1、函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数 ，如果对于函数定义域内任意一个 ，都有 ，)(xf x)(xff那么函数 就叫做偶函数。)(xf一般地，对于函数 ，如果对于函数定义域内任意一个 ，都有 ,(那么函数 就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数 图象关
2、于 原点成中心对称的函数，偶函数 图象关于 y 轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 。常用的结论：若 f(x)是奇函数，且 x 在 0 处有定义，则 f(0)0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数 f(x)在区间 a,b(0ab)上单调递增（减） ，则 f(x)在区间b,a 上也是单调递增（减） ；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数 f(x)在区间 a,b（0ab）上单调递增（减） ，则 f(x)在区间b,
3、 a上单调递减（增）任意定义在 R 上的函数 f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。若函数 g(x)，f(x) ，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x) ， y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：、定义法：对 于 函 数 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有 或()fxxf或 函数 f（x）是偶函数； 1xf0xf对 于 函 数 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有 或 或(
4、) xff1f函数 f（x）是奇函数； ff判断函数奇偶性的步骤：、判断定义域是否关于原点对称；、比较 与 的关系。)(f(f、扣定义，下结论。、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于 y 轴对称的函数是偶函数。 ，、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数。若 为偶函数，则 。()fx()(|)fxfx二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看 f(x) 与 f(x)的关系.【例 1】 判
5、断下列函数的奇偶性：(1).(2) .2()1;fx23(),0;xf解： 函数的定义域是 ，(， ， ，2()f 2)(1fx21()fx 为偶函数。（法 2图象法）：画出函数 的图象如下：2由函数 的图象可知，2()1fx为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2) . 解：由 ，得 x(，3(3，+).0x定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例 2】 判断下列函数的奇偶性：(1). (2). 。24();3xf021()xf解： (1).由 ，解得 206且定义域为2x0 或 0x2，则 .224();3xf .224()4()
6、 ;f 为奇函数 .3x说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。(2). 由 ，解得 ， 函数定义域为 ，201x01x0,1xR又 ， ，022()f()0f 且 ，x()fx所以 既是奇函数又是偶函数。0221()1xf【例 3】 判断下列函数的奇偶性：(1). ,()()0,01,fxx解析 (1) .函数的定义域为 R，当 时，,()(1)()();fxfx当 时，0x0;xf当 时，, 1.综上可知，对于任意的实数 x，都有 ，所以函数 为奇函数。()()f()f说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时
7、函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象函数判断其奇偶性：【例 4】 已知函数 对任意的非零实数 恒有()0),fxRx且 1,2x判断函数 的奇偶性。1212()(,fxf(0)f且解：函数的定义域为 ，0令 ，得 ，12)令 ，则 (1),(),ff取 ，得12,xxx()(,ffx故函数 为偶函数。()0fR且3、函数奇偶性的应用：(1) . 求字母的值：【例 5】已知函数 是奇函数，又 ， ，求21()(,)axfbcZ(1)2f()3f的值.,abc解：由 得 ， 。()fx0c又 得 ，而 得 ， ，12ab(2)3f4ab431a解得 。又 ， 或 .Z01若
8、，则 ，应舍去；若 ，则 b=1Z.0 。1,abc说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f(1)=f(1)，得 c =0。(2) . 解不等式：【例 6】若 f(x)是偶函数，当 x0，+)时，f(x)=x 1，求f(x1)0 的解集。分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，可先作出 f(x)的图象，利用数形结合的方法.解：画图可知 f(x)0 的解集为 x 1x1，f(x 1)0，即1x-1 1，解集为x0x 2.（3）函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 7.已知 f(x)=x5+ax3bx8，且 f(2)
9、=10，求 f(2). 解：法一：f(2)=(2) 5+(2)3a(2)b8=328a+2b8=408a+2b=108a2b=50 f(2)=2 5+23a2b8=8a2b+24=50+24=26法二：令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数g(2)=g(2) f(2)+8=f(2)8f(2)=f(2)16=1016=26.8. f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x )=x2x，求当 x0 时，f(x)的解析式，并画出函数图象. 解：奇函数图象关于原点对称， x0 时， ,xff 22)()()又 f(0)=0，如图9. 设定义在3 ，3上的偶函数 f(x)在0 ，3上是单调递增，当 f(a1)f(a)时，求a 的取值范围 . 解：f(a 1)f(a ) ,偶函数 f(x)在0 ，3 上是单调递增 f(|a1|)f(|a|)必有|a1|，|a |0，3.
