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1、1解三角形【高考会这样考】1考查正、余弦定理的推导过程2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题基础梳理1正弦定理： 2 R，其中 R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变asin A bsin B csin C形为：(1)a b csin Asin Bsin C；(2)a2 Rsin_A， b2 Rsin_B， c2 Rsin_C；(3)sin A ，sin B ，sin C 等形式，以解决不同的三角形问题a2R b2R c2R2余弦定理： a2 b2 c22 bccos_A， b2 a

2、2 c22 accos_B， c2 a2 b22 abcos_C余弦定理可以变形为：cos A ，cos B ，cos C .b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab3面积公式： S ABC absin C bcsin A acsin 12 12 12B (a b c)r(R是三角形外接圆半径， r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，abc4R 12r.4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知 a， b， A，则A为锐角 A为钝角或直角图形关系式a bsin A a bsin A bsin A a b a b a b a b解的个数无解 一

3、解 两解 一解 一解 无解5用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型2测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等6实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为 (如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏东60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数考向探究题型一 正弦余弦定理运用【例题1】在ABC中，已知a= ,b= ,B=45,求A、C和c.32【例题2】 在ABC中，a、b、c

4、分别是角A，B，C的对边，且 =- .CBcoscab2（1）求角B的大小；（2）若b= ，a+c=4，求ABC的面积.13【例题3】 （14分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b 2+c2-a2+bc=0.3（1）求角A的大小；（2）若a= ，求bc的最大值；3（3）求 的值.cbCa)0sin(【变式】1.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c= ， b= ，B=120,则a= .262.（1）ABC中，a=8,B=60,C=75,求b;(2)ABC中，B=30,b=4,c=8,求C、A、a.3.在ABC中，A=60，AB=5，BC=7，则ABC的面积为 .4.

5、已知ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S，且2S=（a+b） 2-c2，求tanC的值.5. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（ b-c）cosA=acosC，则cosA= 3.6. 在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a 2+c2-b2）tanB= ac，则角B的值为 3.7. 在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C= .3（1）若ABC的面积等于 ，求a、b的值；3（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.题型二 判断三角形形状4【例题】在ABC中，a、b、c分别表示

6、三个内角A、B、C的对边，如果（a 2+b2）sin（A-B）=（a 2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【变式】 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断ABC的形状.题型三 测量距离问题【例题】如图所示，为了测量河对岸 A， B两点间的距离，在这岸定一基线 CD，现已测出 CD a和 ACD60， BCD30， BDC105， ADC60，试求 AB的长【变式】 如图， A， B， C， D都在同一个与水平面垂直的平面内， B、 D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面 A处测得 B点和

7、D点的仰角分别为75，30，于水面 C处测得 B点和 D点的仰角均为60， AC0.1 km.试探究图中 B、 D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B， D的距离5题型四 测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔 AB，在塔底 B测得山顶 C的仰角为60，在山顶 C测得塔顶 A的俯角为45，已知塔高 AB20 m，求山高 CD.【变式】如图所示，测量河对岸的塔高 AB时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C与 D，现测得 BCD ， BDC ， CD s，并在点 C测得塔顶 A的仰角为 ，求塔高 AB.题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示，在梯形 ABCD中，

8、 AD BC， AB5， AC9， BCA30， ADB45，求BD的长【变式】 如图，在 ABC中，已知 B45， D是 BC边上的一点， AD10， AC14， DC6，求 AB的长6巩固训练1.在ABC中，若2cosBsinA=sinC,则ABC一定是 三角形.2.在ABC中，A=120,AB=5,BC=7， 则 的值为 .CBsin3.已知ABC 的三边长分 别为a,b,c, 且面积S ABC = （b2+c2-a2），则A= .414.在ABC中，BC=2，B= ，若ABC的面积为 ，则tanC为 .335.在ABC中，a 2-c2+b2=ab,则C= .6.ABC中，若a 4+b4

9、+c4=2c2(a2+b2),则C= .7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b= ,c= ,则B= .738.某人向正东方向走了x千米，他右转150 ，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 千米，那么x的值是 .39.下列判断中不正确的结论的序号是 .ABC中，a=7，b=14，A=30,有两解ABC中，a=30,b=25,A=150，有一解ABC中，a=6,b=9，A=45，有两解ABC中，b=9,c=10,B=60,无解10. 在ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c).（1）求证：A=2B；（2）若a= b,判断A

