1、高中立体几何典型 500 题及解析(一)1、二面角 是直二面角， ，设直线 与 所成的角分别为1 和l BA， AB、2，则（A）1+2=90 0 （B）1+ 290 0 （C）1+290 0 （D ）1+290 0解析：C21BA如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则1 和2 分别为直线 AB 与平面 所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的,角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 2ABO902190ABO2. 下列各图是正方体或正四面体，P ， Q， R， S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是PQRSPPQRS（A） （B） （C） （
2、D）D解析： A 项： 底面对应的中线，中线平行 QS，PQRS 是个梯形PSB 项： 如图SRQPCDCDBBAAC 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。3. 有三个平面 ， ， ，下列命题中正确的是（A）若 ， ， 两两相交，则有三条交线 （B）若 ， ，则 （C）若 ， =a， =b，则 ab （D ）若 ， = ，则 =D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。C 项：如图ba 4. 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 AB 与直线B1C1 的距离相等，则动
3、点 P 所在曲线的形状为O11OABCD1C解析： 平面 AB1 ， 如图：P CDCDBBAAP 点到定点 B 的距离与到定1BC,BP直线 AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点 B1B 的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中与 AD1 成 600 角的面对角线的条数是（A）4 条 （ B）6 条 （C）8 条 （D）10 条C解析：如图D CCDBBAA这样的直线有 4 条，另外，这样的D CCDBBAA直线也有 4 条，共 8 条。6. 设 A，B ，C，D 是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，0CAB0D0A则BCD 是（A）钝角三角形 （B）直
4、角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定C解析：假设 AB 为 a，AD 为 b，AC 为 c，且 则，BD= ，CD=abc2ab，BC= 如图c baDCBA则 BD 为最长边，根据余弦定理2cb2ac最大角为锐角。222os 0babDCBc CB所以BCD 是锐角三角形。7.设 a、b 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列四个命题 （ ）若 若/,ba则aa则,/ /,则 则若 ,b其中正确的命题的个数是 （ ）A0 个 B 1 个 C2 个 D3 个B 解析：注意中 b 可能在 上；中 a 可能在 上；中 b/，或 均有b，故只有一个正确命题8.如图所示，已知正四棱锥 SA
5、BCD 侧棱长为 ，底2面边长为 ，E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC3所成角的大小为 （ ）A90 B 60C45 D 30B 解析：平移 SC 到 ，运用余弦定理可算得BS .2BSE9. 对于平面 M 与平面 N, 有下列条件: M、N 都垂直于平面 Q; M、N 都平行于平面 Q; M 内不共线的三点到 N 的距离相等; l, M 内的两条直线, 且 l / M, m / N; l, m 是异面直线,且 l / M, m / M; l / N, m / N, 则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件的个数是（ ）A1 B 2 C3 D4只有、能判定 M/N，选 B10.
