1、- 1 -第 5 讲 函数的奇偶性和周期性知识梳理1函数的奇偶性的定义：对 于 函 数 )(xf的 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有 )(xff 或 0)(xff ，则称 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。对 于 函 数 )(xf的 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有 )(xff 或 )(xff ，则称 为偶函数. 偶函数的图象关于 y轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）1 函数的周期性命定义：对于函数 )(xf，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每
2、一个 x值，都满足)(Txf，那么函数 )(xf就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期。重、难点突破重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式 )0(1)(0)()()( xffxffxff,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意若 f,则 既是奇函数又是偶函数,若)0()mxf,则 (xf是偶函数； 若 )(xf是奇函数且在 0x处有定义，则若在函数 的定义域内有 m，则可以断定 )(f不是偶
3、函数，同样，若在函数 )(xf的定义域内有 )()(ff，则可以断定 x不是奇函数。2奇偶函数图象的对称性（1 ） 若 )(afy是偶函数，则 )(2(xfafx)(f的图象关于直线 ax对称；（2 ） 若 )(bfy是偶函数，则 )()2fbfb)(xf的图象关于点 0,中心对称；- 2 -3函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：（1 ）函数值之和等于零型，即函数 )(0)()(baxbfaf 对于定义域中任意 x满足 )(xf，则有 )(2(xfaxf，故函数 )(f的周期是 2bT（2 ）函数图象有 ax，
4、)(两条对称轴型函数图象有 ， 两条对称轴，即 )()(xaff，)()(xbff，从而得 )2(xabxf，故函数 的周期是 )2T（3 ） 两个函数值之积等于 1，即函数值互为倒数或负倒数型若 )()()(baxfaf ，则得 )2()()2( abxfaxf ，所以函数x的周期是 T2；同理若 1b ，则 (xf的周期是)(2b（4 ） 分式递推型，即函数 )(xf满足 )(1)(baxfaf由 )(1)(bafaxf 得 )2()(ff，进而得)2(f，由前面的结论得 x的周期是 )(4abT热点考点题型探析考点 1 判断函数的奇偶性及其应用题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性例 1
5、判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=| x+1|x1| ；（2）f （x）=（x1） x1；（3） |1)(f；（ 4） ).0()(,)f思路点拨 判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。解析 （1）函数的定义域 x（，+） ，对称于原点.- 3 -f（x）=| x+1|x 1|=|x1| |x+1|= （|x+1| x 1|）=f（x） ，f（x）=| x+1|x 1|是奇函数.（ 2） 先 确 定 函 数 的 定 义 域 .由 10， 得 1x 1， 其 定 义 域 不 对 称 于 原 点 ， 所 以 f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判
6、断.由 ,02|1x得 .4,x且故 f（ x） 的 定 义 域 为 1， 0） （ 0， 1 ， 关 于 原 点 对 称 ， 且 有 x+2 0.从 而 有 f（ x） = 2= x2，f （x）= x2)(= 1=f（x）故 f（x）为奇函数 .（4）函数 f（ x）的定义域是（ ，0） （0，+） ，并且当 x0 时，x0，f（x）=（ x） 1（ x） =x（1+x）=f（x） （x0）.当 x0 时，x 0，f（x）=x（1x）=f （x） （ x0）.故函数 f（x）为奇函数 .【名师指引】 函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶 1函数的定义域为
7、 D, 则 D时 ) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件分段函数的奇偶性一般要分段证明.判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 2题型 2：证明抽象函数的奇偶性例 2 （11 年山东梁山）定义在区间 )1,(上的函数 f (x)满足：对任意的 )1,(,yx，都有 )1()(xyfyfx. 求证 f (x)为奇函数；思路点拨 欲证明 )(f为奇函数，就要证明 )()(xff，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的 )1,(,yx，都有 1yfyf”中的 yx,进行合理“赋值”解析 令 x = y = 0，则f (0) + f (0) = )0(1(f f (0) = 0令 x
8、(1, 1) x( 1, 1) f (x) + f (x) = f ( 21) = f (0) = 0 f (x) =f (x) f (x) 在( 1，1)上为奇函数【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值” ，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是 f (x1) f (x2) = f (x1) + f (x 2)- 4 -新题导练1 （ 11 广东电白一中）设函数 axxf12为奇函数，则 a_。解析0；由函数 xf2为奇函数得到 0f，即 012所以 0a2 （高州中学 11 届训练题）已知函数 baxxf3)(2是定义域为 ,a的偶函数，则 b的值是（
9、 ）A0 ；B 31；C1；D 1解析 B；由函数 baxxf3)(2是定义域为 2,1a的偶函数得 0b，并且a2，即 ，所以 的值是 03定义两种运算： 2ba， 2)(ba，则 2)()xf是_函数， （填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）解析 奇；依 2ba和 2)(得4)(4)2()2xxxf，其定义域为 2,0(),，所以f)(4)，可见， )(f是奇函数4已知函数 cbxaf12（a、b、cZ）是奇函数,又 2)1(f， 3)(f，求 a、b、c的值.解析 01， ；由 f（x）=f（x） ，得bx+c=（bx+c）.c=0，由 f（1 ）=2 ，得 a+1=2b，由 f（