10、BC 的形状 .3711. 在ABC 中， cosB=- ，cosC= .13554（1）求sinA的值； （2）ABC的面 积S ABC = ，求 BC的长.212.已知a、b、c是ABC 的三边长，关于x的方程ax 2-2 x-b=0 2bc(ac b)的两根之差的平方等于4， ABC的面积S=10 ，c=7.3（1）求角C ；（2）求a，b的值.13. 在ABC 中，角 A、B、C的对边分别为a 、b、c，已知a+b=5， c= ，且4sin 2 -7BAcos2C= .27(1)求角C 的大小；（2）求ABC 的面积.14(人教A版教材习题改编)如图，设 A， B两点在河的两岸，一测量

11、者在 A所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC的距离为50 m， ACB45， CAB105后，就可以计算出 A， B两点的距离为( )8A50 m B50 m C25 m D. m2 3 225 2215从 A处望 B处的仰角为 ，从 B处望 A处的俯角为 ，则 ， 的关系为( )A B C 90 D 18016若点 A在点 C的北偏东30，点 B在点 C的南偏东60，且 AC BC，则点 A在点 B的( )A北偏东15 B北偏西15 C北偏东10 D北偏西1017一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔

12、在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时( )A5海里 B5 海里C10海里 D10 海里3 318海上有 A， B， C三个小岛，测得 A， B两岛相距10海里， BAC60， ABC75，则 B，C间的距离是_海里19.如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲2船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的 B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的 B2处，此时两船相距10 海里问2：乙船每小时航行多少海里？9参考答案例题答案题型一 正弦、余弦定理【例题1】 解 B=4590且asinBba

13、,ABC有两解.由正弦定理得sinA= = = ,Basin245si33则A为60或120.当A=60时，C=180-(A+B)=75,c= = = = .BCbsin45si7245sin)30(26当A=120时，C=180-(A+B)=15,c= = = = .sisi1si)(故在ABC中，A=60,C=75,c= 或26A=120,C=15,c= .26【例题2】 解（1）由余弦定理知：cosB= ，acb2cosC= .abc2将上式代入 =- 得:CBos =-ac22cbcab整理得:a 2+c2-b2=-accosB= = =- 1B为三角形的内角，B= .32（2）将b=

14、 ,a+c=4,B= 代入13b2=a2+c2-2accosB,得b 2=(a+c)2-2ac-2accosBb 2=16-2ac ,ac=3.S ABC = acsinB= .143【例题3】解（1）cosA= = =- , bca221又A（0，180），A=120. （2）由a= ,得b 2+c2=3-bc,3又b 2+c22bc（当且 仅当c=b时 取等号），103-bc2bc(当且仅当c=b 时取等号）. 即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1. （3）由正弦定理得： 2R,CcBbAasinisin RcbCa2)30()0sin(= = BAsin)3(i sin)60sin

15、()co1= Csi2co41【变式】1. 2. 解（1）由正弦定理得 .BbAasiniB=60,C=75, A=45,b= =4 .45sin608siABa(2)由正弦定理得sinC= =1.430sin8ibc又30C150,C=90.A=180-(B+C)=60,a= =4 .2c3. 10 34. 解 依题意得absinC=a 2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a 2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sin cos =4cos22CC化简得：tan =2.从而tanC= =- .2tan1C345. 6.

16、 或 37. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得 a2+b2-ab=4.又因为ABC的面积等于 ，3所以 absinC= ，所以ab=4.2联立方程组 解得 .,4,2ab2ba（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,11当cosA=0时，A= ，B= ，a= ，b= .26342当cosA0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组 解得,2,4ab.34ba所以ABC的面 积S= absinC= .12题型二 判断三角形形状【例题】 解方法一 已知等式可化为a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-

17、sin（A+B）-sin(A-B)2a 2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2 得2A=2B或2A= -2B,即A=B或A= -B,ABC 为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a 2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b = b2a ccba 2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a 2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a 2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形

18、.【变式】 解 方法一 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB= 或cosB= （舍去）.cosB= .123210B ,B= .a，b，c成等差数列，a+c=2b.cosB= = = ，ab2ac2)(21化简得a 2+c2-2ac=0,解得a=c.又B= ，ABC是等边三角形.3方法二 2cos2B-8cosB+5=0，2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.12解得cosB= 或

19、cosB= （舍去）.213cosB= ,0 B ,B= ,a,b,c成等差数列，a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin = .3sinA+sin = ，A32sinA+sin -cos = .cossin32化简得 sinA+ cosA= ,sin =1.26AA+ = ,A= ,63C= ,ABC为等边三角形.3题型三 测量距离问题【例题】解 在 ACD中，已知 CD a， ACD60， ADC60，所以 AC a. BCD30， BDC105 CBD45在 BCD中，由正弦定理可得 BC a.asin 105sin 45 3 12在 ABC中，已经求得 AC和

