1、导数题的解题技巧导数命题趋势：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.（2）求极值 ,证明不等式， 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.【考点透视】1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值【
2、例题解析】考点 1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例 1 （2007 年北京卷） 是 的导函数，则 的值是 ()fx312fx(1)f考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.解答过程 22(),().ff故填 3.例 2. ( 2006 年湖南卷）设函数 ,集合 M= ,P= ,若 M P,则实()1xaf|()0xf|()0xf数 a 的取值范围是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考查目的 本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.解答过程 由 0,1;
3、,1.1xxax当 时 当 O，于是 (x)在(O，1)上单调递增；()当 x(1，2)时， -1，由()知 ，(3)1f令 =0 得，x=0 或 x= - (舍去) ，(f 2当-10，f(x)单调递增；f当 x0 时， 0 得，ln( +1)3x 1，则在区间（，3）上，f (x)0 ， f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4 时，x 20 ， f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0 时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么 f (x)在区间0，4 上的值域是min(f (0) ， f (4) )，f (3) ，而 f (0)（
4、2a3）e 30，f (3)a6，那么 f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e 3，a6.又 在区间0，4 上是增函数，5()4xgx且它在区间0，4上的值域是a 2 ， （a 2 ）e 4，45由于（a 2 ）（a6）a 2a （ ） 20 ，所以只须仅须451（a 2 ）（a6）0，解得 0a .3故 a 的取值范围是（0， ）.23例 14 （2007 年全国二）已知函数 321()()1fxabx在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 1x2x120x（1）证明 ；0a（2）若 z=a+2b,求 z 的取值范围。解答过程 求函数 的导数 ()fx2()fxabx（）由函数 在 处
5、取得极大值，在 处取得极小值，知 是1212x且的两个根()0fx所以 12()ax当 时， 为增函数， ，由 ， 得 1xf()0fx10x2x0a（）在题设下， 等价于 即 120()20ff40ba化简得 23450ba此不等式组表示的区域为平面 上三条直线：aOb2024520b且所围成的 的内部，其三个顶点分别为： ABC 46(2)47ABC且在这三点的值依次为 z1687且所以 的取值范围为 且考点 4 导数在不等式的证明及解决不等式中求参数的问题中的应用.一、构造函数，利用函数的导数证明不等式1.直接由所证不等式构造函数， 讨论构造函数单调性,达到证明不等式的目的把要证明的不等
6、式通过构造函数转化为 再通过求 的最值,从)0(xf )(xf而实现对不等式的证明.ba212 4O467A， (2)C，()，例1（2010年全国理科卷2）设函数 1xfe证明 ：当 时， , 1 x -1xf设当 时， ，求 的取值范围 2 0a证明： 当 时， ， 当且仅当 1 x1)(xf .1xe构造函数：，eg则对 求导得：)(xg.1xe当 时， ， 在 上是增函数, 当 时， ，0x0xg0x0)(xg在 上是减函数.g,于是 在 处达到最小值，因而当 时， ，即 xRx)(xg，ex1所以当 时， . 1xfx 略.2.常系数变易法对形如(或可化为） 的不等式，根据题意可适当
7、选择 （或 ）Axf),(21 1x2为主元，构造函数 （或 ）.,1f例2（2004年全国理科卷2）已知函数 ，xx)ln() xgln)(求函数 的最大值； 1 )(xf设 ，证明： . 2 ba0 2l)()2()(0abgbag解: 略 1由 ，则 . 2 xgln)(1ln)(xg首先选择 为主元，构造函数：b，)2()()xagaF则对 求导得：)(xF.2ln)2()( xaxagx当 时， ，因此 在 内为减函数，当 时，ax00FF,0a，因此 在 上为增函数.)(F)(,从而，当 时， 有极小值 ，因为 ，由 , 所以xx)(a0)(b，即0)(b,)2()(0bgg其次构
8、造函数：，ln)()(axFxG则对 求导得：)(xG.)l(2lln)( xx当 时 , ,因此 在 上为减函数，因为 , ，0x0)(G,00(aGb所以 ， 即 ：)(bG,2ln)()2()( abgbag综上所述，原不等式成立.二、利用导数求出函数的极值、最值(或值域) 后,再证明不等式最值证明在不等式中的应用,一般将不等式通过移项，构造一个函数，然后求这个函数的极(最)值,应用恒成立关系就可以证明.例3（2009年全国理科卷2）设函数 有两个极值点 ，21fxaInx12x、且 ，1x求 的取值范围，并讨论 的单调性, 1 afx证明： .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2
