1、第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是 2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程 （4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0 时，应满足（a0）21.2 降次解一元二次方程 1一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如 ax2(a0)， b)ax(2(
2、b0)类的一元二次方程 ax2，则 a； b)x(2， ba， b对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为 或 的形式，也可以用此法解(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解要清楚使乘积 ab0 的条件是 a0 或 b0，使方程 x(x3)0 的条件是 x0 或x30x 的两个值都可以使方程成立，所以方程 x(x3)0 有两个根，而不是一个根(3)配方法：任何一个形如 bx2的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程如解 762时，可把方程化为 7x62，22
3、676，即 2)3x(，从而得解注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是 1(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点(3)公式法：一元二次方程 0cbxa2(a0)的根是由方程的系数 a、b、c 确定的在0ac4b2的前提下，4x用公式法解一元二次方程的一般步骤：先把方程化为一般形式，即 ca2(a0)的形式；正确地确定方程各项的系数 a、b、c 的值(要注意它们的符号)；计算 0ac4b2时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；将 a、b、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式
4、的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法解题时要根据方程的特征灵活选用方法2一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根而根的情况，由 ac4b2的值来确定因此 ac4b2叫做一元二次方程 0cbxa2的根的判别式0 方程有两个不相等的实数根0 方程有两个相等的实数根r) 两圆内切 d=R-r(Rr)两圆内含 dr)24.3 正多边形和圆 一、本章知识框架二、本章重点1圆的定义：(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合2判定一个点 P 是否在O 上
5、设O 的半径为 R，OPd，则有dr 点 P 在O 外；dr 点 P 在O 上；dR(2)直线和O 有唯一公共点 直线 l 和O 相切 dR(3)直线 l 和O 有两个公共点 直线 l 和O 相交 dr)，圆心距 (1) 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 外离dRr(2) 没有公共点，且 的每一个点都在 外部 内含 dRr(3) 有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部 外切dRr(4) 有唯一公共点，除这个点外， 的每个点都在 内部 内切dRr(5) 有两个公共点 相交 RrdRr10两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(2)相交两圆的连
6、心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点11圆中有关计算：圆的面积公式： ，周长 C2R圆心角为 n、半径为 R 的弧长 圆心角为 n，半径为 R，弧长为 l 的扇形的面积 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 l 的圆柱的体积为 ，侧面积为 2Rl，全面积为 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 l，高为 h 的圆锥的侧面积为 Rl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长 弧长 圆面积 扇形面积公式（2）扇形与弓形的联系与区别（2）扇形与弓形的联系
7、与区别图示面积知识点 4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为 2 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的全面积说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点 5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为 r，高为 h，则圆柱的侧面积 ，圆柱的全面积知识小结：圆锥与圆柱的比较名称 圆锥 圆柱图形图形的形成过程由一个直角三角形旋转
8、得到的，如 RtSOA 绕直线 SO 旋转一周。由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD 绕直线 AB 旋转一周。图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面侧面展开图的特征 扇形 矩形面积计算方法第二十五章 概率初步 25.1 随机事件与概率 1随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用 表示，其中的每一个结果用 e表示， 称为样本空间中的样本点，记作 e2随机事件在随机试验中，把
9、一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)通常把必然事件(记作 )与不可能事件 (记作 )看作特殊的随机事件3频率与概率的定义(1) 频率的定义设随机事件 A 在 n 次重复试验中发生了 An次，则比值 Ann 称为随机事件 A 发生的频率，记作 ()nfA，即 ()nf.(2) 概率的统计定义在进行大量重复试验中，随机事件 A 发生的频率具有稳定性，即当试验次数 n 很大时，频率 ()nfA在一个稳定的值 p(0 1)附近摆动，规定事件 A 发生的频率的稳定值 p为概率，即 ()PAp(3) 古典概率的定义具有下列两个特征的随机试验的数
10、学模型称为古典概型：(i) 试验的样本空间 是个有限集，不妨记作 12,ne ;(ii) 在每次试验中，每个样本点 ie( , ）出现的概率相同，即12()()()nPeP在古典概型中，规定事件 A 的概率为()A中 所 含 样 本 点 的 个 数中 所 含 样 本 点 的 个 数(4) 几何概率的定义如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件的概率为 ()AP的 长 度 （ 或 面 积 、 体 积 ）样 本 空 间 的 的 长 度 （ 或 面 积 、 体 积 ）25.2 用列举法求概率 1、当一次试验中
11、，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用被关注的结果在全部试验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采用列举法2、列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法但有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题可能解的数目.3、利用列表法或树形图法求概率的关键是：注意各种情况出现的可能性务必相同；其中某一事件发生的概率 ；在考查各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏；各 种 情 况 出 现 的 次 数某 一 事 件 发 生 的 次 数4、用列表法或树形图法求得的概率是理论概率，而实验估计值是频率，它
12、通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率。25.3 用频率估计概率 在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率。事件发生的频率与概率既有区别又有联系：事件发生的频率不一定相同，是个变数，而事件发生的概率是个常数；但它们之间又有密切的联系，随着试验次数的增加，频率越来越稳定于概率。在具体操作过程中，大家往往发现：虽然多次试验结果的频率逐渐稳定于概率，但可能无论做多少次试验，两者之间存在着一定的偏差。应该注意：这种偏差的存在是经常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影响，通过试验得到