10、2）3，得 14a3，解得1a2.又 aZ， a=0 或 a=1.若 a=0，则 b= 2，与 bZ 矛盾.a=1，b=1，c=0.考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用例 3 （普宁市城东中学 11）已知奇函数 )(xf是定义在 )2,(上的减函数，若0)1()(mff，求实数 的取值范围。思路点拨 欲求 的取值范围，就要建立关于 m的不等式，可见，只有从)2()(ff出发，所以应该利用 )(xf的奇偶性和单调性将外衣“ f”脱去。- 5 -解析 )(xf是定义在 )2,(上奇函数对任意 ,有 fxf由条件 0)1()(mf 得 (1)(21)fm= (2)fx是定义在 2,上减函数21，解
11、得 3实数 m的取值范围是 12m【名师指引】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式例 4设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a 2+a+1)3a22a+1. 解之，得 0a3.又 a23a+1=(a 3)2 5.函数 y=( 1) 2的单调减区间是 3,)结合 0a3,得函数 y=( 3) 12a的单调递减区间为 23，3).【名师指引】偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。新题导练5（普宁市城东中学 11 届高三模拟）若 ()fx是奇函数，且在 0,内是增函数，又 (3)0f，则 ()0
12、xf的解集是（ ）A.3x或 ；B. 3x或 0C. 或 ； D. x或解析D；因为 ()fx在 0,内是增函数， ()f，所以当 30x时， 0)(xf；当 3x时， ，又因 ()fx是奇函数，其图象关于原点对称，所以当 时，- 6 -0)(xf；当 3时， 0)(xf，可见 ()0xf的解集是 303xx或6 （ 2010天津改编）在 R上定义的函数 是奇函数，且 f2，若 f在区间 2,1是减函数，则函数 xf（ ）A.在区间 ,3上是增函数，区间 4,3上是增函数B.在区间 上是增函数，区间 上是减函数C.在区间 2,上是减函数，区间 1,0上是增函数D.在区间 1上是减函数，区间 4
13、3上是减函数解析 C；由 xf知 f的图象关于直线 1x对称，由 xf在区间 2,1是减函数知 xf在区间 ,0是增函数，又由 fx2及 f是奇函数，得到)()()2(2ff，进而得 )(4x，所以 xf是以 4为周期的函数，故 xf在 ,3上是减函数。7 （普宁市城东中学 11 届高三模拟 ）定义在 R 上的奇函数 ()fx有最小正周期 4，且0,2x时， ()91xf。求 ()f在 2,上的解析式解析3,0,()2,91xxf当 20x时， 32,(),91xxxf又 ()f为奇函数， ()xff，当 0x时，由 0(0fff()f有最小正周期 4，(2)4)2)20f- 7 -综上，3,
14、02,91(),xxf考点 3 函数奇偶性、周期性的综合应用例 5 （11 年惠州第三次调研考）已知定义在 R上的偶函数 ()fx满足(2)(1fxf对于 R恒成立，且 )0x，则 (19)f _ 思路点拨欲求 9(f，应该寻找 x的一个起点值，发现 )(xf的周期性解析由 2)1fxf得到 )(2(ff，从而得 4ff，可见)(f是以 4 为周期的函数，从而 )3(94ff，又由已知等式得 )1(3ff又由 ()fx是 R上的偶函数得 )(f又在已知等式中令 x得 1，即 1)(f所以 1)9(f【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点，解决问题的关键是发现函数的
15、周期性（奇偶性） 。新题导练8 （执信中学 11 届训练题）设 xf是定义在 R上的正值函数,且满足fxff1.若 是周期函数,则它的一个周期是（ ）A. 3； B.2； C.6； D.4解析 ；由 f是定义在 R上的正值函数及 xffxf1得1xff， )(1)(fff ，- 8 -)(1()1(23xffxff ，所以 )(6xff，即 f的一个周期是 69 （ 10 年安徽改编）函数 对于任意实数 满足条件 12，若15,f则 f_解析 ；由 1)(2xf得 )(12xff，进而得 )(4xff所以 5(4( fff备选例题：（11 年广东）设函数 )7()(),2)(),() xffx
16、ffxf 上 满 足在，且在闭区间 7,0上，只有 .031f（）试判断函数 )(xfy的奇偶性；（）试求方程 在闭区间 205,上的根的个数，并证明你的结论 .解析 （）方法一：若 )(xf是偶函数，则 )(4(2)(2)( xffxff 于是有 03(47f，这与在闭区间 7,0上，只有 .0)3(1f矛盾故 )(xf不是偶函数；若 是奇函数，则 )()ff，这与在闭区间 7,0上，只有.0)3(1f矛盾，故若 x不是奇函数所以 x既不是偶函数，也不是奇函数方法二：因为在闭区间 7,上，只有 .0)3(1f故 )(f，即 )(xf不是奇函数又由 )2()(xff知， 5)(f，而 ，所以
17、01，又 .)1(f所以 1，可见 不是偶函数所以 )(xf既不是偶函数，也不是奇函数（）方法一：因为 )4()2()2()( xfxfxff - 9 -)14()7()7()( xfxfxff 所以 41，即 0f所以 )(0(xff，即 )()Znxff又 .3)，所以 1n和 3都是方程 0)(xf的根由 205125n和 205及 得到,0n故方程 )(xf在闭区间 ,上的根至少有 802 个如果存在 1,7c使得 0)(cf，则 0)(14(cff但 4，这与在闭区间 7,上，只有 .3矛盾故 0)(xf在 ,上只有两个根，即 x和设 d是方程 )(f在闭区间 205,上任意一个根，则存在整数 n，使得1,1rn，且 0)(1()rfnfdf由上可知 或 3，所以 或 3d（ Z）所以故方程 0)(xf在闭区间 205,上仅有 802 个根方法二：由 )4()()(2xfxff )10()3(737 xfxf知 )(xf是周期为 10 的函数，由 )7(xf知 (f的图象关于直线 x对称又因为 0)在 ,上仅有 .0)3(1f所以 0)(f在 1,7上没有根即 (xf在 1上只有两个根，即 x和于是， )在 2,内只有 400 个根，在 25,上仅有 2 个根，在0,2内仅有 400 个根，在 20,5上没有根。所以故方程 )(xf在闭区间 上仅有 802 个根
