1、2013 高考数学常见难题大盘点：函数1.已知 0a，函数 ),0(,1)(xaxf 。设 ax21，记曲线 )(xfy在点)(,1xfM处的切线为 l。()求 l的方程；()设 与 轴交点为 )0,(2x。证明： ax102； 若 1，则 ax121()分析：欲求切线 l的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归 结为求曲线 )(fy在点 )(,1xfM的一阶导数值。解：求 )(xf的导数： 2x，由此得切线 l的方程：)(1121ay。()分析：要求 2x的变化范围，则须找到使 2x产生变化的原因，显然， 2x变化的根本原因可归结为 1的变化，因此，找到 2与 1的
2、等量关系式，就成； 欲比较 与 1的大小关系 ，判断它们的差的符号即可。 证：依题意，切线方程中令 y0， axaxxax 2)2()1( 1112 ， 其 中. 由 1)(,0),(,0 2122121 及有 axax时 ，当 且 仅 当. axxx)(211211 ， 且 由 ， 因 此 ，时 ，当 x2所 以。点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。2.已知二次函数 )0,(1)(2aRbxaxf ，设方程 xf)(的两个实数根为 1x和 2. (1)如果 42x，设函数 )(xf的对称轴为 0x，求证： 10；(2)如果 1， 1，
3、求 b的取值范围.分析：条件 2x实际上给出了 xf)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化. 解：设 1)()(2bafg，则 0)(g的二根为 1x和 2.来源:学|科|网(1)由 0a及 421x，可得 )4(2，即 0346ba，即,0432,3ab两式相加得 12ab，所以， 10x;(2)由 ax)()(21， 可得 1)(2b.又 02，所以 21,x同号. 1x， 12等价于 1)(120bax或 1)(2021bax，即 1)(120)2bag或 1)(0)2bag解之得 4或 7.点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特
4、征的充要条件是解决问题的关键。3.A是由定义在 4,2上且满足如下条件的函数 )(x组成的集合：对任意 2,1x，都有 )2,1(x ； 存在常数 )10(L，使得对任意的 2,1,x，都有| 21xL()设 4,)(3x，证明： Ax)()设 A，如果存在 ,0x，使得 )2(0，那么这样的 0x是唯一的;()设 x)(，任取 )21(l，令 ,1,1nxn证明:给定正整数 k，对任意的正整数 p，成立不等式 | 12Lxklk解：对任意 2,1x， ,21)(3， 3)(x35，531，所以 ,x对任意的 ,21x， 2332132121 1|)()(| xxx，3232121x，所以 0
5、 32321321 xx，令 32321321x L， 10，|)()(| xL所以 Ax反证法:设存在两个 00),21(,xx使得 )2(0x， )2(0x则由 |()2(| /0Lx，得 | /L，所以 1L，矛盾，故结论成立。 121223 )()(xx，所以 121xxnn| 121211 Lx kkpkpkpkkp kpkpkpk xxx 1211 12312xLxLpkp 12Lk 12LK点评：本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。4.设函数 2()1(0)fxtxttR， ()求 的最小值 (
6、)h；()若 ()2htm对 02t， 恒成立，求实数 m的取值范围解：() 3()1(0)fxtxtR， ，当 xt时， 取最小值 3ft，即 3()1h来源:Z.xx.k.Com()令 3()2)1gttmt，由 2()30得 ， (不合题意，舍去)当 t变化时 t， ()的变化情况如下表：t(0，1) 1(1， 2)()g0t递增极大值 1m递减()gt在 02， 内有最大值 (1)ghm在 (， 内恒成立等价于 ()0t在 (2)， 内恒成立，即等价于 1，所以 的取值范围为 1点评：本题主要考查函数的单调性、极值以 及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力 5.乙两地
7、相距 S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c千米时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分 组成：可变部分与速度 v(千米时)的平方成正比，比例系数为 b；固定部分为 a元. 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米时)的函数，并指出函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有 相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.解：(读题)由主要关系：运输总成本每小时运输成本时间，(建模)有 y( a bv2) Sv(解题 )所以全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米时)的函数关系式是：y
