1、高中数学三角函数疑点难点讲解【考点审视】1、 掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。 （理科：兼顾反三角）2、 提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。3、 解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。4、 熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。5、 掌握 等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。)sin(xAy6、 解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。7、正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角
2、角转化意识。8、提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。【疑难点拔】一、概念不清例 1 若 、 为第三象限角，且 ，则（ ）（A） （B） （C） （D）以上都不对coscoscos错解 选（A）分析：角的概念不清，误将象限角看成类似 区间角。如取 ，可知（A）不对。用排除法，)23,(34,672可知应选（D） 。二、以偏概全例 2 已知 ，求 的值及相应 的取值范围。msincos错解 当 是第一、四象限时， ，当 是第二、三象限时， 。21m21cosm分析：把 限制为象限角时，只考虑 且 的情形，遗漏了界限角。应补充：当 时，|0|；当 时， ，或 。0co
3、s),(2Zk 1cos),(Zks三、忽略隐含条件例 3 若 ，求 的取值范围。1sinxx错解 移项得 ，两边平方得cos )(2,02sinZkxkx那 么即 )(2Zkxk分析：忽略了满足不等式的 在第一象限，上述解法引进了 。x 1cosinx正解： 即 ，由 得1cosinx1)4sin(2)4si(x3242Zkk )(2Zkk四、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例 4 设 、 为锐角，且 + ，讨论函数 的最值。1022cosy错解 )cos(21)cos()s(1)2cos(21 y可见，当 时， ；当 时， 。)cos3maxyminy分析：由已知得 ， ，则90
4、,36061)cos(21当 ，即 时， ，最大值不存在。1)cos(21miny五、忽视应用均值不等式的条件例 5 求函数 的最小值。)0,(sinco22 xbaxay错解 )12sin0(42sincoiis )()1(22 xabbx 当 时，1inay4min分析：在已知条件下， （1） 、 （2）两处不能同时取等号。正解： 22222)( )cottan(cott(baba xbbaxx 当且仅当 ，即 ，时，cottntn2min)(y专题四：三角函数【经典题例】 例 1：点 P 从（1，0）出发，沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为（ ）12yx32（
5、A） （B ） （C） （D）)23,()1,23(),()1,(思路分析 记 ，由三角函数定义可知 Q 点的坐标 满足 ，故选（A ）OQ),yxsin,coryr简要评述三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。例 2：求函数 的最小正周期、最大值和最小值.xxf 2sincoscosin)( 244思路分析 f 21sin4)in1()ci1(2 xx所以函数 f(x)的最小正周期是 ，最大值是 ，最小值是 .43简要评述三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函数的周期、最
6、值是考察的热点，变形化简是必经之路。例 3：已知 ，)2,4(,1)24sin()4sin( 的值.cotta2求思路分析 )24cos()sin()i()i( 得 又,4cos21)sin(21 .214cos.125),24(所 以于是 sincocsintta2 .35)3()65ct(s)c(os简要评述 此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦” 。例 4：已知 b、c 是实数，函数 f(x)= 对任
7、意 、 R 有：cbx2,0)(sinf且 ,0)os2(f（1）求 f（1）的值；（2）证明： c ；（3）设 的最大值为 10，求 f（x） 。)(sinf思路分析（1）令 = ，得 令 = ，得 因此 ；2,0)1(f,01,0)1(f（2）证明：由已知，当 时， 当 时， 通过数形结合的方法可得：x)(xf3x,)(xf化简得 c ；,0)3(f3（3）由上述可知，-1，1是 的减区间，那么 又 联立方程组可得 ,所)(f ,10)(f,)(f 45cb以 45)(2xf简要评述三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高
8、综合运用的能力。例 5：关于正弦曲线回答下述问题：（1）函数 的单调递增区间是 ；)43sin(log21xy Zkxk3482（2）若函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 1 ；acia（3）把函数 的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍（纵坐标不变） ，)4sn(xy8则所得的函数解析式子是 ；)si(y（4）若函数 的最大值是 ，最小值是 ，最小正周期是 ，图)2|,0)i( ABxAy 2232象经过点（0，- ） ，则函数的解析式子是 ；42 63sin(xy思路分析 略简要评述正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。上述问题的解
