1、1集合复习12341 2nxABABn（ ） 元 素 与 集 合 的 关 系 ： 属 于 （ ） 和 不 属 于 （ ）（ ） 集 合 中 元 素 的 特 性 ： 确 定 性 、 互 异 性 、 无 序 性集 合 与 元 素 （ ） 集 合 的 分 类 ： 按 集 合 中 元 素 的 个 数 多 少 分 为 ： 有 限 集 、 无 限 集 、 空 集（ ） 集 合 的 表 示 方 法 ： 列 举 法 、 描 述 法 （ 自 然 语 言 描 述 、 特 征 性 质 描 述 ） 、 图 示 法 、 区 间 法子 集 ： 若 ， 则 ， 即 是 的 子 集 。、 若 集 合 中 有 个 元 素 ，
2、则 集 合 的 子 集 有 个 ， 注关 系集 合 集 合 与 集 合 00 (2-1)23, ,.4/ nACCABxBBAxA 真 子 集 有 个 。、 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 ， 即 、 对 于 集 合 如 果 ， 且 那 么、 空 集 是 任 何 集 合 的 （ 真 ） 子 集 。真 子 集 ： 若 且 （ 即 至 少 存 在 但 ） ， 则 是 的 真 子 集 。集 合 相 等 ： 且 定 义 ： 且交 集 性 质 ： ， ， ，运 算 ,/()()()-()/ ()()UUUUUABAABBBCardardCardxACACAB ，定 义 ： 或并 集
3、性 质 ： ， ， ， ， ， 定 义 ： 且补 集 性 质 ： ， ， ， ， ()()BB 一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合23元素与集合的关系（不）属于关系（1）集合用大写的拉丁字母 A、B、C表示元素用小写的拉丁字母 a、b、c表示（2）若 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A,记作 aA;若不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A,记作 a A;4.集合的表示方法：列
4、举法与描述法。（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法格式： a,b,c,d 适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。格式：x |x 满足的条件例如：xR| x-32 或x| x-32适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N=0,1,2,3，正整数集 N*或 N+ = 1,2,3，整数集 Z ，-3，-2，-1，0,1,2,3，有理数集 Q实数集 R有时，集合还用语言描述法和 Venn 图法表示例如：语言描述法： 不是直角
5、三角形的三角形Venn 图:4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合 例：xR|x 2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集定义：若对任意的 xA，都有 xB，则称集合 A 是集合 B 的子集，3记为 （或 B A）注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。符号与 的区别反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或B A2“相等”关系：A=B 定义：如果 AB 同时 B A 那么 A=B实例：设 A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “元
6、素相同则两集合相等”3.真子集:如果 AB,且存在元素 xB,但 x A,那么就说集合 A 是集合B 的真子集，记作 A B(或 B A)4.性质 任何一个集合是它本身的子集。AA如果 AB, BC ,那么 A C 如果 AB 同时 BA 那么 A=B5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2 n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集记作A B（读作A 交 B），即 A B=x|x A，且x B由所有属于
7、集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集记作：A B（读作A 并 B），即 A B =x|x A，或 x B)设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，即CSCSA= ,|x且韦恩图示A B图1A B图2SASA4性 质A A=A A =A B=B AA B AA B BABA B=AA A=AA =AA B=B AA B A B BABA B=B(CuA) (CuB) = Cu (A B)(CuA) (CuB) = Cu(A B)A (CuA)=U A (CuA)= 第一章：
8、集合与函数的概念第一课时：集合1.1 集合的含义与表示1.1.1 集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母 A、B、C 等表示集合，用小写字母 a、b、c 等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素 a 属于集合 A，记做 aA，反之，元素 a 不属于集合 A，记做 a A。1.1.2 集合中的元素的特征：确定性：如世界上最高的山；互异性：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y；无序性：如集合a、b、c和集合b、a、c是同一个集合。1.1.3 集合的表示方法：列举法；描述法；Venn 图；用数轴表示集合。常用数集及记法有非