9、 214Infx解: 对 求导得： 1 )(22(1)1axafxx令 ，其对称轴为 .由题意知 是方程2()gx12、的两个均大于 的不相等的实根，其充要条件为0，480(1)ag得 .102a当 时， ，所以 在 内为增函数；当1(,)x0)(xf)(xf1,)时， ，所以 在 内为减函数；当 时，12,ff12, 2,()x，所以 在 内为增函数.0)(xf)(x2,)由 可知 ，有 2 1 0ag，2x2()x+所以.)1ln()()1ln()( 2222 xaf 设，2()()hxxl则.(1)2(1)lnxln当 时， ，所以 在 单调递增；当 时，1(,0)2x0xh)(xh,0
10、(0,)x， 在 单调递减.h所以，当 时，),(x，42ln1)(hx故 W.221()4Infxh三、利用导数解决不等式中求参数的问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，有些往往把变量分离后可以转化为 (或 )恒成立,于是 大于 的最大值(或 小)xfm(xfm)xfm于 的最小值),从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.但是有)(xf些不能把变量分离或者分离之后求解非常麻烦的，要通过适当的变换来求解，在求解的过程中往往都要结合函数的性质通过分类讨论的思想进行求解.总之，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法.1.变量分离后，不等式可以转化为 (或 ）的恒成
11、立问题)xfm)(xf例4（2008年安徽理科卷20题）设函数 101ln且求函数 的单调区间, 1 ()fx已知 对任意 成立，求实数 的取值范围. 21a(0,1)a解: 对 求导得： 1 )(xf 2ln1(),xf若 则 列表如下()0,fx1xe(0,)1e1(,)e(1,)()fx+ 0 - -单调增 极大值 ()fe单调减 单调减在 两边取对数, 得 ,由于 所以 21ax1ln2lax01,x，ll由 的结果可知,当 时, 1 (01)x, 1()fxe为使 对所有 成立,当且仅当 ,即ln2lax()ln2a.ae2.通过适当的变换，构造函数解决不等式恒成立问题例 5（200
12、8 年全国理科卷 2）设函数 sin()2coxf求 的单调区间, 1 ()fx如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围 . 2 0 ()fxa解： 对 求导得： 1 )(xf2 2(2cos)sin()cos1()()xxx当 （ ）时， ，即 ,233kxkZco0f当 （ ）时， ，即 41s2x()x因此 在每一个区间 （ ）是增函数， 在()fx23k， kZ()fx每一个区间 （ ）是减函数243k， Z构造函数，设 ，则 2 ()()gxafx2cos1()x23cs(cs)axx21132o3a从而，当 时， 又 ，所以当 时，13a ()0gx ()0g0x，即()0gx()fx
13、a当 时，令13a，()sin3hxx则.()coa由 ，有 ，因此 在 上单调增加，又()0hxarcos3， ()hx0arcos3，即sin于是，i()2co3xf ax当 时，有0a1022fa因此， 的取值范围是 a13，总之，导数是解决不等式问题的一个很有用的工具，利用导数解决不等式的问题其实就是要适当的构造函数，运用导数来研究所构造函数的单调性，进而解决不等式中的问题.考点 5 导数的实际应用建立函数模型,利用导数研究最值典型例题例 15. （2007 年重庆文）用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时
14、，其体积最大？最大体积是多少？考查目的 本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.解答过程 设长方体的宽为 x（m ） ，则长为 2x(m)，高为.30()35.4128且xh故长方体的体积为 ).2()(69).()( 322 且xxxxV从而 .185.4(18令 V（x） 0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1.当 0x1 时，V （x ）0 ；当 1x 时，V（x ）0，32故在 x=1 处 V（x ）取得极大值，并且这个极大值就是 V（x）的最大值。从而最大体积 VV（x ）91 2-613（m 3） ，此时长方体的长为 2 m，
15、高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3。例 16 （2006 年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度 （千米/ 小时）的函数解析式可以表示为：yx已知甲、乙两地相距 100 千米.318(012).20x（I）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？考查目的 本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.解答过程 （I）当 时，汽车从
16、甲地到乙地行驶了 小时，40x102.54要耗没 （升）.31(8)2.51728答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升。（II）当速度为 千米/ 小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 升，x 10x()hx依题意得 3211085()8). (2),204hxx28 (.64x令 得(),.当 时， 是减函数；当 时， 是增函数.0()0,hx(80,12)x()0,hx当 时， 取到极小值x(8).5因为 在 上只有一个极值，所以它是最小值.(),12答：当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升.
