1、 1函数奇偶性知识梳理1. 奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 ，都有 ，()yfxDx()(fxf则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 ，都有 ，f ff则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数 ()fx是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 ()fx具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在 0时有定义，则 (0)f（2）若 且 的定义域关于原点对称，则 既是奇函数又是偶函数()fx()fx()fx2奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数
2、的图象关于 轴对称y(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反3. 判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 1确定 f( x)与 f(x)的关系； 2作出相应结论： 3若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0， 则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0， 则 f(x)是奇函数例题精讲【例 1】若函数 是偶函数，求 的值.2()fxabb解：函数 f(x)ax 2bx 是偶函数，f(x) f(x)ax 2bx= ax 2-bx.2bx
3、=0. b0.【例 3】已知函数 在 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.21fxy题型一 判断函数的奇偶性【例 4】判断下列函数的奇偶性.（1） ；2()|1)fx2（2） ；1()fx（3） ；|x（4） ；()2f（5） 11x（6）2,0()xf解：（1） 的定义域为 R，关于原点对称2|(1)f 22|(1)(xxxf ，即 是偶函数ff)f（2） 的定义域为()|0由于定义域关于原点不对称故 既不是奇函数也不是偶函数()fx（3） 的定义域为 R，关于原点对称|1|f( x )|x 1| x 1| |x1| |x1|(|x1|x 1|) f(x)，f( x)|x 1|x 1|
4、是奇函数（4） 的定义域为2，2由于定义域关于原点不对称，故 既不是奇函数也不是偶函数()fx（5） 的定义域为1，1，211x由 且 ，所以0f()f()0fx所以 图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称)故 既是奇函数又是偶函数(fx（6）显然定义域关于原点对称当 x0 时，x0 ，f( x)xx 2(x 2x)即2,0()f即 (fxf 为奇函数()题型二 利用函数的奇偶性求函数值【例 2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(3)2，求 f(3)和 f(0)的值.解：f( x)是定义在 R 上的奇函数，f(3) f(3)2，f(0)0. 3【例 5】已知 f(x)是奇函数， g(x
5、)是偶函数，且 f(1)g(1)2，f(1)g( 1)4，求 g(1).解：由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数得 ，f所以 f(1) g(1)2 f(1)g(1)4 由消掉 f(1)，得 g(1)3. 题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式【例 6】已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x) x3 x2，()fx当 x0 时，求 f(x)的解析式 .解：当 时，有0x0所以 3232()()fxx又因为 在 R 上为偶函数所以 32f所以当 时， .0x()fx【例 7】若定义在 R 上的偶函数 和奇函数 满足 ，求 .()f()gx()xfge()g解：因为 为偶函数， 为
6、奇函数()fg所以 ，xf(x因为 fe所以 ()x所以 fxg由式消去 ，得 .()f()2xe课堂练习 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 函数 是（ ）()1fxxA.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数2.已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 （ ）()f 021()fx()fA.2 B.1 C.0 D.-23. f(x)为偶函数，且当 x0 时，f (x)2，则当 x0 时，有（ ）A f(x)2 Bf(x)2 Cf (x)2 D.f(x)R4. 已知函数 y=f（x）是偶函数， y=f（x2 ）在 0，2上是单调减函数，则（ ）A.f（0）f （1 ）f
7、（2） B.f（1）f（0）f（2）C.f（1）f（2 ）f （0 ） D.f（2 ）f（1）f（0）5.已知函数 f（x）=ax 2bxc （a0）是偶函数，那么 g（x ）=ax 3bx 2cx 是（ ）A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数6. 定义在 R 上的奇函数 f（x）在（0，+）上是增函数，又 f（3 ）=0，则不等式 xf（x）04的解集为（ ）A.（3，0） （0，3 ） B.（，3）（3，+ ）C.（3，0）（3，+） D.（，3 ） （0 ，3）7. 若 f(x)在 5,5上是奇函数，且 f(3)f(1) Cf(2)f(3) Df(3)f(5)8.
8、设 f(x)在 2，1上为减函数，最小值为 3，且 f(x)为偶函数，则 f(x)在1,2 上( )A为减函数，最大值为 3B为减函数，最小值为3C为增函数，最大值为3D为增函数，最小值为 39.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，)上为增函数的是( )A y x3 Byx2 1Cy|x|1 Dy2|x|10.若函数 f(x)(x1)(xa) 为偶函数，则 a( )A 1 B1C0 D不存在11.偶函数 y f(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程 f(x)0 的所有根之和为_12.如图，给出了偶函数 y = f (x)的局部图象，试比较 f (1)与 f (3) 的大小.13. 已知函数 是奇函数，求 的值.()(0)pfxmm14. 已知 f(x)是偶函数，g (x)是奇函数，且 f(x)g(x )x 2x2 ，求 f(x)，g(x)的表达式xyO 32 1515.定义在(1,1)上的奇函数 f(x)是减函数，且 f(1a)f(1a 2)0，求实数 a 的取值范围16.函数 f(x) 是定义在(1,1)上的奇函数，且 f ，求函数 f(x)的解析式ax b1 x2 (12) 2517.判断函数 的奇偶性.1()xfx