9、负整数集（即自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集N N+或 N* Z Q R1.1.4 集合的分类：根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。（1）大于等于 1，且小于等于 100 的所有整数；（2）方程 x2=4 的实数根；（3）平面内所有的直角三角形；
10、（4）正方形的全体；（5）的近似值的全体；（6）平面集合中所有的难证明的题；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系中 x 轴上方的所有点。解：练习：考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：（1） 平面直角坐标系内 x 轴上方的一些点；（2） 平面直角坐标系内以原点为圆心，以 1 为半径的园内的所有的点；（3） 一元二次方程 x2+bx-1=0 的根；（4） 平面内两边之和小于第三边的三角形5（5） x2,x2+1,x2+2；（6） y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a0)；（7） 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；（8）
11、 新华书店中意思的小说全体。二有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。例：集合 A=y|y=x2+1,集合 B=(x,y)| y=x2+1,(A、B 中 xR,yR)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（ ）A、2A，且 2B B、（1,2）A，且（1,2）BC、2A，且（3,10）B D、（3,10）A，且 2B解：C练习：3.1415 Q； Q； 0 R +； 1 （x,y）|y=2x-3； -8 Z；三有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是确定性互异性无序性例：集合 A 是由元素 n2-n，
12、n-1 和 1 组成的，其中 nZ，求 n 的取值范围。解：n 是不等于 1 且不等于 2 的整数。练习:1. 已知集合 M=a,a+d,a+2d,N=a,aq,aq2,a0,且 M 与 N 中的元素完全相同，求 d 和 q 的值。2. 已知集合 A=x， ,1,B=x2,x+y,0，若 A=B，则 x2009+y2010的值为 ，A=B= .xy3. (1)若-3a-3,2a-1,a 2-4求实数 a 的值； (2)若 m,求实数 m 的值。14.已知集合 M=2，a,b,N=2a,2,b 2，且 M=N,求 a,b 的值。5.已知集合 A=x|ax2+2x+1=0,aR，(1)若 A 中只
13、有一个元素，求 a 的值； (2)若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围。四集合的表示法：三种表示方法练习；1. 用列举法表示下列集合。（1） 方程 x 2+y2=2d 的解集为 ；x-y=0（2）集合 A=y|y=x2-1,|x|2,xZ用列举法表示为 ；（3）集合 B= Z|xN用列举法表示为 ；x18（4）集合 C=x|= + ，a，b 是非零实数用列举法表示为 ；|2.用描述法表示下列集合。（1）大于 2 的整数 a 的集合；（2）使函数 y= 有意义的实数 x 的集合；1x（3）1、2 2、3 2、4 2、3.用 Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：（1）A=四边形，B
14、=梯形，C=平行四边形，D=菱形，E=矩形,F=正方形；（2）某班共 30 人，其中 15 人喜欢篮球，10 人喜欢兵乓球，8 人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用 Venn 图表示为： 。五有关集合的分类：六集合概念的综合问题：6练习1. 若 ，则 t 的值为 _；t132. 设集合 A=y|y=x2+ax+1， xR,B=(x,y)|y= x 2+ax+1, xR ,试求当参数 a=2 时的集合 A 和 B；3. 已知集合 A=x|ax2-3x+2=0,aR,求（1）若集合 A 为空集，则 a 的取值范围；（2）若集合 A 中只有一个元素，求 a 的值，并写出集合
15、 A；（3）若集合 A 中至少有一个元素，则 a 的取值范围。1.1 课后作业：1.判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式 的整数解的全体；320x（2）我班中身高较高的同学；（3）直线 上所有的点；1y（4）不大于 10 且不小于 1 的奇数。2.用符号 或 填空：（1）2_ （2） _ （3）0_NQ0（4） _ （5）0_ （6）b,ac*N2_1x（7） （8）2*3_1,xn21,y（9） 21,yx3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是素数又是偶数的整数组成的集合（2）大于 10 而小于 20 的合数组成的集合4.用适当的方法表示：（1）(x1) 20 的解集；
16、（2）方程组 的解集；1yx（3）方程 3x2y10 的解集；（4）不等式 2x10 的解集；（5）奇数集；（6）被 5 除余 1 的自然数组成的集合。5.集合1，a 2中 a 的取值范围。1.2 集合间的基本关系1.2.1 子集：一般地，两个集合 A 和 B，如果 集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记做 A B（或 B A）,读作“A 包含于 B”（或“B 包含 A”） 。如右图示。比如说，集合 A=1、2、3，集合 B=1、2、3、4、5，那么，集合 A中的元素 1、2、3 都属于集合 B，所以，集合 A 为集合