6、已知正三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1BCB 1，则 A1B 与 AC1所成的角为 1 鴱鴱（A）45 0 （ B）60 0（C）90 0 （ D）120 0C 解析：作 CDAB 于 D，作 C1D1A 1B1 于 D1，连 B1D、AD 1，易知 ADB1D1 是平行四边形，由三垂线定理得 A1BAC 1，选 C。11. 正四面体棱长为 1，其外接球的表面积为A. B. C. D.332325解析：正四面体的中心到底面的距离为高的 1/4。（可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题：甲：相交直线 、m 都在平面 内，并且都不在平面 内；乙：l直线 、m 中至少有一条与平面 相交；
7、丙：平面 与平面 相交l当甲成立时，A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线 、m 都在平面 内，并且都不在平面 内”时，若l“ 、m 中至少有一条与平面 相交”，则“平面 与平面 相交”成立；若“平面l 与平面 相交”，则“ 、m 中至少有一条与平面 相交”也成立选（C）13. 已知直线 m、n 及平面 ，其中 mn，那么在平面 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集其中正确的是解析：（1）成立，如 m、n 都在平面内，
8、则其对称轴符合条件；（2）成立，m 、n 在平面的同一侧，且它们到 的距离相等，则平面 为所求，（4）成立，当 m、n 所在的平面与平面 垂直时，平面 内不存在到 m、n 距离相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）A3 B 1 或 2 C1 或 3 D2 或 3解析：C 如三棱柱的三个侧面。15若 为异面直线，直线 ca，则 c 与 b 的位置关系是 （ ba、）A相交 B异面 C平行 D 异面或相交解析：D 如正方体的棱长。16在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，AC 与 B1D 所成的角的大小为 （ ）A B64C D32解析：D B
9、1D 在平面 AC 上的射影 BD 与 AC 垂直，根据三垂线定理可得。17如图，点 P、Q、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与 RS 是异面直线的一个图是（ ）解析：C A，B 选项中的图形是平行四边形，而 D 选项中可见图：SRQPCDCDBBAA18如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC 等于 （ ）A45 B60C90 D120解析：B 如图CBA右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：AB 与 CD 所在直线垂直； CD 与 EF 所在直线平行AB 与 MN 所在直线成 60角； M
10、N 与 EF 所在直线异面其中正确命题的序号是 （ ）A B CD解析：D NMFEDCBA19线段 OA， OB， OC 不共面， AOB= BOC= COA=60 ， OA=1， OB=2， OC=3，则 ABC 是（ ）A等边三角形 B 非等边的等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形解析：B 设 AC=x， AB=y， BC=z，由余弦定理知： x2=12+32-3=7， y2=12+22-2=3， z2=22+32-6=7。 ABC 是不等边的等腰三角形，选（ B）20若 a， b， l 是两两异面的直线， a 与 b 所成的角是 ， l 与 a、 l 与 b 所成的角都3是 ，则 的取
11、值范围是 （ ）A B C D 65,2,365,32,6解析：D解 当 l 与异面直线 a， b 所成角的平分线平行或重合时， a 取得最小值 ，当 l 与 a、 b 的6公垂线平行时， a 取得最大值 ，故选（ D）221.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m，但当他马上测树高时 , 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长 2.7m, 留在墙壁部分的影高 1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）_.42 米解析：树高为 AB，影长为 BE，CD 为树留在墙上的影高， CE=1.2,09CD
12、E米，树影长 BE=1.08米，树高273.AB= BE= 米。.94222如图,正四面体（空间四边形的ABCD四条边长及两对角线的长都相等）中, 分别是棱,EF的中点, 则和 所成的角的大小是_.EFACABCDEFAB EDC解析：设各棱长为 2，则 EF= ，取 AB 的中点为 M， 即2cos.FE.423OX，OY ，OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直 线，点 P 到这三条直线的距离分别为 3，4，7，则 OP 长 为_.解析：在长方体 OXAYZBPC 中，OX 、OY、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又 PZ OZ，PY OY，PX OX，有 OX2+OZ2=4
