由极限保不等式性， 不能是负数，
13、则数列 的极限是t n )41(2at小结：利用本定理解题的一般步骤为：先利用数学归纳法证明 单调（递增n或减少），其次证 有界（有上界和下界），这时由单调有界定理知 收na n敛。设其极限为 A，最后由以给的恒等式求 A，此法常用于数列的通项有递推关系时。对于递推数列，我们可以不通过求通项，直接利用单调有界定理进行求极限，这类题中我们重要的是判断数列是否单调。可考虑用 或)1(na判断数列单调性的情况)0(1na8例 9 设 证明 收敛，并求其极限值。,21,1naan na分析：单调性的判断有时要利用到数列的有界性，因此我们要先判断数列的界。有界性的判断有几种方法：观察法，观察法结合数学归
14、纳法，对数列递推关系的数学式的变形，利用不等式关系等。此题中 。210nna解： 先求单调性： ，由 ，得nnnaa1221 0n二次函数 因此 单调递增，故收敛。,02na,01nn设 ，递推关系两边去极限，得Anlim(舍去)。25,1,2A由此可见：求递推数列的极限的时候，不可以直接两边求极限，必须先判断数列的收敛性，说明极限存在，才可以两边求极限，得出结论。因为直接求极限违背了极限的四则运算法则的前提条件-极限存在。2.4 利用施笃茨定理求极限定理 10 施笃茨定理（ 型未定式极限） 设 严格递减趋于0,0limnxny0，若 则 （其中 为有限数，或 ）。1lim,nxlyinxly
15、l-， 或定理 11 施笃茨定理（ 型未定式极限）设 严格递增趋于 ， 为任nynx一数列，若 则 （其中 为有限数，或 ）。1li,nxlyimnxlyl -， 或例 10 (算术平均值的极限)若 （ 有限或 = ），则数列anlia./(lim21 anan证明：令 则 且 。,21yxnn ,1nynlim根据 stolz 定理，有。aayxyxa nnnnnn lililimlili 1219例 11 （几何平均值的极限）若 = （有限或 ），则数列nnxlim,0a极限存在，且 。),21(21 nxn 21li证明：1、当 时， 因为 0a naann 21210根据定理 1，有
16、再根据迫敛性定理，有 。,lim21an 0lim21nna2、当 时，根据指数函数的连续性、对数函数的连续性和 stolz 定理0a1，有aeeea anaanaann nnn llimlllimll21 2121limli 3、当 时，令 则 从而,nb,0lin .0li21nnb。nnna 2121lili例 12 求极限 。1limkkn解：设 则有,21knkknyx .)1(limlilim1kknnnyxyx应用二项式定理展开： 1!2)()(kkk）（则有 1!)()(lilimkknn nyx1)(!2)()(liknokn说明：以上例子充分显示了 stolz 定理在处理数
17、列中某些“ ”型不定式和“ ”型不定式极限时的优越性。010例 13 设 0（n=1,2, ）且 (0) 。 证明： 。nxnx1limnxlim证明：由题设 知当 时，正项数列 有极n1li nx112,限 ，令 ，于是 =1， zyn,1nnzy1limnnnxx112lilim= 。小结：1、定理 10 与定理 11 中的 可以是有限实数， ，但不能是 ，即l -或若 ，不一定有 。1limnnyxnyxim例如：若 虽然.,)(nn ,1)2(lili1nnn但 nnyx)1(lili2、对分子能写成和式，即 时可以优先考虑施笃茨定理。 nizx13、施笃茨定理与洛比达法则是处理“ ”
18、型及“ ”型极限的两个重要0工具，它们分别适用于“离散”和“连续”的情形。2.5 利用定积分的定义求数列的极限定义 2 设 是定义在 上的一个函数，J 是一个确定的实数。若函数f,ba在区间 上连续，则 在 上可积，从而 在 上的任意积)(xfba,)(xf, )(xfba,分和均以 为极限，数学表达式为dxfa)( ,lim)(10inbafdxf其中 为区间 上的任意一点。iniii ,m),2,1, 11 i,2.5.1 利用定积分定义求数列极限11例 14 求极限 )211(limnnI解： )(liIn取 ，在0,1内将 0,1 等分， 取xf1)( n,1nxii所以 。2ll1)
19、(lim01 dxfIin小结：利用定积分求 的步骤：nal（1） 通过恒等变形，将 化为特殊形式的积分和：。nifamkin1)(（2） 寻找被积函数 确定积分上限及下限，令 ，被积函数为f xni。)(xfnif积分下限： 的第一个值）；ikna为(lim积分上限： 的最后一个取值）。b为（3） 根据定积分的定义，将 写成定积分nali。dxffabamkinn )(1)(lli（4） 计算定积分，得所求极限为（其中 ）。,|)()(li babanFdxf()fx利用定积分求 关键为：n（1）寻找被积函数；（2）确定积分的下限 及上限 。b有些数列的极限，形式上不是无限和的极限，但通过一
20、定的变形可化为无限和的极限，然后按上述步骤计算。例 15 . 求 的值。n n)()3(2)1(lim解：这里 不是无限和，作转化na12)ln()3l()2ln()1l(lna = 1l1= llll nnn23(1)()(1)()。nifniinil11这里 。)l(f）（令 ，则被积函数 积分下限： （这里 ）xni ).l()xf01limna1k；积分上限： （这里 ）。1limnbn根据定积分的定义将 inia1)l(li= dxxdx100 )ln(l= )n(= 10l1xx= ， 故 e4ln2l4limnae对于不能直接利用定积分的定义求极限的数列，要辅用迫敛性进行求解。例
