1、 第 1 页矩阵及其运算矩阵的概念1、形如 、 、 、 这样的矩形数表叫做矩阵。3512863241mn3124n2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量 称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量 称12,na 12nb为列向量；由 个行向量与 个列向量组成的矩阵称为 阶矩阵， 阶矩阵可记做 ，如矩阵mnmnmA为 阶矩阵，可记做 ；矩阵 为 阶矩阵，可记做 。有时矩阵也可用 、13221A52183633等字母表示。B3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个 阶矩阵 中的第 （ ）行第 （ ）列数可用mnmnAijn字母 表示，如矩阵 第 3 行第 2 个数为 。ija512836321a4
2、、当一个矩阵中所有元素均为 0 时，我们称这个矩阵为零矩阵。如 为一个 阶零矩阵。0235、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有 行（列） ，可称此方阵为n阶方阵，如矩阵 、 均为三阶方阵。在一个 阶方阵中，从左上角到右下角所n5128363241mn有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为 1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵 为102 阶单位矩阵，矩阵 为 3 阶单位矩阵。106、如果矩阵 与矩阵 的行数和列数分别相等，那么 与 叫做同阶矩阵；如果矩阵 与矩阵 是同阶矩阵，ABABAB当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵 与矩阵 叫做相等
3、的矩阵，记为 。7、对于方程组 中未知数 的系数按原来的次序排列所得的矩阵 ，我们23142xymznzyx, 2341mn第 2 页叫做方程组的系数矩阵；而矩阵 叫做方程组的增广矩阵。23142mn应用举例：例 1、已知矩阵 且 ，求 、 的值及矩阵 。22,xybaABabxABabA例 2、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1） ； （2）3146xy3205xyz例 3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1） （2）2541023例 4、已知矩阵 为单位矩阵，且 ，求 的值。sinco01,2sin矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行或两列；（2）把某一行同乘（除）以一个非
4、零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。第 3 页显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。应用举例：例 1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组 的解。4357248xyz例 2、运用矩阵变换方法解方程组： （ 、 为常数）32axyba课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组 的解 与 相等，求 的值。2(1)()4xykyxyk（3）解方程组：3205781xyz第 4 页矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质
5、等问题，这是下面所要讨论的主要内容.）1相等定义 如果两个矩阵 ， 满足：nmijaApsijbB(1) 行、列数相同，即 ；s,(2) 对应元素相等，即 aij = bij ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，i则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A = B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个 m n 矩阵相等，等价于元素之间的 m n 个等式.）例如，矩阵A = ， B = 23211a41250那么 A = B，当且仅当a11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4而C = 21c因为 B, C 这两
6、个矩阵的列数不同，所以无论矩阵 C 中的元素 c11, c12, c21, c22 取什么数都不会与矩阵 B 相等.2加法定义 2.3 设 ， 是两个 m n 矩阵，则称矩阵nmijaApsijbBC = mnmmnbaba 21 22 1121为 A 与 B 的和，记作C = A + B = ijij（由定义 2.3 可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.）同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) = ijijba称 D 为 A 与 B 的差.第 5 页例 1 设矩阵 A = ， B = ，求 A + B，A - B.15240313042例
7、 2、矩阵 ， ， ，若 ，cos0tan1A0tantanB2017CABC， ，求 的值。(0,)(,)2si2矩阵加法满足的运算规则是什么？ 设 A, B, C, O 都是 m n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则1. 加法交换律： A + B = B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O . 3数乘定义 2.4 设矩阵 ， 为任意实数，则称矩阵 为数 与矩阵 A 的数乘，其中nmijanmijcC，记为),21;,21
8、(jiacjij C = A（由定义 2.4 可知，数 乘一个矩阵 A，需要用数 去乘矩阵 A 的每一个元素.特别地，当 = -1 时， A = -A，得到 A 的负矩阵.）例 3 设矩阵 A = ，用 2 去乘矩阵 A，求 2A.06254713第 6 页数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数 k , l 和矩阵 A = ，B = 满足以下运算规则：nmijanmijb1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ；
9、4. 数 1 与矩阵满足： 1A = A. 例 4 设矩阵 A = ，B = ，求 3A - 2B.60523712844乘法矩阵乘积的定义 设 A= 是一个 m s 矩阵，B= 是一个 s n 矩阵，则称 m n 矩阵 C = 为矩阵ijaijbijcA 与 B 的乘积，记作 C = AB.其中 cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ).ikj1（由矩阵乘积的定义可知：）(1) 只有当左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数时， A, B 才能作乘法运算 AB；(2) 两个矩阵的乘积 AB 亦是
10、矩阵，它的行数等于左矩阵 A 的行数，它的列数等于右矩阵 B 的列数；(3) 乘积矩阵 AB 中的第 行第 j 列的元素等于 A 的第 行元素与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和，故简称i i行乘列的法则.例 6 设矩阵 A = ， B = ，计算 AB.53041210789例 7 设矩阵 A = ，B = ， 求 AB 和 BA.21412第 7 页由例 6、例 7 可知，当乘积矩阵 AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵 AB 和 BA 有意义时，AB和 BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例 6 中矩阵
11、 A 和 B 都是非零矩阵（A O, B O ）,但是矩阵 A 和 B 的乘积矩阵 AB 是一个零矩阵（AB = O） ，即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 .因此，当 AB = O，不能得出 A 和 B 中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵 AB = AC，且 A O 时，不能消去矩阵 A，而得到 B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？ 矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB）C = A（BC ） ； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k（
12、AB ）= （k A ）B = A（k B） ，其中 k 是一个常数.例 8：已知 ，矩阵 ，求 。0112练习：计算下列矩阵的乘法（1） ；（2） 。 112()nbaa 122()nnab例 9、已知矩阵 ， ， ，若 A=BC，求函数 在1,2 上的最小值.)(xfAxB1a2C)x(f例 10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式第 8 页（1） ；（2） 。1437xy3142xyz例 11：若 ，矩阵 就称为与 可变换，设 ，求所有与 可交换的矩阵 。ABA10AB课堂练习与课后作业一、选择题1、 “两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充
13、分条件是 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组 其中正确的是（ ）1y2x3A、 B、1213yx 3C、 D、2 122yx3、若 ，且 ，则矩阵 _.14030453AB， 3AXBX4、点 A（1，2）在矩阵 对应的变换作用下得到的点的坐标是_1025、已知 是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么 a+b= .ba0第 9 页6、若点 A 在矩阵 对应的变换作用下得到的点为（1，0） ，那么 = .)2,( cossini7、若点 A 在矩阵 对应的变换作用下下得到的点为（2，4） ，那么点 A 的坐标为 .18、已知 ， 若 A=B，那么
14、 += .1sincosinco12B9、设 A 为二阶矩阵，其元素满足， i=1，2，j=1，2，且 ，那么矩阵 A= .0ajiij 2a1210： ， ，且 ，那么 A+AB= 。 46xy3uBvA11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为 1 行 3 列的矩阵 ，那么该线性方程组为 (1,2)。12、计算:若矩阵 ，则 _.cos60in2i 31AB， AB13、计算： = .3421560114. 线性方程组 对应的系数矩阵是_，增广矩阵是_.354xy15、 已知矩阵 ，则 _.2301(,2)123ABC， ， ()ABC二、简答题1. 已知 ，分别计算 ，猜测 ；10A23A、 *(2)nN，2. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:第 10 页 ；32105xy .16203xyz3. 若 ，则 _202137xyxy4、已知矩阵 ， ， ，若 A=BC，求函数 在 上的最)(fAxBsin2cosinxCsinco)x(f3,0小值.