9、答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。例 6：函数 xxfcosin12)(（1）求 f(x)的定义域；（ 2）求 f(x)的最大值及对应的 x 值。思路分析 （1）x|x 2kk且 ZA BCD(2)设 t=sinx+cosx, 则 y=t-1 42,1maxkyZ简要评述若 关于 与 的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令 ，)(xfcosinxcosin xtcosin使问题得到简化。例 7：在 ABC 中，已知 （1）求证：a、b、c 成等差数列；（2）求角 B 的取BACAsin23si2si 值范围。思路分析（1）条件等式降次化简得 sii
10、sn（2） ,218682)(32)(cos2 acacacB，得 B 的取值范围 ,0(简要评述三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面 积公式”进行互换。例 8：水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深 为 h，梯形面积为 S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和 达到最小，此时下底角 应该是多少？思路分析 CD= , C=cothS ,转化为考)cotsin2(S虑 y= 的最小值，可得当 时，y 最sinco23 小，即 C 最小。简要评述“学以致用”是学习的目的之一，三 角知识的
11、应用很广泛，在复习过程中应受到重视。【热身冲刺】一、选择题：1若 ，则满足 =0.5 的角 的个数是（C）10aasin（A）2 （B）3 （C） 4 （D）52为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（B ）)62si(xy xy2cos（A）向右平移 个单位长度 （B）向右平移 个单位长度3（C）向左平移 个单位长度 （D）向左平移 个单位长度3已知函数 ，则下面三个命题中：（1） ；（2） ；（3）,sin)(xf 0)4(1f 0)4()f；其中正确的命题共有（ B ）043f（A） 0 个 （B） 1 个 （C）2 个 （D）3 个4若 是奇函数，且当 0 时， ，则当 时， 为(
12、C )(xfxxxfsin)(2Rxf（A） （B） （C）| | （D）| |sin2si2isin5函数 是奇函数，则 等于（ D）)3n()co(3)( xxxf （A） （B） （C） （D）k6kk3k6如果圆 至少覆盖函数 的一个最大值点和一个最小值点，则 k的取值范围是（ B 22yxxxfsin)(）（A） （B） （C） （D）3|k|k1|k2|k7若 ，则 y x5,122tan()tan()cos()366xxx的最大值是（ C ）（A） （B） （C） （D）56112358 函数 在区间 上的最小值为- ，则 的取值为（ C ）xycos2sin,32a4a（A）
13、（B）0， （C） （D）),3, 3,(9若ABC 面积 S= 则C=（ C）)(4122cba（A） （B） （C） （D）34610已知向量 则 与 的夹角为（ A ）),10(),2(),sin2,co( baab（A） （B） （C） （D）23二、填空题：11若 是以 5 为周期的奇函数， =4,且 cos ，则 = -4 .)(xf )3(f21)2cos4(f12函数 =lg(sin cos )的增区间是yxZk4,13用 表示不超过实数 的最大整数。则 = -81 。0sin30sin2si10sin14设 cox，且 co3，则 x的取值范围是 ；2,0(三、解答题：15
14、（文）求函数 的定义域。)talg(sixy答案： Zkkk23,6724,62( （理）二次函数 f（x）的二次项系数是负数，对任何 ，都有 ）= ，设 M= arcsin(sin4)，Rx)3(xf)1(xffN= arcos(cos4)，讨论 M 和 N 的大小。f答案： MN 16在锐角三角形 ABC 中， .51)sin(,53)sin(BA（）求证 ； （）设 =3，求 边上的高.BAtan2tAB略解（）证明： .2tan51sinco,2.51sincosi ,3 BA所以 .tan2tBA（）解： ，,43)ta(,3)si( AA所 以即 ，将 代入上式并整理后解得4ta1
15、tBn2ta，舍去负值， 26tanB .6tt设 边上的高为 .由 AB=AD+DB= 得 CD=2+ .ACD2tantCDBA617已知 ， ，其中 ，cosincosin2y cosix.0(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的最大值、最小值。答案： ；12x;1;45minaxy18在锐角 ABC 中，已知 ABC,且 B= ，又 ，求证：60213)cos1)(2s( CAcba2略证：由已知得 ，进一步可求出 ，得co,413cosCA又 3)cos(A，75,60,45BA cRRRba 275sin426)60sin24(si2 19 （1）已知 ，证明不存
16、在实数 能使等式 cos +msin =m(*)成立；),0x)1,(mx（2）试扩大 的取值范围，使对于实数 ，等式(*)能成立；0（3）在扩大后的 取值范围内，若取 ,求出使等式(*)成立的 值。x3x提示：（1）可化为 （2） （3）1)4tan(xm)2,(x620设函数 = ，其中向量 =(2cos ，1)， =(cos ， sin2 )， R.)(xfbbxx(1)若 且 3， ，求 ；xx（2）若函数 y=2sin2 的图象按向量 =(m，n)(|m| 2)平移后得到函数 y= 的图象，求实数 m、n 的值.c )(xf略解：（）依题设， =2cos2 + sin2 =1+2sin(2 + 6).)(xf xx由 ，得 ， .31)(xf 36sin34（）函数 =2sin2 的图象按向量 =(m，n)平移后得到函数 的图象，即函数 y= 的yxc nmxy)(2si )(xf图象.由（）得 =2sin2( +12)+1. |m| 2，m= ，n=1.)(xf 1