21、 16 求 )413421(lim22nn 解： 22li4n n 21li4ni= nii22)(lm而 ，函数 在 上连续而222)(4)(1)(4niini24x1,013， dxnini 102224)(4lm12022lim4()nixd则由迫敛性可得 原式= 3l102x小结：利用定积分求极限最重要的是观察式子，将求和式极限的问题转化为求简单定积分的问题，是求和式极限很实用的方法，只要数列极限是 n 项和的形式，多考虑设法使用定积分，重要的是对定积分定义深层理解的过程。2.6 利用函数极限求数列极限2.6.1 利用归结原则求数列极限对于一些 或 型的数列极限，用一般求数列极限的的方
22、法比较复杂时，0这时可考虑利用洛比达法则求数列极限。故可用归结原则把数列极限转换成函数极限，再用洛比达法则进行求解。例如对于 ，取 ，换成函23limnennx数极限 ，利用洛比达法则上下同时求导，求出极限为 0.23limxen定理 12 （归结原则）设 在 内有定义。 存在的充要条f）（ 0;xU)(li0xf件是：对任何含于 且以 为极限的数列 ，极限 都存在且）（ 0;xnmn相等。例 17 求 nn)1(lim2解： 另一方面，当 时有)1(2 ).(e）（ 1n=n)1(2212)(-n而由归结原则（取 ），3,xn= = 。1221)(lim)(li nnn xx)(lie于是，
23、由数列极限的迫敛性得。enn)(li2小结：归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。由此可见：求数列极限可转化为求函数极限，从某种意义上来说数列极限14和函数极限是统一的，求函数极限的方法还很多，可以利用函数的连续性、洛比达法则及函数的泰勒展开式等方法，求数列极限都可以用到。数列可看作一个定义域为自然数集的函数，其解析表达式为 。)(nfa3.求数列极限的方法总结求数列极限的方法除上述的六种方法外还有很多，我们需要对不同的题用不同的方法，也可以用多种方法最后采取最优的方法对待这一类题，这样为我们的学习提供了很多便利。我们在以后的做题过程中需要不停的总结，不断地反思，这样的学习才是
24、高效的，有趣味的。结束语本文列出了求数列极限最一般的方法，其中利用定义是最普遍的方法，但有时用定义计算时会过于繁琐，因此要辅用其他的一些方法来求极限。当然，求极限的方法除了文章中列举的还有很多，例如利用无穷小量求数列极限、利用初等变形及重要极限求数列极限等求极限的方法。极限运算要达到熟练准确，不仅要熟练掌握各种法则的结论，还要特别注意法则的条件要求，通过对数列极限计算的分析和讨论为以后求数项级数、函数项级数、反常积分的敛散性等做下了很好的铺垫，便于我们今后的学习。【参考文献】1邓乐斌.数学分析的理论、方法与技巧M.华中科技大学出版社，2005:23-35.2华东师范大学数学系.数学分析M.第三
25、版.高等教育出版社，2001:23-35.3孙洪祥，王晓红.高等数学难题解题方法选讲M.机械工业出版社，2003:2-6.4裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M.高等教育出版社，2005:25-375郑允莉.求数列极限的方法讨论J.徐州生物工程职业技术学院基础部.高等函授学报.2010,23（6）：68-69.6刘涛.定积分的定义在求无穷和式极限中的应用J.中国西部科技.2010,09（03）：86-88.7李爱琴.揭示数列极限定义形成过程J.陇西师范学报.2004,04（02）：35-37.8郭必宝.极限定义的内涵及引用J.甘肃武威职业学院.2010,19（01）：85-88.9张传芳，杨
26、春玲.利用 stolz 定理的推广定理求极限J.黑龙江科技学 院数力系数学教研室.2009，,08（05）：29-32.10何蜀新.数列极限常见题型及其解法J.兵团教育学院学报.2006，16（05）：32-34.Several Methods of Computing Sequence Limit 15Abstract:This paper mainly discusses the sequence limit for the six methods: the method of limit definition, squeeze theorem,monotone bounded theorem, the definition of definite integral, Stolz theorem, and the use of function limit of sequence limit method, and for each class of methods are summarized, which helps us better studying the following course. Keywords: Limit; Squeeze theorem; Definite integral