17、 B 的子集，记做 A B（或 B A）。1.2.2 集合相等：如果集合 A B 且 B A 时，集合 A 中的元素与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合 B 相等，记做 A=B。或 A B。71.2.3 真子集：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 A 是集合 B 的真子集。记作：BABxA B（或 B A） 也可记作： （或 ）A1.2.4 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做 ，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然是真子集）本节精讲：一 集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手： 若集合 A B 且 B A 时，则 A=B；反之，如果
18、A=B，则集合 A B 且 B A。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明 A=B，只需要证明 A B 和 B A 都成立就行了。 两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。例：若集合 |Axa， |250Bx，且满足 AB，求实数 a的取值范围.解：练习：1.已知 2|0xpq， 2|3x且 ，求实数 p、 q 所满足的条件. 2. 若 1,bc，则（ ）.A. 3b B. ,C. 2, D. 23. 已知集合
19、 Px|x 2x60与集合 Qx|ax 10，满足 Q P，求 a 的取值组成的集合 A。二 有关子集以及子集个数的问题：例 1：判定以下关系是否正确()a(2)1， 2，3 3，2，1 (3)0 (4)00 （5） =0 （6） 0解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的说明：含元素0 的集合非空例 2：列举集合1，2，3的所有子集分析：子集中分别含 1，2，3 三个元素中的 0、1、2 或者 3 个解：含有 0 个元素的子集有：含有 1 个元素的子集有1，2，3；含有 2 个元素的子集有1，2，1，3 ，2，3 ；含有 3 个元素的子集有1，2 ，3 共有子集 8
20、 个例 3：已知a、b A a、 b、c、d, 则满足条件集合 A 的个数为_分析：A 中必含有元素 a，b，又 A 是a，b，c，d子集，所以满足条件的 A 有：a，b，a ，b，c，a，b，d，a、b、c 、d。解：共 3 个例 4：设集合 Ax|x54aa 2，aR，By|y4b 24b2，bR，则下列关系式中正确的是 。 AC D 解：A8例 5：已知集合 A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合 C 是这样一个集合：其各元素都加 2 后，就变为 A 的一个子集；若各元素都减 2 后，则变为 B 的一个子集，求集合 C分析:逆向操作：A 中元素减 2 得 0，2，4，6
21、，7，则 C 中元素必在其中；B 中元素加 2 得3，4，5，7，10，则 C 中元素必在其中；所以 C 中元素只能是 4 或 7答:C4或7或4 ，7练习：101201 在 以 下 五 个 写 法 中 ： ， ， ， ，20 x|， ， ， 写 法 正 确 的 个 数 有A1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个=(xy)|1B=(y)|x 集 合 ， 与 ， 的 关 系 是B ABCD 301M01234 满 足 条 件 ， ， ， ， ， 的 不 同 集 合 的 个 数M是 A8 个 B.7 个 C.6 个 D.5 个4设 I=0，1，2，3，4，5，A=0，1，3，5，B=0,则:0
22、_A 0_B C IA_CIB CB A I I5已知 A=x|x=(2n1) ， nZ ，B=y|y=(4k1) ，kZ，那么 A 与 B 的关系为 6.已知集合 A=1,3，a,B=1,a 2-a+1,且 A B，求 a 的值。7已知集合 A=xR|x 23x3=0，B=yB|y 25y6=0，APBP ， 求 满 足 条 件 的 集 合 8已知集合 A=x|x=a21，aN，B=x|x=b 24b5，bN，求证：A=B 。课后作业：A 组1.写出集合1，2，3的所有子集，并指出哪些是它的真子集。2.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若 ，则 。其中正
23、确的有（ ）AA、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个3.设 ，则 A，B 的关系是12),(,3),(, xyBxyxRyx_4.已知 ， ， ，求实数 的取值范围。52A1aa95.已知集合 ,集合 ，若 ，则实数 的值。12,3mA2,3mBABm6.设集合 ， ，若 A 是 B 的真子集，求实数 的取值范围。x0ax a7.用适当的符号填空： _cba,_02012xR N1,0x3_1,28.判断下列两个集合之间的关系： , 是 8 的约数 _42，AxB ， _kx3Nzx,6 , 是 4 与 10 的公倍数 _Nm,09.设集合 ， ，若 ，求实数 的42xA RxaxxB
24、,01)(22 ABa值。10.下列选项中的 M 与 P 表示同一集合的是（ ）A、 ，01.2xR02xB、 ，Ry,),( Ryy,2),(C、 ，x2xP1D、 ，ZkyM, Zk,411.试写出满足条件 的所有集合 M21012.写出满足条件 的所有集合 M13.已知 ，求x,16,22xx14.已知集合 , ，若 A=B，求 的值。baA2,acBc15.已知集合 , ，求满足 A B 的实数 的取值范围。x1xa16.设集合 , ,且 B A，求 的值。82432B 组1.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若 A，则 其中正确的是（ ）AA、0