13、9，OY 2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得 OX2+OY2+OZ2=37， OP= 3724设直线 a 上有 6 个点，直线 b 上有 9 个点，则这 15 个点，能确定_个不同的平面.解析： 当直线 a，b 共面时，可确定一个平面； 当直线 a，b 异面时，直线 a 与 b 上9 个点可确定 9 个不同平面，直线 b 与 a 上 6 个点可确定 6 个不同平面，所以一点可以确定 15 个不同的平面25. 在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点求证： EF 和 AD 为异面直线.解析：假设 EF 和 AD 在同一平面 内，（2 分），则 A，B，E，F ；（4
14、 分）又 A，E AB，AB ，B ，（6 分）同理 C （8 分）故A，B，C ，D ，这与 ABCD 是空间四边形矛盾。EF 和 AD 为异面直线26. 在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点， F，G 分别是 CB，CD 的中点，若 AC + BD = a ，AC BD =b，求 .2GH解析：四边形 EFGH 是平行四边形，（4 分）=2 =2EGF2()11()ACBDab27. 如图，在三角形ABC 中，ACB=90，AC=b,BC=a,P 是ABC 所在平面外一点，PB AB，M 是 PA 的中点，ABMC ，求异面直 MC 与 PB 间的距离.ABCDE
15、 GPA BCM 解析：作 MN/AB 交 PB 于点 N（2 分）PBAB，PBMN。（4 分）又ABMC，MNMC（8 分）MN 即为异面直线 MC 与 PB 的公垂线段，（10 分）其长度就是MC 与 PB 之间的距离， 则得 MN= AB=12.ab28. 已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中, A 1A=AB， E、F 分别是 BD1 和 AD 中点.（1）求异面直线 CD1、EF 所成的角；（2）证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1 的公垂线.（1）解析：在平行四边形 中，E 也是 的中点， ，（2 分）1BADC1A1/EFCD两相交直线 D1C 与 CD1 所成的角即异
16、面直线 CD1 与 EF 所成的角.（4 分）又A1A=AB，长方体的侧面 都是正方形11,，D 1C CD1 异面直线 CD1、EF 所成的角为 90.（7 分）（2）证：设 AB=AA1=a, D 1F= EFBD 1 （9 分）,42BFA.由平行四边形 ，知 E 也是 的中点，且点 E 是长方体 ABCDA1B1C1D1 的对称1BAC1中心，（12 分）EA=ED， EFAD，又 EFBD 1，EF 是异面直线 BD1 与 AD 的公垂线.（14 分）29. ABC 是边长为 2 的正三角形，在ABC 所在平面外有一点 P，PB=PC= ，PA= ，延长 BP 至732FB FE C
17、 B ADACBDD，使 BD= ，E 是 BC 的中点，求 AE 和 CD 所成角的大小和这两条直线间的距离 .7解析：分别连接 PE 和 CD，可证 PE/CD，（2 分）则PEA 即是 AE 和 CD 所成角（4 分）在 RtPBE 中，PB= ，BE=1，PE= 。在 AEP 中，AE= ， = 72323cosAEP39421AEP=60，即 AE 和 CD 所成角是 60（7 分）AEBC，PEBC，PE/DC，CDBC，CE 为异面直线 AE 和 CD 的公垂线段，（12 分）它们之间的距离为 1（14 分）30. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F ，G，H，M，N
18、 分别是正方体的棱AB，BC， 的中点，试证：E，F， G，H，M，N 六点共面1,A,解析：EN/MF，EN 与 MF 共面 ，（2 分）又EF/MH，EF 和 MH 共面 （4 分）不共线的三点 E，F，M 确定一个平面，（6 分）平面 与 重合， 点 H 。（8 分）同理点 G （10 分）故 E，F，G，H，M，N 六点共面31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有 （ ）A1 条 B2 条 C3 条 D1 条或 2 条D解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选 D32两两相交的四条直线确定平面
19、的个数最多的是 （ ）A4 个 B5 个 C6 个 D8 个解析：C 如四棱锥的四个侧面， 个。246C33.在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点如果EF 与 HG 交于点 M，则 （ ）AM 一定在直线 AC 上BM 一定在直线 BD 上CM 可能在 AC 上，也可能在 BD 上DM 不在 AC 上，也不在 BD 上解析：平面 ABC平面 ACD=AC，先证 M平面 ABC，M平面 ACD，从而 MACA 34. 用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 .解析：6 条35. 已知： ./, aPQbAaba)12.(
20、:分求 证 PQ本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：PQa,PQ 与 a 确定一个平面 .,Pa点直 线pbp,PQa重 合与又36. 已 知 ABC 三 边 所 在 直 线 分 别 与 平 面 交 于 P、 Q、 R 三 点 ， 求 证 ： P、 Q、 R 三 点 共 线 。（ 12 分 ）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：A、B、C 是不在同一直线上的三点过 A、B、C 有一个平面 又 ABP且,.,lp则设内内 又 在既 在点 .,:三 点 共 线同 理 可 证RQPl37. 已知：平面 ,/, acAab且平 面 求证：b、c 是异面直线解析：反证法