20、 BC，又因为 ACB30，所以利用余弦定理可以求得 A， B两点之间的距离为 AB a.AC2 BC2 2ACBCcos 3022【变式】解 在 ACD中， DAC30， ADC60 DAC30，所以 CD AC0.1 km.又 BCD180606060，故 CB是 CAD底边 AD的中垂线，所以 BD BA.又 ABC15在 ABC中， ，ABsin BCA ACsin ABC所以 AB (km)，ACsin 60sin 15 3 2 620同理， BD (km)3 2 620故 B、 D的距离为 km.3 2 620题型四 测量高度问题【例题】解 如图，设 CD x m，13则 AE x

21、20 m，tan 60 ，CDBD BD x (m)CDtan 60 x3 33在 AEC中， x20 x，33解得 x10(3 ) m故山高 CD为10(3 ) m.3 3【变式】解 在 BCD中， CBD ，由正弦定理得 ，BCsin BDC CDsin CBD所以 BC CDsin BDCsin CBD ssin sin 在Rt ABC中， AB BCtan ACB .stan sin sin 题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】解 在 ABC中， AB5， AC9， BCA30.由正弦定理，得 ，ABsin ACB ACsin ABCsin ABC .ACsin BCAA

22、B 9sin 305 910 AD BC， BAD180 ABC，于是sin BADsin ABC .910同理，在 ABD中， AB5，sin BAD ，910 ADB45，由正弦定理： ，ABsin BDA BDsin BAD解得 BD .故 BD的长为 .9 22 9 2214【变式】解 在 ADC中， AD10，AC14， DC6，由余弦定理得cos ADCAD2 DC2 AC22ADDC ， ADC120， ADB60.100 36 1962106 12在 ABD中， AD10， B45， ADB60，由正弦定理得 ，ABsin ADB ADsin B AB 5ADsin ADBsi

23、n B 10sin 60sin 4510 3222 6巩固训练1. 等腰；2. ；3. 45；4. ；5. 60；6. 45或135；7. ；5 658. 或 2 ；9. 10.（1）证明 因为a 2=b(b+c)，即a 2=b2+bc,所以在ABC中，由余弦定理可得,cosB= = =cb2cb= = = ,aBAsin所以sinA=sin2B,故A=2B.（2）解 因为a= b,所以 = ,3ba3由a 2=b(b+c)可得c=2b,cosB= = = ,ac2234所以B=30,A=2B=60,C=90.所以ABC为直角三角形 .11. 解 (1)由cosB=- ,得sinB= ,135

24、13由cosC= ,得sinC= .4所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= .65(2)由S ABC= ,得 ABACsinA= . 23123由(1)知sinA= ,故ABAC=65.6515又AC= = AB,CBAsin1320故 AB2=65,AB= .130所以BC= = .sin212. 解 （1）设x 1、x2为方程ax 2-2 x-b=0的两根，2bc则x 1+x2= ，x1x2=- .abca(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= + =4.)(4c4a2+b2-c2=ab.又cosC= = = ,ab又C(0,180),C=60.(

25、2)S= absinC=10 ，ab=40 213由余弦定理c 2=a2+b2-2abcosC,即c 2=(a+b)2-2ab(1+cos60).72=(a+b)2-240 .1a+b=13.又ab 由 ，得a=8,b=5.13. 解 （1）A+B+C=180,由4sin 2 -cos2C= ,BA27得4cos 2 -cos2C= ,C4 -(2cos2C-1)= ,cos17整理,得4cos 2C-4cosC+1=0,解得 cosC= ,210 C180,C=60.(2)由余弦定理得c 2=a2+b2-2abcosC,即7=a 2+b2-ab,7=(a+b)2-3ab，由条件a+b=5,

26、得7=25-3ab,ab=6,SABC= absinC= 6 = .1314.解析 由正弦定理得 ，又 B30ABsin ACB ACsin B AB 50 (m)答案 AACsin ACBsin B50 2212 215.解析 根据仰角与俯角的定义易知 .16答案 B16.解析 如图答案 B17.解析 如图所示，依题意有 BAC60， BAD75，所以 CAD CDA15，从而 CD CA10(海里)，在Rt ABC中，得 AB5(海里)，于是这艘船的速度是 10(海里/时)50.5答案 C18.解析 由正弦定理，知 .解得 BC5 (海里)BCsin 60 ABsin 180 60 75 6答案 5 619.如图，连接 A1B2由已知 A2B210 ，2A1A230 10 ， A1A2 A2B2.22060 2又 A1A2B218012060， A1A2B2是等边三角形， A1B2 A1A210 .由已知， A1B120，2 B1A1B21056045，(8分)17在 A1B2B1中，由余弦定理得B1B A1B A1B 2 A1B1A1B2cos 452 21 220 2(10 )222010 200，2 222 B1B210 .2因此，乙船的速度为 6030 (海里/时)(12分)10 220 2