25、 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个2.已知集合 ，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合 A 有（ ）4,3210A、13 个 B、12 个 C、11 个 D、10 个3.设集合 ， ，则（ ）ZkkxM,42ZkxN,24A、M=N B、M N C、 D、N M4.已知集合 , ，且 B A，则实数 的取值范围是3x12kxk k_。5.已知集合 ,若集合 A 有且仅有 2 个子集，则 的取值是（ ）RaaA,02 aA、1 B、 C、0，1 D、 ， 0，16.设 ，集合 ，则 （ ）Rba,b,1aA、1 B、 C、2 D、27.已知 , ,则 _432,UAU8.已知 , ,则
26、 _19.已知集合 , ，若 且 B A，求实数 的值。，02baxBba,10.如果数集 中有 3 个元素，那么 不能取哪些值？2,0x11.不等式组 的解集为 ， ，试求 及631ARUCU12.已知集合 ,52xA12mxB（1）、若 ，求实数 的取值范围。Bm（2）、若 ，求 A 的非空真子集的个数。Zx1.3 集合的基本运算1.3.1 并集：一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集,记作AB,(读作“A 并 B”).即 AB=x|xA,或 xB。如图 1-3-1 所示。例如，设 A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求 AB.解
27、: AB=4,5,6,8 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8再比如说，设集合 A=x|-12，则 AB 等于( )A x|225设集合 Ax| 1x 2，Bx|xa，若 AB，则 a 的取值范围是( )Aa2 Ba2 Ca1 D1a26(08山东文)满足 Ma 1， a2，a 3，a 4，且 M a1，a 2，a 3 a1，a 2的集合 M 的个数是( )A1 B2 C3 D47(09全国理)设集合 A x|x3，BError!，则 AB( )A B(3,4) C( 2,1) D(4 ，)8设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 PQ x|xab，aP，bQ，若 P0,1,2，Q 1,1
28、,6，则 PQ 中所有元素的和是( ),|xUCU且记 作12A9 B8 C27 D269已知集合 Ax| x2k 1 ，kN *，Bx|xk 3， kN ，则 AB 等于( )AB BA CN DR10当 xA 时，若 x1A，且 x1A，则称 x 为 A 的一个 “孤立元素” ，由 A 的所有孤立元素组成的集合称为 A 的“孤星集” ，若集合 M0,1,3的孤星集为 M，集合 N0,3,4 的孤星集为 N，则MN( )A0,1,3,4 B1,4 C1,3 D0,3二、填空题11若集合 A2,4，x，B2 ，x 2，且 AB2,4，x，则 x_.12已知 Ax| x2px q x，B x|(
29、x1) 2p(x1)qx1 ，当 A2 时，集合B_.13(胶州三中 20092010 高一期末 )设 Ax|x 2px150，B x|x2qx r0且 AB2,3,5 ，AB 3 ，则 p_； q_；r_.三、解答题14已知 Ax| ax a3，Bx|x1 或 x5(1)若 A B，求 a 的取值范围(2)若 A BB，a 的取值范围又如何？15设集合 M1,2，m 23m1，N1,3 ，若 MN3 ，求 m.16已知 A1，x，1， B 1,1x(1)若 A B1，1，求 x.(2)若 A B1，1， ，求 AB.12(3)若 B A，求 AB.当 x 时，A B1，112 1217某班参
30、加数学课外活动小组的有 22 人，参加物理课外活动小组的有 18 人，参加化学课外活动小组的有 16 人，至少参加一科课外活动小组的有 36 人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？18已知集合 Ax|3 x70，Bx| x 是不大于 8 的自然数 ，C x|xa，a 为常数，D x|xa，a 为常数13(1)求 A B；(2)若 A C，求 a 的取值集合；(3)若 A Cx| x3，求 a 的取值集合；73(4)若 A Dx|x 2 ，求 a 的取值集合；(5)若 B C，求 a 的取值集合；(6)若 B D 中含有元素 2，求 a 的取值集合二有关全集、补集、空集的问题例 1 判
31、定以下关系是否正确()a；(2)1 ，2，33，2，1 ； (3)0 ；(4)00例 2 列举集合1，2，3的所有子集例 已 知 ， ， ， ， ， 则 满 足 条 件 集 合 的 个 数 为3bAabcdA_例 设 为 全 集 ， 集 合 、 ， 且 ， 则4 UMNU 例 5 设集合 Ax|x54aa 2，aR，By|y4b 24b2，bR，则下列关系式中正确的是 B ACD M 与 P 的关系是 AM UP B MP CP D 例 7 下列命题中正确的是 A U( UA)A AC12 若 ， 则 若 ， ， ， 则 D3Bx|AB 若 ， ， ， ， 则 14例 8 已知集合 A2，4， 6，8，9 ，B 1 ，2，3， 5，8，又知非空集合 C 是这样一个集合：其各元素都加 2 后，就变为 A 的一个子集；若各元素都减 2 后，则变为 B 的一个子集，求集合 C例 9 设 S1，2，3，4，且 Mx S|x 25xp0，若 SM1，4，则 p_例 10 已知集合 S2，3，a 22a3 ，A|a1|，2， SAa 3，求 a 的值例 年 北 京 高 考 题 集 合 ， ， 1 (9)x| kZN24x| kZ ， 则42 AMNBC DM 与 N 没有相同元素三有关集合综合运算的问题四学习利用 Venn 图求解集合的运算五有关集合新定义运算的问题