8、 S( v bv)，其中函数的定义域是 v(0， c .整理函数有 y S( a bv) S(vab)，由函数 y x k (k0)的单调性而得：当 ab c时，则 v ab时， y取最小值；当 c时，则 v c时， y取最小值.综上所述，为使全程成本 y最小，当 ab c时，行驶速度应为 v ab；当 c时，行驶速度应为 v c.点评：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度 v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.6.设函数 54)(2xxf.(
9、1)在区间 6,上画出函数 )(f的图像；(2)设集合 ),64,02,(,5)( BxfA . 试判断集合 A和 B之间的关系，并给出证明；(3)当 2k时，求证：在区间 ,1上， 3ykx的图像位于 函数 )(xf图像的上方.解：(1)来源:Z|xx|k.Com(2)方程 5)(xf的解分别是 4,02和142，由于 在 1,(和 5,上单调递减，在 ,和 ),5上单调递增，因此,142,0142,A. 由于 AB,6. (3)解法一 当 5,1x时， 54)(2xxf.)3()2kg)5(42kxx36202， ,2k14k. 又 5x， 当 1，即 62时，取 24k，min)(xg1
10、043022kk.6)(,6)162 ，则 0)(minxg. 当 124k，即 6k时，取 1x， min)(xg 02k.由 、可知，当 时， 0)(g， 5,.因此，在区间 5,1上， 3xky的图像位于函数 )(xf图像的上方.解法二 当 ,x时， 54)(2f.由 ,54)3(2xyk 得 0)53()4(2kx，令 0)()(2k，解得 2或 18， 在区间 5,1上，当 时， )3(xy的图像与函数 )(xf的图像只交于一点 )8,1(；当 8k时， )3(xy的图像与函数 f的图像没有交点. 如图可知，由于直线 k过点 )0,3(，当 2k时，直线 )3(xky是由直线)3(2
11、xy绕点 )0,(逆时针方向旋转得到. 因此，在区间 5,1上， )(的图像位于函数 f图像的上方. 7.设 f(x) 3ax 0.2cbaxb若 ， f(0)0， f(1)0，求证：() a0 且2 1；()方程 f(x)0 在(0，1)内有两个实根. (I)证明：因为 ,()f，所以 0,320cabc.由条件 abc，消去 b，得 a；由条件 0，消去 c，得 ， .故 21.(II)抛物线 2()3fxabxc的顶点坐标为23(,)bac，在 21b的两边乘以 1，得 23.又因为 (0),()0,ff而 ()0,bacf所以方程 fx在区间 ,3与 ,1内分别有一实根。故方程 ()0
12、在 (1)内有两个实根.8.已知定义域为 R的函数 12()xbfa是奇函数。()求 ,ab的值；()若对任意的 t，不等式 22()()0ftftk恒成立，求 k的 取值范围；解：()因为 ()fx是奇函数，所以 0f0，即 112()xbfaa又由 f(1) f(1)知 122.4()解法一：由()知 1)1xxf，易知 ()fx在 ,)上为减函数。又因 ()fx是奇函数，从而不等式： 22()0ftftk等价于 222)()fttkft，因 x为减函数，由上式推得：2tk即对一切 R有： 30k，从而判别式 14120.k解法二： 由()知 1()xf又由题设条件得： 2 2110t t
13、k，即 ： 2222()()()()0tktt tk，整理得 231,t因 底 数 ,故 :3t上式对一切 R均成立，从而判别式 1412.3k9.设函数 f(x) ,2ac其中 a为实数.()若 f(x)的定义域为 R，求 a的取值范围;来源:学科网 ZXXK()当 f(x)的定义域为 R时，求 f(x)的单减区间.解：() ()fx的定义域为 R， 20xa恒成立， 240a，04a，即当 04a时 ()f的定义域为 R() 22()e)xxf，令 0f ，得 (2)0xa 由 (0f，得 或 a，又 4，2a时，由 ()0fx得 2x；当 时， ；当 时，由 ()0fx得 20ax，即当
14、 0时， ()fx的单调减区间为 ， ；当 24a时， 的单调减区间为 (2)a， 10.已知定义在正实数集上的函数 21()fxx， 2()3lngaxb，其中 0a设两曲线 yf， g有公共点，且在该点处的切线相同(I)用 表示 b，并求 的最大值； 来源:学&科&网 Z&X&X&K(II)求证： ()fxg ( 0)解：()设 y与 x在公共点 0()xy，处的切线相同()2fxa，23()g，由题意 00)fg， 00()fxg即220001ln3xbax，由2003ax得： 0，或 03xa(舍去)即有 22215lnlnb令 5()3()htt，则 ()13)htt于是当 1ln0tt，即13te时， 0t；当 (3)，即 时， ()h故 ()ht在130e，为增函数，在13e，为减函数，于是 ()t在 )， 的最大值为1233h()设 22( ln(0)Fxfgxaxbx，则 ()23()3()a故 x在 0，为减函数，在 (， 为增函数，于是函数 ()F在 ) 上的最小值是 00()()Faxfgx故当 x时，有 (0fxg ， 即当 时，