13、的估计结果往往不太理想，甚至有可能出现极端情况，此时我们应正确地看待这样的结果并尝试着对结果进行合理的解释。对试验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节。在实际应用中，当试验次数越大时，出现极端情况的可能性就越小。因此，我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率，并用它作为概率的估计值。试验次数越多，得到的估计结果就越可靠。第二十六章 反比例函数26.1 知识点 1 反比例函数的定义一般地，形如 （k 为常数， ）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：xy0x 是自变量，y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范围是 的一切实数，函数值的取值范围是
14、；0y比例系数 是反比例函数定义的一个重要组成部分；0k反比例函数有三种表达式： （ ） ，xy （ ） ，1k0 （定值） （ ） ；k函数 （ ）与 （ ）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数时，x 也是 y 的反比例函xy0yx0k数。（k 为常数， ）是反比例函数的一部分，当 k=0 时， ，就不是反比例函数了，由于反比例函数 xk（ ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表xy0达式。26.2 知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数 （ ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而
15、xky0确定反比例函数的表达式。26.3 知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量 ，函数值 ，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交0x0y点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌
16、将图像与坐标轴相交。26.4 知识点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数 （ ）xky0的k符号 0k图像性质 的取值范围是x，y 的取值范围0是当 时，函数图k像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 的取值范围是x，y 的取值范围0是当 时，函数图k像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当 时，y 随 x 的增大而0k减小“，就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是
17、有反比例函数系数 k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。如 在第一、第三象限，则可知 。xy反比例函数 （ ）中比例系数 k 的绝对值 的几何意义。xky0如图所示，过双曲线上任一点 P（x，y）分别作 x 轴、y 轴的垂线，E、F 分别为垂足，则 OEFSF矩 形k反比例函数 （ ）中， 越大，双曲线 越远离坐标原点； 越小，双曲线 越靠近坐xky0kxkykxky标原点。双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=x。第二十七章 相似 271 图形的相似 概述如果两个图形形状
18、相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。 （相似的符号：） 判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为 1 时，相似的两个图形全等。 性质相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。 相似多边形的面积比等于相似比的平方。272 相似三角形 判定1.两个三角形的两个角对应相等 2.两边对应成比例,且夹角相等 3.三边对应成比例 4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 例题A= A; B= B ABCABC 性质1.相似三角形的一切对应线段(对应
19、高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方273 位似 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。性质位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布
20、在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 注意 1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 2、 两 个 位 似 图 形 的 位 似 中 心 只 有 一 个 ； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐角角 A 的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec ） ， （余割 csc）都叫做角
21、 A 的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边； 直角三角形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边, 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 282 解直角三角形 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理” ） a2+b2=c2, 其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边， c 为斜边。 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是 3，4 和 5 的倍数。直角三角形的特征直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形中
22、30所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：在 Rt ABC 中，若C90，则 a2+b2=c2；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在ABC 中，若 a2+b2=c2，则C90；射影定理：AC2=AD AB,BC2=BD AB,CD2=DA DBAA锐角三角函数的定义：如图，在 Rt ABC 中，C90，A，B，C 所对的边分别为 a,b,c,则 sinA= ,cosA= ,tanA= ,cotA=ac bc ab ba特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随 的变化情况）1 si
23、n cos tan cot30 12 f 32 33 345 22 22 1 160 32 12 3 33ABCDABC acb解直角三角形（RtABC,C90）三边之间的关系：a2+b2=c2两锐角之间的关系：A B90 边角之间的关系：sinA= ,cosA= tanA= ,Aac的 对 边 斜 边 Abc的 邻 边 斜 边 Aab的 对 边 的 邻 边解直角三角形中常见类型：已知一边一锐角已知两边解直角三角形的应用第二十九章 投影与视图 291 投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection） ，照射光线叫做投影线，投影所在的平面
24、叫做投影面。 有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection).由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。292 三视图 三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射
25、所得的视图称主视图能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图能反映物体的左面形状， 还有其它三个视图不是很常用。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。主视、俯视 长对正 物 体 的 投 影主视、左视 高平齐 左视、俯视 宽相等 在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和确定形体的形状和结构的。如图所示，三个
26、形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。 一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。画法：根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的 形 体 ） ； 先 大 （ 大 形 体 ） 后 小 （ 小 形 体 ） ； 先 画 轮 廓 ， 后 画 细 节 。 画 每 个 形 体 时 ， 要 三 个 视 图 联 系 起 来 画 ， 并 从 反 映 形 体 特 征 的 视 图 画 起 ， 再 按 投 影 规 律 画 出 其 他 两 个 视 图 。 对 称 图 形 、半 圆 和 大 于 半 圆 的 圆 弧 要 画 出 对 称 中 心 线 ， 回 转 体 一 定 要 画 出 轴 线 。 对 称 中 心 线 和 轴 线 用 细 点 划 线 画 出 。