21、：若 b 与 c 不是异面直线，则 bc 或 b 与 c 相交., ,)2(/./1是 异 面 直 线 矛 盾这 与即 又则相 交 于若 矛 盾这 与若 cbAABaa38. 在空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2 ，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EF= ，求 AD3与 BC 所成角的大小（本题考查中位线法求异面二直线所成角）解析：取 BD 中点 M，连结 EM、MF ，则60,120 2132cos,3, ,1/1/ 2所 成 角 的 大 小 为异 面 直 线 由 余 弦 定 理 得中在 且且 BCADEFMFEBCF 39. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N
22、分别为棱 AA1 和 BB1 的中点，求异面直线 CM 与 D1N 所成角的正弦值.(14 分)（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析：取 DD1 中点 G，连结 BG，MG ，MB，GC 得矩形 MBCG，记 MCBG=0则 BG 和 MC 所成的角为异面直线 CM 与 D1N 所成的角.954sin91cos )()232BOCBaCaaAM设 正 方 体 的 棱 长 为而 CM 与 D1N 所成角的正弦值为40. 如图，P 是正角形 ABC 所在平面外一点，M 、N 分别是 AB 和 PC 的中点，且PA=PB=PC=AB=a。（1）求证：MN 是 AB 和 PC 的公垂线（
23、2）求异面二直线 AB 和 PC 之间的距离解析：（1）连结 AN，BN，APC 与BPC 是全等的正三角形，又 N 是 PC 的中点AN=BN又M 是 AB 的中点，MNAB同理可证 MNPC又MNAB=M，MNPC=NMN 是 AB 和 PC 的公垂线。（2）在等腰在角形 ANB 中， aABNMaABN2)1(,232即异面二直线 AB 和 PC 之间的距离为 .41 空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 A可能有 3 个，也可能有 2 个 B可能有 4 个，也可能有 3 个C可能有 3 个，也可能有 1 个 D可能有 4 个，也可能有 1 个解析
24、：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有 4 个。.42. 下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形 四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形 矩形一定是平面图形A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线
25、与这个平面的公共点最多有_1个。解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_，则它们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论 2，推论 3 确定平面的条件。45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有_3 个。解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于
26、圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46. 三条平行直线可以确定平面_个。答案：1 个或 3 个解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定 3 个。47. 画出满足下列条件的图形。(1)=1，a ，b ，ab=A(2)=a，b ，ba解析：如图 1-8-甲，1-8-乙48.经过平面 外两点 A，B 和平面 垂直的平面有几个？解析：一个或无数多个。当 A，B 不垂直于平面 时，只有一个。当 A，B 垂直于平面 时，有无数多个。 49. 设空间四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、D
27、A 的中点，若AB12 ，CD4 ，且四边形 EFGH 的面积为 12 ，求 AB 和 CD 所成的角. 2 3解析： 由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD， EHG 就是异面直线 AB 和 CD 所成的角. EFGH 是平行四边形，HG AB6 ，21HE ，CD2 ，13 SEFGHHGHEsin EHG12 sinEHG, 12 6sinEHG12 .63 sinEHG ,故EHG45.2 AB 和 CD 所成的角为 45注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。H GFEDCBA50. 点 A 是 BCD 所在平面外一点，AD=BC，E、F 分别是AB、CD 的中点，且
28、EF= AD，求异面直线 AD 和 BC 所成2的角。 （如图） 解析：设 G 是 AC 中点，连接 DG、FG。因 D、F 分别是AB、CD 中点，故 EGBC 且 EG= BC，FGAD，且21FG= AD，由异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角21或直角为异面直线 AD、BC 所成角，即EGF 为所求。由BC=AD 知 EG=GF= AD，又 EF=AD， 由余弦定理可得cosEGF=0，即 EGF=90。注：本题的平移点是 AC 中点 G，按定义过 G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。ABCGFED
